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Teorema de Niven

En matemáticas , el teorema de Niven , llamado así en honor a Ivan Niven , establece que los únicos valores racionales de θ en el intervalo 0° ≤  θ  ≤ 90° para los cuales el seno de θ  grados también es un número racional son: [1]

En radianes , se requeriría que 0 ≤  x  ≤  π /2, que x / π sea racional y que sen  x sea racional. La conclusión es entonces que los únicos valores de este tipo son sen 0 = 0, sen  π /6 = 1/2 y sen  π /2 = 1.

El teorema aparece como Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales . [2]

El teorema se extiende también a las demás funciones trigonométricas . [2] Para valores racionales de θ, los únicos valores racionales del seno o del coseno son 0, ±1/2 y ±1; los únicos valores racionales de la secante o de la cosecante son ±1 y ±2; y los únicos valores racionales de la tangente o de la cotangente son 0 y ±1. [3]

Historia

La prueba de Niven de su teorema aparece en su libro Irrational Numbers. Anteriormente, el teorema había sido demostrado por DH Lehmer y JMH Olmstead. [2] En su artículo de 1933, Lehmer demostró el teorema para el coseno demostrando un resultado más general. Es decir, Lehmer demostró que para los números enteros relativamente primos y con , el número es un número algebraico de grado , donde denota la función totiente de Euler . Debido a que los números racionales tienen grado 1, debemos tener o y por lo tanto las únicas posibilidades son A continuación, demostró un resultado correspondiente para el seno utilizando la identidad trigonométrica . [4] En 1956, Niven extendió el resultado de Lehmer a las otras funciones trigonométricas. [2] Otros matemáticos han dado nuevas pruebas en los años posteriores. [3]

Véase también

Referencias

  1. ^ Schaumberger, Norman (1974). "Un teorema de aula sobre irracionalidades trigonométricas". Revista de matemáticas de dos años universitarios . 5 (1): 73–76. doi :10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
  2. ^ abcd Niven, Ivan (1956). Números irracionales . Las monografías matemáticas de Carus . La Asociación Matemática de América . pág. 41. MR  0080123.
  3. ^ ab Una prueba para el caso del coseno aparece como Lema 12 en Bennett, Curtis D.; Glass, AMW; Székely, Gábor J. (2004). "El último teorema de Fermat para exponentes racionales". American Mathematical Monthly . 111 (4): 322–329. doi :10.2307/4145241. JSTOR  4145241. MR  2057186.
  4. ^ Lehmer, Derrick H. (1933). "Una nota sobre números algebraicos trigonométricos". The American Mathematical Monthly . 40 (3): 165–166. doi :10.2307/2301023. JSTOR  2301023.

Lectura adicional

Enlaces externos