Teorema de Schur-Zassenhaus

Teorema en teoría de grupos

El teorema de Schur-Zassenhaus es un teorema de teoría de grupos que establece que si es un grupo finito , y es un subgrupo normal cuyo orden es coprimo con el orden del grupo cociente , entonces es un producto semidirecto (o extensión dividida) de y . Un enunciado alternativo del teorema es que cualquier subgrupo normal de Hall de un grupo finito tiene un complemento en . Además, si o es resoluble, entonces el teorema de Schur-Zassenhaus también establece que todos los complementos de en son conjugados . La suposición de que o es resoluble se puede descartar ya que siempre se satisface, pero todas las pruebas conocidas de esto requieren el uso del teorema de Feit-Thompson, mucho más difícil . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

El teorema de Schur-Zassenhaus responde al menos parcialmente a la pregunta: "En una serie de composición , ¿cómo podemos clasificar los grupos con un cierto conjunto de factores de composición?" La otra parte, que es donde los factores de composición no tienen órdenes coprimos, se aborda en la teoría de extensión .

Historia

El teorema de Schur-Zassenhaus fue introducido por Zassenhaus  (1937, 1958, Capítulo IV, sección 7). El teorema 25, que atribuye a Issai Schur , prueba la existencia de un complemento, y el teorema 27 prueba que todos los complementos son conjugados bajo el supuesto de que o es resoluble. No es fácil encontrar una declaración explícita de la existencia de un complemento en los trabajos publicados de Schur, aunque los resultados de Schur (1904, 1907) sobre el multiplicador de Schur implican la existencia de un complemento en el caso especial cuando el subgrupo normal está en el centro. Zassenhaus señaló que el teorema de Schur-Zassenhaus para grupos no resolubles se seguiría si todos los grupos de orden impar fueran resolubles, lo que fue demostrado posteriormente por Feit y Thompson. Ernst Witt demostró que esto también se seguiría de la conjetura de Schreier (ver Witt (1998, p.277) para la nota inédita de Witt de 1937 sobre esto), pero la conjetura de Schreier sólo ha sido demostrada usando la clasificación de grupos simples finitos, que es mucho más difícil que el teorema de Feit-Thompson. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Ejemplos

Si no imponemos la condición de coprimo, el teorema no es verdadero: consideremos por ejemplo el grupo cíclico y su subgrupo normal . Entonces, si fuera un producto semidirecto de y entonces tendría que contener dos elementos de orden 2, pero solo contiene uno. Otra forma de explicar esta imposibilidad de desdoblamiento (es decir, expresarlo como un producto semidirecto) es observar que los automorfismos de son el grupo trivial , por lo que el único producto [semi]directo posible de consigo mismo es un producto directo (que da lugar al cuatrigrupo de Klein , un grupo que no es isomorfo con ). ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{4}/C_{2}\cong C_{2}}$ ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{4}}$

Un ejemplo en el que se aplica el teorema de Schur-Zassenhaus es el grupo simétrico de 3 símbolos, , que tiene un subgrupo normal de orden 3 (isomorfo con ) que a su vez tiene índice 2 en (de acuerdo con el teorema de Lagrange ), por lo que . Dado que 2 y 3 son primos entre sí, se aplica el teorema de Schur-Zassenhaus y . Nótese que el grupo de automorfismos de es y el automorfismo de utilizado en el producto semidirecto que da lugar a es el automorfismo no trivial que permuta los dos elementos no identidad de . Además, los tres subgrupos de orden 2 en (cualquiera de los cuales puede servir como complemento de en ) son conjugados entre sí. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}/C_{3}\cong C_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}\cong C_{3}\rtimes C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

La no trivialidad de la conclusión de conjugación (adicional) se puede ilustrar con el cuatrigrupo de Klein como no-ejemplo. Cualquiera de los tres subgrupos propios de (todos los cuales tienen orden 2) es normal en ; fijando uno de estos subgrupos, cualquiera de los otros dos subgrupos (propios) restantes lo complementa en , pero ninguno de estos tres subgrupos de es conjugado de ningún otro, porque es abeliano . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

El grupo de cuaterniones tiene subgrupos normales de orden 4 y 2 pero no es un producto [semi]directo. Los trabajos de Schur a principios del siglo XX introdujeron la noción de extensión central para abordar ejemplos como y los cuaterniones. ${\displaystyle C_{4}}$

Prueba

La existencia de un complemento a un subgrupo Hall normal H de un grupo finito G se puede demostrar en los siguientes pasos:

1. Por inducción del orden de G , podemos suponer que es cierto para cualquier grupo más pequeño.
2. Si H es abeliano, entonces la existencia de un complemento se sigue del hecho de que el grupo de cohomología H ² ( G / H , H ) se desvanece (ya que H y G / H tienen órdenes coprimos) y el hecho de que todos los complementos son conjugados se sigue de la desaparición de H ¹ ( G / H , H ).
3. Si H es resoluble, tiene un subgrupo abeliano no trivial A que es característico en H y por lo tanto normal en G. La aplicación del teorema de Schur-Zassenhaus a G / A reduce la prueba al caso en el que H = A es abeliano, lo que se ha realizado en el paso anterior.
4. Si el normalizador N = N _G ( P ) de cada subgrupo p -Sylow P de H es igual a G , entonces H es nilpotente, y en particular resoluble, por lo que el teorema se deduce del paso anterior.
5. Si el normalizador N = N _G ( P ) de algún subgrupo p -Sylow P de H es menor que G , entonces por inducción el teorema de Schur-Zassenhaus se cumple para N , y un complemento de N ∩ H en N es un complemento para H en G porque G = NH .

Referencias

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• Schur, Issai (1904). "Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 127 : 20–50.
• Schur, Issai (1907). "Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 132 : 85-137.
• Witt, Ernst (1998), Kersten, Ina (ed.), Artículos recopilados. Gesammelte Abhandlungen , Springer Collected Works in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN 978-3-540-57061-5, Sr.  1643949
• Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie . Hamburguesa Mathematische Einzelschriften. vol. 21. Leipzig y Berlín: Teubner.Traducción al español: Zassenhaus, Hans J. (1958) [1949], La teoría de grupos. (2.ª ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Company, MR  0091275