Teorema de Niven

The only rational angles in first quadrant whose sine is rational are 0, 30 and 90 degrees

En matemáticas , el teorema de Niven , llamado así en honor a Ivan Niven , establece que los únicos valores racionales de θ en el intervalo 0° ≤  θ  ≤ 90° para los cuales el seno de θ  grados también es un número racional son: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}$

En radianes , se requeriría que 0 ≤  x  ≤  π /2, que x / π sea racional y que sen  x sea racional. La conclusión es entonces que los únicos valores de este tipo son sen 0 = 0, sen  π /6 = 1/2 y sen  π /2 = 1.

El teorema aparece como Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales . ^[2]

El teorema se extiende también a las demás funciones trigonométricas . ^[2] Para valores racionales de θ, los únicos valores racionales del seno o del coseno son 0, ±1/2 y ±1; los únicos valores racionales de la secante o de la cosecante son ±1 y ±2; y los únicos valores racionales de la tangente o de la cotangente son 0 y ±1. ^[3]

Historia

La prueba de Niven de su teorema aparece en su libro Irrational Numbers. Anteriormente, el teorema había sido demostrado por DH Lehmer y JMH Olmstead. ^[2] En su artículo de 1933, Lehmer demostró el teorema para el coseno demostrando un resultado más general. Es decir, Lehmer demostró que para los números enteros relativamente primos y con , el número es un número algebraico de grado , donde denota la función totiente de Euler . Debido a que los números racionales tienen grado 1, debemos tener o y por lo tanto las únicas posibilidades son A continuación, demostró un resultado correspondiente para el seno utilizando la identidad trigonométrica . ^[4] En 1956, Niven extendió el resultado de Lehmer a las otras funciones trigonométricas. ^[2] Otros matemáticos han dado nuevas pruebas en los años posteriores. ^[3] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle 2\cos(2\pi k/n)}$ ${\displaystyle \varphi (n)/2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n\leq 2}$ ${\displaystyle \varphi (n)=2}$ ${\displaystyle n=1,2,3,4,6.}$ ${\displaystyle \sin(\theta )=\cos(\theta -\pi /2)}$

Véase también

• Las ternas pitagóricas forman triángulos rectángulos donde las funciones trigonométricas siempre tomarán valores racionales, aunque los ángulos agudos no sean racionales.
• Funciones trigonométricas
• Número trigonométrico

Referencias

1. Schaumberger, Norman (1974). "Un teorema de aula sobre irracionalidades trigonométricas". Revista de matemáticas de dos años universitarios . 5 (1): 73–76. doi :10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
2. Niven, Ivan (1956). Números irracionales . Las monografías matemáticas de Carus . La Asociación Matemática de América . pág. 41. MR  0080123.
3. Una prueba para el caso del coseno aparece como Lema 12 en Bennett, Curtis D.; Glass, AMW; Székely, Gábor J. (2004). "El último teorema de Fermat para exponentes racionales". American Mathematical Monthly . 111 (4): 322–329. doi :10.2307/4145241. JSTOR  4145241. MR  2057186.
4. Lehmer, Derrick H. (1933). "Una nota sobre números algebraicos trigonométricos". The American Mathematical Monthly . 40 (3): 165–166. doi :10.2307/2301023. JSTOR  2301023.

Lectura adicional

• Olmsted, JMH (1945). "Valores racionales de funciones trigonométricas". The American Mathematical Monthly . 52 (9): 507–508. JSTOR  2304540.
• Jahnel, Jörg (2010). "¿Cuándo el (co)seno de un ángulo racional es igual a un número racional?". arXiv : 1006.2938 [math.HO].

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Niven". MundoMatemático .
• Teorema de Niven en ProofWiki