Teorema de Cramer (grandes desviaciones)

El teorema de Cramér es un resultado fundamental de la teoría de las grandes desviaciones , una subdisciplina de la teoría de la probabilidad . Determina la función de velocidad de una serie de variables aleatorias iid . Harald Cramér demostró por primera vez una versión débil de este resultado en 1938.

Declaración

La función generadora de momento logarítmico (que es la función generadora de cumulante ) de una variable aleatoria se define como:

${\displaystyle \Lambda (t)=\log \operatorname {E} [\exp(tX_{1})].}$

Sea una secuencia de variables aleatorias reales iid con función generadora de momento logarítmico finito, es decir para todo . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle \Lambda (t)<\infty }$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Entonces la transformada de Legendre de : ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda ^{*}(x):=\sup _{t\in \mathbb {R} }\left(tx-\Lambda (t)\right)}$

satisface,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left(P\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq nx\right)\right)=-\Lambda ^{*}(x)}$

a pesar de ${\displaystyle x>\operatorname {E} [X_{1}].}$

En la terminología de la teoría de grandes desviaciones el resultado puede reformularse de la siguiente manera:

Si es una serie de variables aleatorias iid, entonces las distribuciones satisfacen un principio de gran desviación con función de tasa . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$

Referencias

• Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pp. 508. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
• "Teorema de Cramér", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]