Función de tasa

función de probabilidad

En matemáticas (específicamente, en la teoría de las grandes desviaciones ), una función de tasa es una función utilizada para cuantificar las probabilidades de eventos raros. Estas funciones se utilizan para formular principios de gran desviación . Un principio de gran desviación cuantifica la probabilidad asintótica de eventos raros para una secuencia de probabilidades.

Una función de tasa también se llama función de Cramér , en honor al probabilista sueco Harald Cramér .

Definiciones

Función de tasa Una función extendida de valor real definida en un espacio topológico de Hausdorff se dice que es una función de tasa si no es idéntica y es semicontinua inferior, es decir, todos los conjuntos de subniveles. ${\displaystyle I:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0}$

están cerrados .​ Si, además, son compactos , entonces se dice que es una función de buena tasa . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

Se dice que una familia de medidas de probabilidad satisface el principio de gran desviación con función de tasa (y tasa ) si, para cada conjunto cerrado y cada conjunto abierto , ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:X\to [0,+\infty )}$ ${\displaystyle 1/\delta }$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle G\subseteq X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}}$

Si el límite superior (U) se cumple solo para conjuntos compactos (en lugar de cerrados) , entonces se dice que satisface el principio de grandes desviaciones débiles (con tasa y función de tasa débil ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle 1/\delta }$ ${\displaystyle I}$

Observaciones

El papel de los conjuntos abiertos y cerrados en el principio de gran desviación es similar a su papel en la convergencia débil de medidas de probabilidad: recordemos que se dice que converge débilmente a if, para cada conjunto cerrado y cada conjunto abierto , ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle G\subseteq X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).}$

Existe cierta variación en la nomenclatura utilizada en la literatura: por ejemplo, den Hollander (2000) utiliza simplemente "función de tasa", mientras que este artículo, siguiendo a Dembo y Zeitouni (1998), utiliza "función de tasa buena" y "función de tasa débil". ". Rassoul-Agha y Seppäläinen (2015) utilizan el término "función de tasa ajustada" en lugar de "función de tasa buena" debido a la conexión con la rigidez exponencial de una familia de medidas. Independientemente de la nomenclatura utilizada para las funciones de tasa, el examen de si se supone que el límite superior de desigualdad (U) se cumple para conjuntos cerrados o compactos indica si el principio de gran desviación en uso es fuerte o débil.

Propiedades

Unicidad

Una pregunta natural, dada la configuración algo abstracta del marco general anterior, es si la función de tasa es única. Este resulta ser el caso: dada una secuencia de medidas de probabilidad ( μ _δ ) _{δ >0} en X que satisfacen el principio de gran desviación para dos funciones de tasa I y J , se deduce que I ( x ) =  J ( x ) para todos x  ∈  X .

Estanqueidad exponencial

Es posible convertir un principio débil de gran desviación en uno fuerte si las medidas convergen lo suficientemente rápido. Si el límite superior se cumple para conjuntos compactos F y la secuencia de medidas ( μ _δ ) _{δ >0} es exponencialmente ajustada , entonces el límite superior también se cumple para conjuntos cerrados F. En otras palabras, la rigidez exponencial permite convertir un principio débil de gran desviación en uno fuerte.

Continuidad

Ingenuamente, se podría intentar reemplazar las dos desigualdades (U) y (L) por el único requisito de que, para todos los conjuntos de Borel S  ⊆  X ,

${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}}$

La igualdad (E) es demasiado restrictiva, ya que muchos ejemplos interesantes satisfacen (U) y (L), pero no (E). Por ejemplo, la medida μ _δ podría ser no atómica para todos los δ , por lo que la igualdad (E) podría ser válida para S  = { x } sólo si I fuera idénticamente +∞, lo cual no está permitido en la definición. Sin embargo, las desigualdades (U) y (L) sí implican la igualdad (E) para los llamados conjuntos I -continuos S  ⊆  X , aquellos para los cuales

${\displaystyle I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},}$

donde y denotan el interior y cierre de S en X respectivamente. En muchos ejemplos, muchos conjuntos/eventos de interés son I -continuos. Por ejemplo, si I es una función continua , entonces todos los conjuntos S son tales que ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{S}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}}$

${\displaystyle S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}}$

¿ Soy continuo? todos los conjuntos abiertos, por ejemplo, satisfacen esta contención.

Transformación de principios de gran desviación.

Dado un principio de gran desviación en un espacio, a menudo resulta interesante poder construir un principio de gran desviación en otro espacio. Hay varios resultados en esta área:

• el principio de contracción nos dice cómo un principio de gran desviación en un espacio "empuja hacia adelante" (mediante el avance de una medida de probabilidad) hacia un principio de gran desviación en otro espacio a través de una función continua ;
• El teorema de Dawson-Gärtner nos dice cómo una secuencia de principios de gran desviación en una secuencia de espacios pasa al límite proyectivo .
• el principio de gran desviación inclinada proporciona un principio de gran desviación para integrales de funcionales exponenciales .
• las medidas exponencialmente equivalentes tienen los mismos principios de gran desviación.

Historia y desarrollo básico.

La noción de función de tasa surgió en la década de 1930 con el estudio del matemático sueco Harald Cramér de una secuencia de variables aleatorias iid ( Z _i ) _{i∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$} . Es decir, entre algunas consideraciones de escalamiento, Cramér estudió el comportamiento de la distribución del promedio como n →∞. ^[1] Encontró que las colas de la distribución de X _n decaen exponencialmente como e ^{− nλ ( x )} donde el factor λ ( x ) en el exponente es la transformada de Legendre-Fenchel (también conocida como el conjugado convexo ) de la generación de cumulantes . función Por esta razón, esta función particular λ ( x ) a veces se llama función de Cramér . La función de tasa definida anteriormente en este artículo es una generalización amplia de esta noción de Cramér, definida de manera más abstracta en un espacio de probabilidad , en lugar del espacio de estados de una variable aleatoria. ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ ${\displaystyle \Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.}$

Ver también

• Teoría del valor extremo
• Principio de desviación moderada

Referencias

1. Cramér, Harald (1938). "Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités". Colloque consacré à la théorie des probabilités, Parte 3, Actualités scientifiques et industrielles (en francés). 731 : 5–23.

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Técnicas y aplicaciones de grandes desviaciones . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 38 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. Señor 1619036
• den Hollander, Frank (2000). Grandes desviaciones . Monografías del Fields Institute 14. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. x+143. ISBN 0-8218-1989-5. Señor 1739680
• Rassoul-Agha, Firas; Seppäläinen, Timo (2015). Un curso sobre grandes desviaciones con introducción a las medidas de Gibbs . Estudios de Posgrado en Matemáticas 162. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. xiv+318. ISBN 978-0-8218-7578-0. Señor 3309619