Teorema de duplicación de dimensiones

En teoría de la probabilidad , los teoremas de duplicación de dimensiones son dos resultados sobre la dimensión de Hausdorff de una imagen de un movimiento browniano . En esencia, ambas afirmaciones dicen que la dimensión de un conjunto bajo un movimiento browniano casi con seguridad se duplica . ${\displaystyle A}$

El primer resultado se debe a Henry P. McKean jr y de ahí el nombre de teorema de McKean (1955). El segundo teorema es un refinamiento del resultado de McKean y se denomina teorema de Kaufman (1969) ya que fue demostrado por Robert Kaufman. ^{[1] [2]}

Teoremas de duplicación de dimensiones

Para un movimiento browniano bidimensional y un conjunto definimos la imagen de under , es decir ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle A\subset [0,\infty )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W(A):=\{W(t):t\in A\}\subset \mathbb {R} ^{d}.}$

Teorema de McKean

Sea un movimiento browniano en dimensión . Vamos entonces ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle A\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A}$

${\displaystyle P}$-casi seguro.

teorema de kaufman

Sea un movimiento browniano en dimensión . Entonces -casi seguramente, para cualquier conjunto- tenemos ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A.}$

Diferencia de los teoremas

La diferencia de los teoremas es la siguiente: en el resultado de McKean los conjuntos -nulos , donde el enunciado no es verdadero, depende de la elección de . El resultado de Kaufman, por otra parte, es válido para todas las elecciones de simultáneamente. Esto significa que el teorema de Kaufman también se puede aplicar a conjuntos aleatorios . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Literatura

• Mörters, Peter; Peres, Yuval (2010). Movimiento browniano . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 279.
• Schilling, René L.; Partzsch, Lothar (2014). Movimiento browniano . De Gruyter. pag. 169.

Referencias

1. Kaufman, Robert (1969). "Une propriété métrique du mouvement brownien". CR Acad. Ciencia. París . 268 : 727–728.
2. Mörters, Peter; Peres, Yuval (2010). Movimiento browniano . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 279.