Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial

En la teoría geométrica de grupos , el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial , demostrado por primera vez por Mikhail Gromov , ^{[1] caracteriza a} los grupos finitamente generados de crecimiento polinomial como aquellos grupos que tienen subgrupos nilpotentes de índice finito .

Declaración

La tasa de crecimiento de un grupo es una noción bien definida a partir del análisis asintótico . Decir que un grupo finitamente generado tiene crecimiento polinómico significa que el número de elementos de longitud como máximo n (en relación con un conjunto generador simétrico) está acotado por encima por una función polinómica p ( n ). El orden de crecimiento es entonces el menor grado de cualquier función polinómica p .

Un grupo nilpotente G es un grupo con una serie central inferior que termina en el subgrupo identidad.

El teorema de Gromov establece que un grupo finitamente generado tiene crecimiento polinomial si y sólo si tiene un subgrupo nilpotente que es de índice finito.

Tasas de crecimiento de los grupos nilpotentes

Existe una vasta literatura sobre tasas de crecimiento, que conduce al teorema de Gromov. Un resultado anterior de Joseph A. Wolf ^[2] mostró que si G es un grupo nilpotente finitamente generado, entonces el grupo tiene crecimiento polinomial. Yves Guivarc'h ^[3] e independientemente Hyman Bass ^[4] (con diferentes demostraciones) calcularon el orden exacto del crecimiento polinomial. Sea G un grupo nilpotente finitamente generado con series centrales inferiores

${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots .}$

En particular, el grupo cociente G _k / G _{k +1} es un grupo abeliano finitamente generado.

La fórmula de Bass-Guivarc'h establece que el orden de crecimiento polinomial de G es

${\displaystyle d(G)=\sum _{k\geq 1}k\operatorname {rank} (G_{k}/G_{k+1})}$

dónde:

rango denota el rango de un grupo abeliano , es decir, el mayor número de elementos independientes y libres de torsión del grupo abeliano.

En particular, el teorema de Gromov y la fórmula de Bass-Guivarc'h implican que el orden de crecimiento polinomial de un grupo generado finitamente es siempre un número entero o infinito (excluyendo, por ejemplo, las potencias fraccionarias).

Otra aplicación interesante del teorema de Gromov y la fórmula de Bass-Guivarch es la rigidez cuasi-isométrica de grupos abelianos generados finitamente: cualquier grupo que sea cuasi-isométrico a un grupo abeliano generado finitamente contiene un grupo abeliano libre de índice finito.

Demostraciones del teorema de Gromov

Para demostrar este teorema, Gromov introdujo una convergencia para espacios métricos. Esta convergencia, ahora llamada convergencia de Gromov-Hausdorff , se utiliza ampliamente en la actualidad en geometría.

Bruce Kleiner encontró una prueba relativamente simple del teorema . ^[5] Más tarde, Terence Tao y Yehuda Shalom modificaron la prueba de Kleiner para hacer una prueba esencialmente elemental así como una versión del teorema con límites explícitos. ^{[6] [7]} El teorema de Gromov también se desprende de la clasificación de grupos aproximados obtenida por Breuillard, Green y Tao. Ozawa ofrece una prueba simple y concisa basada en métodos analíticos funcionales . ^[8]

La conjetura de la brecha

Más allá del teorema de Gromov, uno puede preguntarse si existe una brecha en el espectro de crecimiento para un grupo finitamente generado justo por encima del crecimiento polinomial, separando a los grupos virtualmente nilpotentes de otros. Formalmente, esto significa que existiría una función tal que un grupo finitamente generado es virtualmente nilpotente si y solo si su función de crecimiento es un . Un teorema de este tipo fue obtenido por Shalom y Tao, con una función explícita para algunos . Todos los grupos conocidos con crecimiento intermedio (es decir, tanto superpolinomiales como subexponenciales) son esencialmente generalizaciones del grupo de Grigorchuk , y tienen funciones de crecimiento más rápidas; por lo que todos los grupos conocidos tienen un crecimiento más rápido que , con , donde es la raíz real del polinomio . ^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle O(f(n))}$ ${\displaystyle n^{\log \log(n)^{c}}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle e^{n^{\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha =\log(2)/\log(2/\eta )\approx 0.767}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x-2}$

Se conjetura que el verdadero límite inferior de las tasas de crecimiento de los grupos con crecimiento intermedio es . Esto se conoce como la conjetura de la brecha . ^[10] ${\displaystyle e^{\sqrt {n}}}$

Véase también

• Teorema de Breuillard-Green-Tao

Referencias

1. Gromov, Mikhail (1981). "Grupos de crecimiento polinomial y mapas en expansión". Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math . 53 . Con un apéndice de Jacques Tits : 53–73. doi :10.1007/BF02698687. MR  0623534. S2CID  121512559.
2. Wolf, Joseph A. (1968). "Crecimiento de grupos resolubles finitamente generados y curvatura de variedades de Riemann". Journal of Differential Geometry . 2 (4): 421–446. doi : 10.4310/jdg/1214428658 . MR  0248688.
3. Guivarc'h, Yves (1973). "Croissance polinomiale et périodes des fonctions harmoniques". Toro. Soc. Matemáticas. Francia (en francés). 101 : 333–379. doi : 10.24033/bsmf.1764 . SEÑOR  0369608.
4. Bass, Hyman (1972). "El grado de crecimiento polinomial de grupos nilpotentes finitamente generados". Actas de la London Mathematical Society . Serie 3. 25 (4): 603–614. doi :10.1112/plms/s3-25.4.603. MR  0379672.
5. Kleiner, Bruce (2010). "Una nueva prueba del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial". Journal of the American Mathematical Society . 23 (3): 815–829. arXiv : 0710.4593 . Bibcode :2010JAMS...23..815K. doi :10.1090/S0894-0347-09-00658-4. MR  2629989. S2CID  328337.
6. Tao, Terence (18 de febrero de 2010). "Una demostración del teorema de Gromov". Novedades .
7. Shalom, Yehudá; Tao, Terence (2010). "Una versión finita del teorema de crecimiento polinómico de Gromov". Geom. Función. Anal. 20 (6): 1502-1547. arXiv : 0910.4148 . doi :10.1007/s00039-010-0096-1. SEÑOR  2739001. S2CID  115182677.
8. Ozawa, Narutaka (2018). "Una prueba de análisis funcional del teorema de crecimiento polinómico de Gromov". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 51 (3): 549–556. arXiv : 1510.04223 . doi :10.24033/asens.2360. SEÑOR  3831031. S2CID  119278398.
9. Erschler, Anna ; Zheng, Tianyi (2018). "Crecimiento de grupos periódicos de Grigorchuk". arXiv : 1802.09077 .
10. Grigorchuk, Rostislav I. (1991). "Sobre el crecimiento en la teoría de grupos". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I, II (Kioto, 1990) . Math. Soc. Japón. págs. 325–338.