En el campo matemático de la geometría diferencial , el teorema de Euler es un resultado de la curvatura de las curvas en una superficie. El teorema establece la existencia de curvaturas principales y direcciones principales asociadas que dan las direcciones en las que la superficie se curva más y menos. El teorema recibe su nombre de Leonhard Euler , quien lo demostró en (Euler 1760).
Más precisamente, sea M una superficie en el espacio euclidiano tridimensional y p un punto en M. Un plano normal a través de p es un plano que pasa por el punto p que contiene el vector normal a M. A través de cada vector tangente ( unitario ) a M en p , pasa un plano normal P X que corta una curva en M. Esa curva tiene una cierta curvatura κ X cuando se considera como una curva dentro de P X. Siempre que no todos los κ X sean iguales, existe algún vector unitario X 1 para el cual k 1 = κ X 1 es lo más grande posible, y otro vector unitario X 2 para el cual k 2 = κ X 2 es lo más pequeño posible. El teorema de Euler afirma que X 1 y X 2 son perpendiculares y que, además, si X es cualquier vector que forma un ángulo θ con X 1 , entonces
Las cantidades k 1 y k 2 se denominan curvaturas principales , y X 1 y X 2 son las direcciones principales correspondientes . La ecuación ( 1 ) a veces se denomina ecuación de Euler (Eisenhart 2004, p. 124).