Teorema de Steinhaus

Teorema matemático en análisis real.

En el campo matemático del análisis real , el teorema de Steinhaus establece que el conjunto diferencia de un conjunto de medida positiva contiene una vecindad abierta de cero. Fue demostrado por primera vez por Hugo Steinhaus . ^[1]

Declaración

Sea A un conjunto mensurable de Lebesgue sobre la recta real tal que la medida de Lebesgue de A no sea cero. Entonces el conjunto de diferencias

${\displaystyle A-A=\{a-b\mid a,b\in A\}}$

contiene una vecindad abierta del origen.

La versión general del teorema, probada por primera vez por André Weil , ^[2] establece que si G es un grupo localmente compacto y A  ⊂  G un subconjunto de medida de Haar positiva (izquierda) , entonces

${\displaystyle AA^{-1}=\{ab^{-1}\mid a,b\in A\}}$

contiene un vecindario abierto de unidad.

El teorema también se puede extender a conjuntos no pequeños con la propiedad de Baire . La demostración de estas extensiones, a veces también llamada teorema de Steinhaus, es casi idéntica a la siguiente.

Prueba

La siguiente prueba sencilla se puede encontrar en una colección de problemas del difunto profesor HM Martirosian de la Universidad Estatal de Ereván, Armenia (ruso).

Tengamos en cuenta que para any existe un conjunto abierto , por lo que y . Como consecuencia, para un dado , podemos encontrar un intervalo apropiado de modo que tomando solo una parte apropiada de la medida positiva del conjunto podamos suponer que y que . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \,{\cal {U}}}$ ${\displaystyle A\subset {\cal {U}}}$ ${\displaystyle \mu ({\cal {U}})<\mu (A)+\varepsilon }$ ${\displaystyle \alpha \in (1/2,1)}$ ${\displaystyle \Delta =(a,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subset \Delta }$ ${\displaystyle \mu (A)>\alpha (b-a)}$

Ahora supongamos que , donde . Demostraremos que hay puntos comunes en los conjuntos y . De lo contrario . Pero desde , y ${\displaystyle |x|<\delta }$ ${\displaystyle \delta =(2\alpha -1)(b-a)}$ ${\displaystyle x+A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2\mu (A)=\mu \{(x+A)\cup A\}\leq \mu \{(x+\Delta )\cup \Delta \}}$ ${\displaystyle \delta <b-a}$

${\displaystyle \mu \{(x+\Delta )\cup \Delta \}=b-a+|x|<b-a+\delta }$,

obtendríamos , lo que contradice la propiedad inicial del conjunto. Por lo tanto, desde , cuando , se deduce inmediatamente que , lo que necesitábamos establecer. ${\displaystyle 2\mu (A)<b-a+\delta =2\alpha (b-a)}$ ${\displaystyle (x+A)\cap A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle |x|<\delta }$ ${\displaystyle \{x;|x|<\delta \}\subset A-A}$

Corolario

Un corolario de este teorema es que cualquier subgrupo propio medible de es de medida cero. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

Ver también

• La conjetura de Falconer.

Notas

1. Steinhaus (1920); Vath (2002)
2. Weil (1940) pág. 50

Referencias

• Steinhaus, Hugo (1920). "Sobre las distancias de los puntos en los conjuntos de medida positiva" (PDF) . Fondo. Matemáticas. (en francés). 1 : 93-104. doi : 10.4064/fm-1-1-93-104 ..
• Weil, André (1940). La integración en los grupos topológicos y sus aplicaciones . Hermann.
• Stromberg, K. (1972). "Una prueba elemental del teorema de Steinhaus". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 36 (1): 308. doi : 10.2307/2039082. JSTOR  2039082.
• Sadhukhan, Arpan (2020). "Una prueba alternativa del teorema de Steinhaus". Mensual Matemático Estadounidense . 127 (4): 330. arXiv : 1903.07139 . doi :10.1080/00029890.2020.1711693. S2CID  84845966.

• Väth, Martín (2002). Teoría de la integración: un segundo curso . Científico mundial. ISBN 981-238-115-5.