límite iterado

En cálculo multivariable , un límite iterado es un límite de una secuencia o un límite de una función en la forma

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\left(\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\right)}$,

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{y\to b}\left(\lim _{x\to a}f(x,y)\right)}$,

u otras formas similares.

Un límite iterado solo se define para una expresión cuyo valor depende de al menos dos variables. Para evaluar dicho límite, se toma el proceso limitante cuando una de las dos variables se acerca a algún número, obteniendo una expresión cuyo valor depende sólo de la otra variable, y luego se toma el límite cuando la otra variable se acerca a algún número.

Tipos de límites iterados

Esta sección presenta definiciones de límites iterados en dos variables. Estos pueden generalizarse fácilmente a múltiples variables.

Límite iterado de secuencia

Para cada uno , sea una secuencia doble real. Entonces hay dos formas de límites iterados, a saber ${\displaystyle n,m\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$.

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$.

Entonces

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }1=1}$, y

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }0=0}$.

Límite iterado de función

Dejar . Entonces también hay dos formas de límites iterados, a saber ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$.

Por ejemplo, dejemos que ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}$.

Entonces

${\displaystyle \lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{y\to 0}0=0}$, y

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}1=1}$. ^[1]

Los límites para x y/o y también se pueden tomar en el infinito, es decir,

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$.

Límite iterado de secuencia de funciones.

Para cada uno , sea una secuencia de funciones. Entonces hay dos formas de límites iterados, a saber ${\displaystyle n\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$.

Por ejemplo, dejemos que ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$.

Entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to 1}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }1=1}$, y

${\displaystyle \lim _{x\to 1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to 1}0=0}$. ^[2]

El límite en x también se puede tomar en el infinito, es decir,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$.

Por ejemplo, dejemos que ${\displaystyle f_{n}:(0,\infty )\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{n}}}}$.

Entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }0=0}$, y

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to \infty }0=0}$.

Tenga en cuenta que el límite en n se toma de forma discreta, mientras que el límite en x se toma de forma continua.

Comparación con otros límites en múltiples variables

Esta sección presenta varias definiciones de límites en dos variables. Estos pueden generalizarse fácilmente a múltiples variables.

Límite de secuencia

Para una secuencia doble , existe otra definición de límite , que comúnmente se conoce como límite doble , denotado por ${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$,

lo que significa que para todos , existen los que implican . ^[3] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,m>N}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<\epsilon }$

El siguiente teorema establece la relación entre límite doble y límites iterados.

Teorema 1 . Si existe y es igual a L , existe para cada m grande y existe para cada n grande , entonces y también existen, y son iguales a L , es decir, ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$. ^{[4] [5]}

Prueba . Por existencia de para cualquiera , existe tal que implica . ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N_{1}=N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,m>N_{1}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

Que cada tal que existe, exista tal que implica . ${\displaystyle n>N_{0}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=A_{n}}$ ${\displaystyle N_{2}=N_{2}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-A_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

Ambas afirmaciones anteriores son verdaderas para y . Combinando ecuaciones de las dos anteriores, para cualquiera existe para todos , ${\displaystyle n>\max(N_{0},N_{1})}$ ${\displaystyle m>\max(N_{1},N_{2})}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle \left|A_{n}-L\right|<\epsilon }$,

lo que prueba que . De manera similar, para , demostramos: . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}\displaystyle }$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}}$.

Desde , , y , tenemos ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{m}}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=0}$.

Este teorema requiere límites simples y convergencia. Esta condición no se puede abandonar. Por ejemplo, considere ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

${\displaystyle a_{n,m}=(-1)^{m}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}$.

Entonces podremos ver que

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=0}$,

pero no existe. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

Esto se debe a que, en primer lugar, no existe. ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$

Límite de función

Para una función de dos variables , existen otros dos tipos de límites . Uno es el límite ordinario , denotado por ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$,

lo que significa que para todos , existen los que implican . ^[6] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$ ${\displaystyle 0<{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

Para que exista este límite, f ( x , y ) se puede hacer tan cerca de L como se desee a lo largo de cada camino posible que se acerque al punto ( a , b ). En esta definición, el punto ( a , b ) está excluido de los caminos. Por lo tanto, el valor de f en el punto ( a , b ), incluso si está definido, no afecta el límite.

El otro tipo es el doble límite , denotado por

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$,

lo que significa que para todos existen tales que e implica . ^[7] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

Para que exista este límite, f ( x , y ) se puede hacer tan cerca de L como se desee a lo largo de cada camino posible que se acerque al punto ( a , b ), excepto las líneas x = a e y = b . En otras palabras, el valor de f a lo largo de las líneas x = aey = b no afecta el límite. Esto es diferente del límite ordinario donde solo se excluye el punto ( a , b ). En este sentido, el límite ordinario es una noción más fuerte que el doble límite:

Teorema 2 . Si existe y es igual a L , entonces existe y es igual a L , es decir, ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$.

Ambos límites no implican tomar primero un límite y luego otro. Esto contrasta con los límites iterados donde el proceso limitante se toma primero en la dirección x y luego en la dirección y (o en orden inverso).

El siguiente teorema establece la relación entre límite doble y límites iterados:

Teorema 3 . Si existe y es igual a L , existe para cada y cerca de b , y existe para cada x cerca de a , entonces y también existen, y son iguales a L , es decir, ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$.

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$.

Desde , y , tenemos ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad y\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad y=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad x=0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1}$.

(Tenga en cuenta que en este ejemplo, no existe). ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$

Este teorema requiere límites únicos y para existir. Esta condición no se puede abandonar. Por ejemplo, considere ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)=x\sin \left({\frac {1}{y}}\right)}$.

Entonces podremos ver que

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0}$,

pero no existe. ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)}$

Esto se debe a que, en primer lugar, no existe para x cerca de 0. ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)}$

Combinando los teoremas 2 y 3, tenemos el siguiente corolario:

Corolario 3.1 . Si existe y es igual a L , existe para cada y cerca de b , y existe para cada x cerca de a , entonces y también existen, y son iguales a L , es decir, ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$.

Límite al infinito de la función.

Para una función de dos variables , también podemos definir el límite doble en el infinito. ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$,

lo que significa que para todos existen tales que e implica . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M=M(\epsilon )>0}$ ${\displaystyle x>M}$ ${\displaystyle y>M}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\epsilon }$

Se pueden dar definiciones similares para límites en el infinito negativo.

El siguiente teorema establece la relación entre el doble límite en el infinito y los límites iterados en el infinito:

Teorema 4 . Si existe y es igual a L , existe para cada y grande y existe para cada x grande , entonces y también existen, y son iguales a L , es decir, ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$.

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x\sin y}{xy+y}}}$.

Desde , y , tenemos ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}(x,y)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)={\frac {\sin y}{y}}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$.

Nuevamente, este teorema requiere límites únicos y para existir. Esta condición no se puede abandonar. Por ejemplo, considere ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\cos x}{y}}}$.

Entonces podremos ver que

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$,

pero no existe. ${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

Esto se debe a que, en primer lugar, no existe para y fija. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$

Conversos no válidos de los teoremas.

Los inversos de los teoremas 1, 3 y 4 no se cumplen, es decir, la existencia de límites iterados, incluso si son iguales, no implica la existencia del doble límite. Un contraejemplo es

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$

cerca del punto (0, 0). Por un lado,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0}$.

En cambio, el doble límite no existe. Esto se puede ver tomando el límite a lo largo del camino ( x , y ) = ( t , t ) → (0,0), lo que da ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}}$,

y a lo largo del camino ( x , y ) = ( t , t ² ) → (0,0), lo que da

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t^{2}\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t^{2})=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{3}}{t^{2}+t^{4}}}=0}$.

Teorema de Moore-Osgood para el intercambio de límites

En los ejemplos anteriores, podemos ver que el intercambio de límites puede dar o no el mismo resultado. Una condición suficiente para intercambiar límites viene dada por el teorema de Moore-Osgood . ^[8] La esencia de la intercambiabilidad depende de la convergencia uniforme .

Intercambio de límites de secuencias.

El siguiente teorema nos permite intercambiar dos límites de secuencias.

Teorema 5 . Si es uniforme (en m ), y para cada n grande , entonces ambos y existen y son iguales al doble límite, es decir, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=b_{m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}=c_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$. ^[3]

Prueba . Por la convergencia uniforme, para cualquiera existe tal que para todos , implica . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n,k>N_{1}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-a_{k,m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Como tenemos , lo que significa que es una secuencia de Cauchy que converge a un límite . Además, como , tenemos . ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|c_{n}-c_{k}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \left|c_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Por otro lado, si tomamos primero, tenemos . ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-b_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Por la convergencia puntual, para cualquiera y , existen elementos que implican . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n>N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}(\epsilon ,n)\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|a_{n,m}-c_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Entonces por eso fijo , implica . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m>N_{2}}$ ${\displaystyle \left|b_{m}-L\right|\leq \left|b_{m}-a_{n,m}\right|+\left|a_{n,m}-c_{n}\right|+\left|c_{n}-L\right|\leq \epsilon }$

Esto prueba que . ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=L=\lim _{n\to \infty }c_{n}}$

Además, tomando , vemos que este límite también es igual a . ${\displaystyle N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$

Un corolario trata sobre la intercambiabilidad de la suma infinita .

Corolario 5.1 . Si converge uniformemente (en m ) y converge para cada n grande , entonces . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$

Prueba . Aplicación directa del Teorema 5 en . ${\displaystyle S_{k,\ell }=\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{\ell }a_{n,m}}$

Intercambio de límites de funciones.

Se obtienen resultados similares para funciones multivariables.

Teorema 6 . Si uniformemente (en y ) en , y para cada x cerca de a , entonces ambos y existen y son iguales al doble límite, es decir, ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)=g(y)}$ ${\displaystyle Y\setminus \{b\}}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)=h(x)}$ ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$. ^[9]

A y b aquí posiblemente pueden ser infinitos.

Prueba . Por el límite uniforme de existencia, para cualquiera existe tal que para todos , e implica . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta _{1}(\epsilon )>0}$ ${\displaystyle y\in Y\setminus \{b\}}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}}$ ${\displaystyle 0<\left|w-a\right|<\delta _{1}}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-f(w,y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Como tenemos . Según el criterio de Cauchy , existe y es igual a un número . Además, como , tenemos . ${\displaystyle y\to b}$ ${\displaystyle \left|h(x)-h(w)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle w\to a}$ ${\displaystyle \left|h(x)-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Por otro lado, si tomamos primero, tenemos . ${\displaystyle w\to a}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-g(y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Por la existencia de un límite puntual, para cualquiera y cercano , existe lo que implica . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta _{2}(\epsilon ,x)>0}$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$ ${\displaystyle \left|f(x,y)-h(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Entonces por eso fijo , implica . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$ ${\displaystyle \left|g(y)-L\right|\leq \left|g(y)-f(x,y)\right|+\left|f(x,y)-h(x)\right|+\left|h(x)-L\right|\leq \epsilon }$

Esto prueba que . ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=L=\lim _{x\to a}h(x)}$

Además, tomando , vemos que este límite también es igual a . ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$

Tenga en cuenta que este teorema no implica la existencia de . Un contraejemplo está cerca de (0,0). ^[10] ${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$

Intercambio de límites de secuencias de funciones.

Una variación importante del teorema de Moore-Osgood es específicamente para secuencias de funciones.

Teorema 7 . Si es uniforme (en x ) en y para cada n grande , entonces ambos y existen y son iguales, es decir, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)=L_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }L_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$. ^[11]

La a aquí posiblemente puede ser infinita.

Prueba . Por la convergencia uniforme, para cualquiera existe tal que para todos , implica . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle x\in D\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle n,m>N}$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Como tenemos , lo que significa que es una secuencia de Cauchy que converge a un límite . Además, como , tenemos . ${\displaystyle x\to a}$ ${\displaystyle \left|L_{n}-L_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|L_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Por otro lado, si tomamos primero, tenemos . ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Por la existencia de un límite puntual, para cualquiera y , existe algo que implica . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \delta (\epsilon ,n)>0}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-L_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}}$

Entonces por eso fijo , implica . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ ${\displaystyle \left|f(x)-L\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|+\left|L_{n}-L\right|\leq \epsilon }$

Esto prueba que . ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L=\lim _{n\to \infty }L_{n}}$

Un corolario es el teorema de continuidad para la convergencia uniforme como sigue:

Corolario 7.1 . Si uniformemente (en x ) en , y son continuas en , entonces también lo son en . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=a\in X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

En otras palabras, el límite uniforme de funciones continuas es continuo.

Prueba . Por el teorema 7, . ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=f(a)}$

Otro corolario es sobre la intercambiabilidad del límite y la suma infinita .

Corolario 7.2 . Si converge uniformemente (en x ) en y existe para cada n grande , entonces . ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$ ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)}$

Prueba . Aplicación directa del teorema 7 en cerca . ${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}f_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

Aplicaciones

Suma de infinitas entradas en una matriz.

Considere una matriz de infinitas entradas.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1&0&0&\cdots \\0&1&-1&0&\cdots \\0&0&1&-1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$.

Supongamos que queremos encontrar la suma de todas las entradas. Si primero sumamos columna por columna, encontraremos que la primera columna da 1, mientras que todas las demás dan 0. Por lo tanto, la suma de todas las columnas es 1. Sin embargo, si primero sumamos fila por fila, encontrará que todas las filas dan 0. Por tanto, la suma de todas las filas es 0.

La explicación de esta paradoja es que la suma vertical hasta el infinito y la suma horizontal hasta el infinito son dos procesos limitantes que no pueden intercambiarse. Sea la suma de entradas hasta las entradas ( n , m ). Entonces tenemos , pero . En este caso, el doble límite no existe, por lo que este problema no está bien definido. ${\displaystyle S_{n,m}}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }S_{n,m}=1}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }S_{n,m}=0}$ ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}S_{n,m}}$

Integración en intervalo ilimitado

Según el teorema de integración para la convergencia uniforme , una vez que converge uniformemente en , el límite en n y una integración en un intervalo acotado se pueden intercambiar: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [a,b]\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x}$.

Sin embargo, dicha propiedad puede fallar para una integral impropia en un intervalo ilimitado . En este caso, podemos confiar en el teorema de Moore-Osgood. ${\displaystyle [a,\infty )\subseteq X}$

Consideremos como ejemplo. ${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x}$

Primero expandimos el integrando como para . (Aquí x =0 es un caso límite.) ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}={\frac {x^{2}e^{-x}}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

Se puede demostrar mediante cálculo que para y , tenemos . Según la prueba M de Weierstrass , converge uniformemente en . ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle x^{2}e^{-kx}\leq {\frac {4}{e^{2}k^{2}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Luego, por el teorema de integración para la convergencia uniforme, . ${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x}$

Para intercambiar aún más el límite con la suma infinita , el teorema de Moore-Osgood requiere que la serie infinita sea uniformemente convergente. ${\displaystyle \lim _{b\to \infty }}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}$

Tenga en cuenta que . Nuevamente, según la prueba M de Weierstrass, converge uniformemente en . ${\displaystyle \int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x={\frac {2}{k^{3}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Luego, por el teorema de Moore-Osgood, . (Aquí está la función zeta de Riemann ). ${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{k^{3}}}=2\zeta (3)}$

Ver también

• Límite de una secuencia
• Límite de una función
• Convergencia uniforme
• Intercambio de operaciones limitantes.

Notas

1. Hay que prestar atención al hecho.

   ${\displaystyle \lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}={\begin{cases}1&{\text{for }}x\neq 0\\0&{\text{for }}x=0\end{cases}}}$

   Pero este es un problema menor ya que pronto alcanzaremos el límite . ${\displaystyle \lim _{x\to 0}}$
2. Hay que prestar atención al hecho.

   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{n}={\begin{cases}0&{\text{for }}x\in [0,1)\\1&{\text{for }}x=1\end{cases}}}$.

   Pero este es un problema menor ya que pronto tomaremos el límite , lo que implícitamente implica eso . ${\displaystyle \lim _{x\to 1}}$ ${\displaystyle x\neq 1}$
3. Zakon, Elías (2011). "Capítulo 4. Límites y continuidad de las funciones". Análisis matemático, volumen I. pag. 223.ISBN​ 9781617386473.
4. Habil, Eissa (2005). «Dobles Secuencias y Dobles Series» . Consultado el 28 de octubre de 2022 .
5. Apóstol, Tom M. (2002). "Serie Infinita y Productos Infinitos". Análisis matemático (2ª ed.). Narosa. págs. 199-200. ISBN 978-8185015668.
6. Stewart, James (2020). "Capítulo 14.2 Límites y Continuidad". Cálculo multivariable (9ª ed.). págs. 952–953. ISBN 9780357042922.
7. Zakon, Elías (2011). "Capítulo 4. Límites y continuidad de las funciones". Análisis matemático, volumen I. págs. 219-220. ISBN 9781617386473.
8. Taylor, Angus E. (2012). Teoría General de Funciones e Integración . Serie de libros de matemáticas de Dover. págs. 139-140. ISBN 9780486152141.
9. Kadelburg, Zoran (2005). "Intercambiando dos límites" . Consultado el 29 de octubre de 2022 .
10. Gelbaum, Bearnard; Olmsted, John (2003). "Capítulo 9. Funciones de dos variables". Contraejemplos en análisis . págs. 118-119. ISBN 0486428753.
11. Loring, Terry. "El teorema de Moore-Osgood sobre el intercambio de límites" (PDF) . Consultado el 28 de octubre de 2022 .