Teorema de Denjoy-Wolff

Análisis complejo, puntos fijos e iteraciones de mapeos holomorfos

En matemáticas , el teorema de Denjoy-Wolff es un teorema de análisis complejo y sistemas dinámicos relativos a puntos fijos e iteraciones de asignaciones holomorfas del disco unitario en números complejos dentro de sí mismo. El resultado fue demostrado de forma independiente en 1926 por el matemático francés Arnaud Denjoy y el matemático holandés Julius Wolff .

Declaración

Teorema. Sea D el disco unitario abierto en C y sea f una función holomorfa que mapea D en D que no es un automorfismo de D (es decir, una transformación de Möbius ). Entonces hay un punto único z en el cierre de D tal que las iteraciones de f tienden a z uniformemente en subconjuntos compactos de D. Si z se encuentra en D , es el único punto fijo de f . El mapeo f deja discos hiperbólicos invariantes centrados en z , si z se encuentra en D , y discos tangentes al círculo unitario en z , si z se encuentra en el límite de D.

Cuando el punto fijo está en z  = 0, los discos hiperbólicos centrados en z son solo los discos euclidianos con centro 0. De lo contrario, f puede conjugarse mediante una transformación de Möbius de modo que el punto fijo sea cero. A continuación se ofrece una demostración elemental del teorema, tomada de Shapiro (1993) ^[1] y Burckel (1981). ^[2] Se pueden encontrar otras dos pruebas breves en Carleson y Gamelin (1993). ^[3]

Prueba del teorema

Punto fijo en el disco.

Si f tiene un punto fijo z en D entonces, después de conjugar mediante una transformación de Möbius, se puede suponer que z = 0. Sea M ( r ) el módulo máximo de f en |z| = r < 1. Por el lema de Schwarz ^[4]

${\displaystyle |f(z)|\leq \delta (r)|z|,}$

para | z | ≤ r , donde

${\displaystyle \delta (r)={M(r) \over r}<1.}$

Se deduce por iteración que

${\displaystyle |f^{n}(z)|\leq \delta (r)^{n}}$

para | z | ≤r .​ Estas dos desigualdades implican el resultado en este caso.

Sin puntos fijos

Cuando f actúa en D sin puntos fijos, Wolff demostró que hay un punto z en el límite tal que las iteraciones de f dejan invariante cada disco tangente al límite en ese punto.

Tome una secuencia que aumente a 1 y establezca ^{[5] [6]} ${\displaystyle r_{k}}$

${\displaystyle f_{k}(z)=r_{k}f(z).}$

Aplicando el teorema de Rouché a y , tiene exactamente un cero en D . Pasando a una subsecuencia si es necesario, se puede suponer que El punto z no puede estar en D , porque, al pasar al límite, z tendría que ser un punto fijo. El resultado para el caso de puntos fijos implica que los mapas dejan invariantes todos los discos euclidianos cuyo centro hiperbólico se encuentra en . Los cálculos explícitos muestran que, a medida que k aumenta, se pueden elegir dichos discos de modo que tiendan a cualquier disco dado tangente al límite en z . Por continuidad, f deja invariante cada uno de esos discos Δ. ${\displaystyle f_{k}(z)-z}$ ${\displaystyle g(z)=z}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}\rightarrow z.}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$

Para ver que converge uniformemente en compacta a la constante z , basta con demostrar que lo mismo es cierto para cualquier subsecuencia , convergente en el mismo sentido a g , digamos. Tales límites existen según el teorema de Montel , y si g no es constante, también se puede suponer que tiene un límite, digamos h . Pero entonces ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f^{n_{k}}}$ ${\displaystyle f^{n_{k+1}-n_{k}}}$

${\displaystyle h(g(w))=g(w),}$

para w en D .

Dado que h es holomorfa y g ( D ) abierta,

${\displaystyle h(w)=w}$

para todos w .

En el entorno , también se puede suponer que es convergente a F , digamos. ${\displaystyle m_{k}=n_{k+1}-n_{k}}$ ${\displaystyle f^{m_{k}-1}}$

Pero entonces f ( F ( w )) = w = f ( F ( w )), contradiciendo el hecho de que f no es un automorfismo.

Por lo tanto , cada subsecuencia tiende uniformemente a alguna constante en compacta en D.

La invariancia de Δ implica que cada una de esas constantes reside en el cierre de cada disco Δ y, por tanto, en su intersección, el punto único z . Según el teorema de Montel, se deduce que converge uniformemente en compacta a la constante z . ${\displaystyle f^{n}}$

Notas

1. Shapiro (1993)
2. Bürckel (1981)
3. Carleson y Gamelin (1993)
4. Shapiro 1993, pag. 79
5. Bürckel 1981
6. Steinmetz 1993, págs. 43–44

Referencias

• Beardon, AF (1990), "Iteración de contracciones y mapas analíticos", J. London Math. Soc. , 41 : 141-150
• Burckel, RB (1981), "Iteración de automapas analíticos de discos", Amer. Matemáticas. Mensual , 88 : 396–407, doi : 10.2307/2321822
• Carleson, L.; Gamelin, TDW (1993), Dinámica compleja , Universitext: Tratados de matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97942-5
• Denjoy, A. (1926), "Sur l'itération des fonctions analytiques", CR Acad. Ciencia. , 182 : 255–257
• Shapiro, Joel H. (1993), Operadores de composición y teoría de funciones clásicas , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7
• Shoikhet, D. (2001), Semigrupos en la teoría de funciones geométricas , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7111-9
• Steinmetz, Norbert (1993), Iteración racional. Sistemas dinámicos analíticos complejos , Estudios de Matemáticas de Gruyter, vol. 16, Walter de Gruyter & Co., ISBN 3-11-013765-8
• Wolff, J. (1926), "Sur l'itération des fonctions holomorphes dans une région, et dont les valeurs appartiennent a cette région", CR Acad. Ciencia. , 182 : 42–43
• Wolff, J. (1926), "Sur l'itération des fonctions bornées", CR Acad. Ciencia. , 182 : 200–201
• Wolff, J. (1926), "Sur une généralisation d'un théorème de Schwarz", CR Acad. Ciencia. , 182 : 918–920