En la teoría matemática de los nudos , el teorema de Fáry-Milnor , llamado así por István Fáry y John Milnor , establece que las curvas suaves tridimensionales con una curvatura total pequeña deben desanudarse . El teorema fue demostrado independientemente por Fáry en 1949 y Milnor en 1950. Más tarde se demostró que se deducía de la existencia de cuadrisecantes (Denne 2004).
Si K es cualquier curva cerrada en el espacio euclidiano que es suficientemente suave para definir la curvatura κ en cada uno de sus puntos, y si la curvatura absoluta total es menor o igual a 4π, entonces K es un nudo indefinido , es decir:
El contrapositivo nos dice que si K no es un nudo inverso, es decir, K no es isotópico al círculo, entonces la curvatura total será estrictamente mayor que 4π. Nótese que tener la curvatura total menor o igual a 4π es simplemente una condición suficiente para que K sea un nudo inverso; no es una condición necesaria . En otras palabras, aunque todos los nudos con curvatura total menor o igual a 4π son nudos inversos, existen nudos inversos con curvatura estrictamente mayor que 4π.
Para cadenas poligonales cerradas se obtiene el mismo resultado con la integral de curvatura reemplazada por la suma de ángulos entre segmentos adyacentes de la cadena. Al aproximar curvas arbitrarias mediante cadenas poligonales, se puede extender la definición de curvatura total a clases más grandes de curvas, dentro de las cuales también se cumple el teorema de Fáry-Milnor (Milnor 1950, Sullivan 2008).
