Teorema óptico

Teorema en física

En física , el teorema óptico es una ley general de la teoría de dispersión de ondas , que relaciona la amplitud de dispersión de ángulo cero con la sección transversal total del dispersor. ^[1] Generalmente se escribe en la forma

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0),}$

donde f (0) es la amplitud de dispersión con un ángulo de cero, es decir la amplitud de la onda dispersada hacia el centro de una pantalla distante y k es el vector de onda en la dirección incidente.

Debido a que el teorema óptico se deriva utilizando únicamente la conservación de la energía , o en la mecánica cuántica a partir de la conservación de la probabilidad , el teorema óptico es ampliamente aplicable y, en la mecánica cuántica , incluye tanto la dispersión elástica como la inelástica. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }}$

El teorema óptico generalizado , derivado por primera vez por Werner Heisenberg , se deriva de la condición unitaria y está dado por ^[2]

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''}$

donde es la amplitud de dispersión que depende de la dirección de la onda incidente y la dirección de dispersión y es el ángulo sólido diferencial . Cuando , la relación anterior produce el teorema óptico ya que el lado izquierdo es solo el doble de la parte imaginaria de y ya que . Para la dispersión en un campo centralmente simétrico, depende solo del ángulo entre y , en cuyo caso, la relación anterior se reduce a ${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '}$ ${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} )}$ ${\displaystyle \sigma =\int |f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')|^{2}\,d\Omega ''}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

donde y son los ángulos entre y y alguna dirección . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ''}$

Historia

El teorema óptico fue desarrollado originalmente de forma independiente por Wolfgang Sellmeier ^[3] y Lord Rayleigh en 1871. ^{[4] Lord Rayleigh reconoció la} amplitud de dispersión de ángulo cero en términos del índice de refracción como

${\displaystyle n=1+2\pi {\frac {Nf(0)}{k^{2}}}}$

(donde N es la densidad numérica de dispersores), que utilizó en un estudio del color y la polarización del cielo.

La ecuación fue posteriormente extendida a la teoría de dispersión cuántica por varias personas, y llegó a ser conocida como la relación de Bohr-Peierls-Placzek después de un artículo de 1939. Fue mencionada por primera vez como el "teorema óptico" en forma impresa en 1955 por Hans Bethe y Frederic de Hoffmann , después de que había sido conocido como un "teorema de óptica bien conocido" durante algún tiempo.

Derivación

El teorema se puede derivar de manera bastante directa a partir de un tratamiento de una onda escalar . Si una onda plana incide a lo largo del eje z positivo sobre un objeto, entonces la amplitud de dispersión de la onda a una gran distancia del dispersor está dada aproximadamente por

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}.}$

Todos los términos superiores, cuando se elevan al cuadrado, se desvanecen más rápidamente que , y por lo tanto son despreciables a una gran distancia. Para valores grandes de y para ángulos pequeños, una expansión de Taylor nos da ${\displaystyle 1/r^{2}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\approx z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2z}}.}$

Ahora nos gustaría utilizar el hecho de que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud . Aproximando como , tenemos ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle 1/z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi |^{2}&\approx \left|e^{ikz}+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {|f(\theta )|^{2}}{z^{2}}}.\end{aligned}}}$

Si descartamos el término y utilizamos el hecho de que , tenemos ${\displaystyle 1/z^{2}}$ ${\displaystyle c+c^{*}=2\operatorname {Re} {c}}$

${\displaystyle |\psi |^{2}\approx 1+2\operatorname {Re} {\left[{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right]}.}$

Ahora supongamos que integramos sobre una pantalla alejada en el plano xy , que es lo suficientemente pequeña para que las aproximaciones de ángulo pequeño sean apropiadas, pero lo suficientemente grande para que podamos integrar la intensidad sobre x e y con un error despreciable. En óptica , esto es equivalente a sumar sobre muchas franjas del patrón de difracción . Por el método de fase estacionaria , podemos aproximarnos en la integral siguiente. Obtenemos ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(\theta )=f(0)}$

${\displaystyle \int |\psi |^{2}\,dx\,dy\approx A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right],}$

donde A es el área de la superficie integrada. Aunque se trata de integrales impropias, mediante sustituciones adecuadas, las exponenciales se pueden transformar en gaussianas complejas y las integrales definidas se pueden evaluar, dando como resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int |\psi |^{2}\,da&=A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\,{\frac {2\pi iz}{k}}\right]\\&=A-{\frac {4\pi }{k}}\,\operatorname {Im} [f(0)].\end{aligned}}}$

Esta es la probabilidad de llegar a la pantalla si no se dispersara ninguno, reducida en una cantidad , que es por lo tanto la sección transversal de dispersión efectiva del dispersor. ${\displaystyle (4\pi /k)\operatorname {Im} [f(0)]}$

Véase también

• Matriz S
• Relaciones de Kramers-Kronig § Dispersión hadrónica
• Unitaridad (física) § Amplitud de dispersión y teorema óptico

Referencias

1. "Sección transversal del radar, teorema óptico, aproximación a la óptica física, radiación por fuentes lineales" en YouTube
2. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
3. La publicación original omite su nombre de pila, que sin embargo se puede inferir de algunas publicaciones más que él contribuyó a la misma revista. Una fuente web dice que fue un ex alumno de Franz Ernst Neumann . Por lo demás, poco o nada se sabe sobre Sellmeier.
4. Strutt, JW (1871). XV. Sobre la luz del cielo, su polarización y color. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 41(271), 107-120.

• Roger G. Newton (1976). "Teorema óptico y más allá". Am. J. Phys . 44 (7): 639–642. Código Bibliográfico :1976AmJPh..44..639N. doi :10.1119/1.10324.
• John David Jackson (1999). Electrodinámica clásica . Hamilton Printing Company. ISBN 0-471-30932-X.