Teorema de Weinberg-Witten

Restricciones sobre las posibles propiedades de las partículas

En física teórica , el teorema de Weinberg-Witten ( WW ) , demostrado por Steven Weinberg y Edward Witten , establece que las partículas sin masa (ya sean compuestas o elementales) con espín j > 1/2 no pueden transportar una corriente covariante de Lorentz , mientras que las partículas sin masa con espín j > 1 no pueden transportar una energía de tensión covariante de Lorentz . El teorema suele interpretarse en el sentido de que el gravitón ( j = 2) no puede ser una partícula compuesta en una teoría cuántica de campos relativista .

Fondo

Durante la década de 1980, las teorías de preones , technicolor y similares eran muy populares y algunas personas especularon que la gravedad podría ser un fenómeno emergente o que los gluones podrían ser compuestos . Weinberg y Witten, por otro lado, desarrollaron un teorema de no-go que excluye, bajo supuestos muy generales, las teorías hipotéticas de gravedad compuesta y emergente. Décadas más tarde se proponen nuevas teorías de gravedad emergente y algunos físicos de alta energía todavía están usando este teorema para tratar de refutar tales teorías. Debido a que la mayoría de estas teorías emergentes no son covariantes de Lorentz, el teorema WW no se aplica. La violación de la covarianza de Lorentz , sin embargo, generalmente conduce a otros problemas. ^{[ cita requerida ]}

Teorema

Weinberg y Witten demostraron dos resultados distintos. Según ellos, el primero se debe a Sidney Coleman , que no lo publicó:

• Una QFT 3 + 1D ( teoría cuántica de campos ) con una corriente conservada de 4 vectores (ver cuatro corrientes ) que es covariante de Poincaré (e invariante de calibre si resulta que hay alguna simetría de calibre que no haya sido fijada por calibre ) no admite partículas sin masa con helicidad | h | > 1/2 que también tengan cargas distintas de cero asociadas con la corriente conservada en cuestión. ${\displaystyle J^{\mu }}$
• Una QFT 3 + 1D con un tensor de tensión-energía conservado distinto de cero que es covariante de Poincaré (e invariante de calibre si resulta que hay alguna simetría de calibre que no haya sido fijada por calibre ) no admite partículas sin masa con helicidad | h | > 1. ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

Un bosquejo de la prueba

La carga conservada Q está dada por . Consideraremos los elementos de la matriz de la carga y de la corriente para estados asintóticos de una partícula, de igual helicidad, y , etiquetados por sus 4-momentos similares a la luz . Consideraremos el caso en el que no es nulo, lo que significa que la transferencia de momento es similar al espacio . Sea q el valor propio de esos estados para el operador de carga Q , de modo que: ${\displaystyle \int d^{3}x\,J^{0}}$ ${\displaystyle J^{\mu }}$ ${\displaystyle |p\rangle }$ ${\displaystyle |p'\rangle }$ ${\displaystyle (p-p')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})=\langle p'|Q|p\rangle &=\int d^{3}x\,\langle p'|J^{0}({\vec {x}},0)|p\rangle \\&=\int d^{3}x\,\langle p'|e^{-i{\vec {P}}\cdot {\vec {x}}}J^{0}(0,0)e^{i{\vec {P}}\cdot {\vec {x}}}|p\rangle \\&=\int d^{3}x\,e^{i({\vec {p}}-{\vec {p}}')\cdot {\vec {x}}}\langle p'|J^{0}(0,0)|p\rangle =(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})\langle p'|J^{0}(0,0)|p\rangle \end{aligned}}}$

donde ahora hemos hecho uso de la covarianza traslacional, que es parte de la covarianza de Poincaré. Así:

${\displaystyle \langle p'|J^{0}(0)|p\rangle ={\frac {q}{(2\pi )^{3}}}}$

con . ${\displaystyle q\neq 0}$

Transformemos a un marco de referencia donde p se mueve a lo largo del eje z positivo y p ′ se mueve a lo largo del eje z negativo . Esto siempre es posible para cualquier transferencia de momento de tipo espacial .

En este marco de referencia, y cambian por el factor de fase bajo rotaciones de θ en sentido antihorario alrededor del eje z, mientras que y cambian por los factores de fase y respectivamente. ${\displaystyle \langle p'|J^{0}(0)|p\rangle }$ ${\displaystyle \langle p'|J^{3}(0)|p\rangle }$ ${\displaystyle e^{i(h-(-h))\theta }=e^{2ih\theta }}$ ${\displaystyle \langle p'|J^{1}(0)+iJ^{2}(0)|p\rangle }$ ${\displaystyle \langle p'|J^{1}(0)-iJ^{2}(0)|p\rangle }$ ${\displaystyle e^{i(2h+1)\theta }}$ ${\displaystyle e^{i(2h-1)\theta }}$

Si h no es cero, necesitamos especificar las fases de los estados. En general, esto no se puede hacer de manera invariante respecto de Lorentz (ver precesión de Thomas ), pero el espacio de Hilbert de una partícula es covariante respecto de Lorentz. Por lo tanto, si hacemos una elección arbitraria pero fija para las fases, entonces cada uno de los componentes de la matriz en el párrafo anterior tiene que ser invariante bajo las rotaciones sobre el eje z . Por lo tanto, a menos que | h | = 0 o 1/2, todos los componentes tienen que ser cero.

Weinberg y Witten no asumieron la continuidad

${\displaystyle \langle p|J^{0}(0)|p\rangle =\lim _{p'\rightarrow p}\langle p'|J^{0}(0)|p\rangle }$.

En cambio, los autores sostienen que los números cuánticos físicos (es decir, los mensurables) de una partícula sin masa siempre están definidos por los elementos de la matriz en el límite de momento cero, definido para una secuencia de transferencias de momento de tipo espacial. Además, en la primera ecuación se puede reemplazar por la función delta de Dirac "difuminada" , que corresponde a realizar la integral de volumen sobre una caja finita. ${\displaystyle \delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})}$ ${\displaystyle d^{3}x}$

La demostración de la segunda parte del teorema es completamente análoga, reemplazando los elementos de la matriz de la corriente por los elementos de la matriz del tensor de tensión-energía : ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

${\displaystyle p^{\mu }=\int d^{3}x\,T^{\mu 0}({\vec {x}},0)}$y

${\displaystyle \langle p|T^{00}(0)|p\rangle ={\frac {E}{(2\pi )^{3}}}}$

con . ${\displaystyle E\neq 0}$

Para transferencias de momento de tipo espacial, podemos ir al marco de referencia donde p ′ +  p está a lo largo del eje t y p ′ −  p está a lo largo del eje z . En este marco de referencia, los componentes de se transforman como , , , o bajo una rotación de θ alrededor del eje z . De manera similar, podemos concluir que ${\displaystyle \langle p'|\mathbf {T} (0)|p\rangle }$ ${\displaystyle e^{i(2h-2)\theta }}$ ${\displaystyle e^{i(2h-1)\theta }}$ ${\displaystyle e^{i(2h)\theta }}$ ${\displaystyle e^{i(2h+1)\theta }}$ ${\displaystyle e^{i(2h+2)\theta }}$ ${\displaystyle |h|=0,{\frac {1}{2}},1}$

Obsérvese que este teorema también se aplica a las teorías de campo libre . Si contienen partículas sin masa con la helicidad/carga "incorrecta", deben ser teorías de calibración.

Descartando teorías emergentes

¿Qué tiene que ver este teorema con las teorías de emergencia/composición?

Si, digamos, la gravedad es una teoría emergente de una teoría fundamentalmente plana sobre un espacio-tiempo plano de Minkowski , entonces, por el teorema de Noether , tenemos un tensor de tensión-energía conservado que es covariante de Poincaré. Si la teoría tiene una simetría de calibre interna (del tipo de Yang-Mills), podemos elegir el tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld que es invariante de calibre. Como no hay simetría de difeomorfismo fundamental, no tenemos que preocuparnos de que este tensor no esté cerrado por BRST bajo difeomorfismos. Por lo tanto, se aplica el teorema de Weinberg-Witten y no podemos obtener un gravitón emergente/ compuesto de espín 2 sin masa (es decir, helicidad ±2) .

Si tenemos una teoría con una corriente 4-fundamental conservada asociada con una simetría global , entonces no podemos tener partículas de espín 1 sin masa emergentes/compuestas que estén cargadas bajo esa simetría global.

Teorías donde el teorema es inaplicable

Teorías de calibre no abelianas

Hay varias maneras de ver por qué las teorías de Yang-Mills no abelianas en la fase de Coulomb no violan este teorema. Las teorías de Yang-Mills no tienen ninguna 4-corriente conservada asociada con las cargas de Yang-Mills que son covariantes de Poincaré e invariantes de calibre. El teorema de Noether da una corriente que se conserva y es covariante de Poincaré, pero no invariante de calibre. Como | p > es realmente un elemento de la cohomología BRST , es decir, un espacio cociente , es realmente una clase de equivalencia de estados. Como tal, solo está bien definido si J es BRST-cerrado. Pero si J no es invariante de calibre, entonces J no es BRST-cerrado en general. La corriente definida como no se conserva porque satisface en lugar de donde D es la derivada covariante . La corriente definida después de una fijación de calibre como el calibre de Coulomb se conserva pero no es covariante de Lorentz. ${\displaystyle \langle p'|J|p\rangle }$ ${\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv {\frac {\delta }{\delta A_{\mu }(x)}}S_{\mathrm {matter} }}$ ${\displaystyle D_{\mu }J^{\mu }=0}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$

Teorías de calibración rotas espontáneamente

Los bosones de calibración asociados con simetrías que se rompen espontáneamente son masivos. Por ejemplo, en QCD , tenemos mesones rho cargados eléctricamente que pueden describirse mediante una simetría de calibración oculta emergente que se rompe espontáneamente. Por lo tanto, en principio no hay nada que nos impida tener modelos preónicos compuestos de bosones W y Z.

En una nota similar, aunque el fotón está cargado bajo la simetría débil SU(2) (porque es el bosón de calibre asociado con una combinación lineal de isospín débil e hipercarga), también se mueve a través de un condensado de tales cargas y, por lo tanto, no es un estado propio exacto de las cargas débiles y este teorema tampoco se aplica.

Gravedad masiva

De manera similar, es posible tener una teoría compuesta/emergente de la gravedad masiva .

Relatividad general

En RG, tenemos difeomorfismos y A|ψ> (sobre un elemento |ψ> de la cohomología BRST) solo tiene sentido si A es BRST-cerrado. No hay operadores BRST-cerrados locales y esto incluye cualquier tensor de tensión-energía que podamos imaginar.

Como explicación alternativa, observe que el tensor de tensión para la RG pura se desvanece (esta afirmación es equivalente a la ecuación de Einstein del vacío) y el tensor de tensión para la RG acoplada a la materia es simplemente el tensor de tensión de la materia. Este último no se conserva, sino que es la derivada covariante. ${\displaystyle \partial ^{\mu }T_{\mu \nu }^{\text{matter}}\neq 0}$ ${\displaystyle \nabla ^{\mu }T_{\mu \nu }^{\text{matter}}=0}$ ${\displaystyle \nabla ^{\mu }}$

Gravedad inducida

En la gravedad inducida , la teoría fundamental también es invariante al difeomorfismo y se aplica el mismo comentario.

Dualidad de Seiberg

Si tomamos N=1 QCD super quiral con N colores _c y N sabores _f con , entonces por la dualidad de Seiberg , esta teoría es dual a una teoría de calibre no abeliana que es trivial (es decir, libre) en el límite infrarrojo . Como tal, la teoría dual no sufre ningún problema de infrapartícula o un espectro de masa continuo. A pesar de esto, la teoría dual sigue siendo una teoría de Yang-Mills no abeliana. Debido a esto, la corriente magnética dual todavía sufre de todos los mismos problemas a pesar de que es una "corriente emergente". Las teorías libres no están exentas del teorema de Weinberg-Witten. ${\displaystyle N_{f}-2\geq N_{c}>{\frac {2}{3}}N_{f}}$ ${\displaystyle SU(N_{f}-N_{c})}$

Teoría de campos conforme

En una teoría de campos conforme , las únicas partículas verdaderamente sin masa son partículas singleton que no interactúan (ver campo singleton ). Las otras "partículas"/estados ligados tienen un espectro de masa continuo que puede asumir cualquier masa arbitrariamente pequeña distinta de cero. Por lo tanto, podemos tener estados ligados de espín 3/2 y espín 2 con masas arbitrariamente pequeñas, pero aún así no violar el teorema. En otras palabras, son infrapartículas .

Infrapartículas

Dos infrapartículas cargadas idénticas que se mueven a diferentes velocidades pertenecen a diferentes sectores de superselección . Digamos que tienen momentos p ′ y p respectivamente. Entonces, como J ^μ (0) es un operador neutro local , no se aplica entre diferentes sectores de superselección. Por lo tanto, es cero. La única forma en que | p ′'> y | p > pueden pertenecer al mismo sector es si tienen la misma velocidad, lo que significa que son proporcionales entre sí, es decir, una transferencia de momento nula o cero, que no está cubierta en la prueba. Por lo tanto, las infrapartículas violan el supuesto de continuidad. ${\displaystyle <p'|J^{\mu }(0)|p>}$

${\displaystyle \langle p|J^{0}(0)|p\rangle =\lim _{p'\rightarrow p}\langle p'|J^{0}(0)|p\rangle }$

Esto no significa, por supuesto, que el momento de una partícula de carga no pueda cambiar en un momento similar al del espacio. Solo significa que si el estado entrante es un estado de una infrapartícula, entonces el estado saliente contiene una infrapartícula junto con una cantidad de cuantos blandos. Esto no es otra cosa que la inevitable radiación de frenado . Pero esto también significa que el estado saliente no es un estado de una partícula.

Teorías con cargas no locales

Obviamente, una carga no local no tiene una 4-corriente local y una teoría con un 4-momento no local no tiene un tensor de tensión-energía local.

Teorías acústicas métricas y modelo analógico de la gravedad

Estas teorías no son covariantes de Lorentz. Sin embargo, algunas de ellas pueden dar lugar a una simetría de Lorentz emergente aproximada a bajas energías.

Teoría de supercuerdas

La teoría de supercuerdas definida sobre una métrica de fondo (posiblemente con algunos flujos) en un espacio de 10D que es el producto de un espacio de Minkowski plano de 4D y un espacio compacto de 6D tiene un gravitón sin masa en su espectro. Se trata de una partícula emergente que surge de las vibraciones de una supercuerda. Veamos cómo definiríamos el tensor de tensión-energía. El fondo está dado por g (la métrica) y un par de campos más. La acción efectiva es una funcional del fondo. El VEV del tensor de tensión-energía se define entonces como la derivada funcional.

${\displaystyle T^{MN}(x)\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta }{\delta g_{MN}(x)}}\Gamma [{\text{background}}].}$

El operador de estrés-energía se define como un operador de vértice correspondiente a este cambio infinitesimal en la métrica de fondo.

No todos los fondos son admisibles. Las supercuerdas deben tener simetría superconforme , que es una supergeneralización de la simetría de Weyl , para ser consistentes, pero solo son superconformes cuando se propagan sobre algunos fondos especiales (que satisfacen las ecuaciones de campo de Einstein más algunas correcciones de orden superior). Debido a esto, la acción efectiva solo se define sobre estos fondos especiales y la derivada funcional no está bien definida. El operador de vértice para el tensor de tensión-energía en un punto tampoco existe.

Referencias

• Weinberg, Steven; Witten, Edward (1980). "Límites de las partículas sin masa". Physics Letters B . 96 (1–2): 59–62. Bibcode :1980PhLB...96...59W. doi :10.1016/0370-2693(80)90212-9.
• Jenkins, Alejandro (2006). Temas de física de partículas y cosmología más allá del modelo estándar (Tesis). arXiv : hep-th/0607239 . Bibcode :2006PhDT........96J.(ver Cap. 2 para una revisión detallada)