Transformación de Holstein-Primakoff

En mecánica cuántica , la transformación de Holstein-Primakoff es una aplicación de los operadores de creación y aniquilación de bosones a los operadores de espín , truncando efectivamente su espacio de Fock de dimensión infinita a subespacios de dimensión finita.

Un aspecto importante de la mecánica cuántica es la existencia de operadores no conmutativos (en general) que representan observables , cantidades que se pueden medir. Un ejemplo estándar de un conjunto de estos operadores son los tres componentes de los operadores de momento angular , que son cruciales en muchos sistemas cuánticos. Estos operadores son complicados y sería conveniente encontrar una representación más sencilla que se pueda utilizar para generar esquemas de cálculo aproximados.

La transformación fue desarrollada ^[1] en 1940 por Theodore Holstein , un estudiante de posgrado en ese momento, ^[2] y Henry Primakoff . Este método ha encontrado una amplia aplicabilidad y se ha extendido en muchas direcciones diferentes.

Existe un vínculo estrecho con otros métodos de mapeo de bosones de álgebras de operadores: en particular, la técnica (no hermítica) de Dyson -Maleev ^{[3] [4] y, en menor medida, el} mapa de Jordan-Schwinger . ^[5] Existe, además, un vínculo estrecho con la teoría de estados coherentes (generalizados) en álgebras de Lie .

Descripción

La idea básica se puede ilustrar con el ejemplo básico de los operadores de espín de la mecánica cuántica.

Para cualquier conjunto de ejes ortogonales diestros, defina los componentes de este operador vectorial como , y , que son mutuamente no conmutables , es decir, y sus permutaciones cíclicas. ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle S_{z}}$ ${\displaystyle \left[S_{x},S_{y}\right]=i\hbar S_{z}}$

Para especificar de forma única los estados de un espín, se puede diagonalizar cualquier conjunto de operadores conmutativos. Normalmente se utilizan los operadores de Casimir SU(2) y , lo que conduce a estados con los números cuánticos , ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S_{z}}$ ${\displaystyle \left|s,m_{s}\right\rangle }$

${\displaystyle S^{2}\left|s,m_{s}\right\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)\left|s,m_{s}\right\rangle ,}$

${\displaystyle S_{z}\left|s,m_{s}\right\rangle =\hbar m_{s}\left|s,m_{s}\right\rangle .}$

El número cuántico de proyección toma todos los valores . ${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle (-s,-s+1,\ldots ,s-1,s)}$

Consideremos una única partícula de espín s (es decir, observemos una única representación irreducible de SU(2)). Ahora tomemos el estado con proyección máxima , el estado de peso extremal como un vacío para un conjunto de operadores bosónicos y cada estado subsiguiente con un número cuántico de proyección menor como una excitación bosónica del anterior. ${\displaystyle \left|s,m_{s}=+s\right\rangle }$

${\displaystyle \left|s,s-n\right\rangle \mapsto {\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle _{B}~.}$

Cada bosón adicional corresponde entonces a una disminución de ħ en la proyección de espín. Por lo tanto, los operadores de elevación y disminución de espín y , de modo que , corresponden (en el sentido detallado a continuación) a los operadores de aniquilación y creación bosónica, respectivamente. Las relaciones precisas entre los operadores deben elegirse para asegurar las relaciones de conmutación correctas para los operadores de espín, de modo que actúen en un espacio de dimensión finita, a diferencia del espacio de Fock original. ${\displaystyle S_{+}=S_{x}+iS_{y}}$ ${\displaystyle S_{-}=S_{x}-iS_{y}}$ ${\displaystyle [S_{+},S_{-}]=2\hbar S_{z}}$

La transformación de Holstein-Primakoff resultante se puede escribir como

${\displaystyle S_{+}=\hbar {\sqrt {2s}}{\sqrt {1-{\frac {a^{\dagger }a}{2s}}}}\,a~,\qquad S_{-}=\hbar {\sqrt {2s}}a^{\dagger }\,{\sqrt {1-{\frac {a^{\dagger }a}{2s}}}}~,\qquad S_{z}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~.}$

La transformación es particularmente útil en el caso donde s es grande, cuando las raíces cuadradas pueden expandirse como series de Taylor , para dar una expansión en potencias decrecientes de s .

Como alternativa a una expansión de Taylor, ha habido avances recientes ^{[6] [7]} con una resumación de la serie que hizo posibles expresiones que son polinómicas en operadores bosónicos pero aún matemáticamente exactas (en el subespacio físico). El primer método desarrolla un método de resumación ^[6] que es exacto para el espín , mientras que el último ^[7] emplea una expansión de la serie de Newton (una diferencia finita) con un resultado idéntico, como se muestra a continuación. ${\displaystyle s=1/2}$

${\displaystyle S_{+}^{(1/2)}=\hbar {\sqrt {2s}}\left[1+\left({\sqrt {1-{\frac {1}{2s}}}}-1\right)a^{\dagger }a\right]a,\qquad S_{-}^{(1/2)}=(S_{+}^{(1/2)})^{\dagger },\qquad S_{z}^{(1/2)}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~.}$

Si bien la expresión anterior no es exacta para espines superiores a 1/2, es una mejora con respecto a la serie de Taylor. También existen expresiones exactas para espines superiores e incluyen términos. Al igual que el resultado anterior, también se aplica a las expresiones de espines superiores y, por lo tanto, la suma es hermítica. ${\displaystyle 2s+1}$ ${\displaystyle S_{+}=S_{-}^{\dagger }}$

También existe una realización variante no hermítica de Dyson-Maleev (por Freeman Dyson y SV Maleev) J que está relacionada con la anterior y es válida para todos los espines,

${\displaystyle J_{+}=\hbar \,a~,\qquad J_{-}=S_{-}~{\sqrt {2s-a^{\dagger }a}}=\hbar a^{\dagger }\,(2s-a^{\dagger }a)~,\qquad J_{z}=S_{z}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~,}$

satisfaciendo las mismas relaciones de conmutación y caracterizadas por el mismo invariante de Casimir.

La técnica puede extenderse aún más al álgebra de Witt , ^[8] que es el álgebra de Virasoro sin centro .

Véase también

• Onda de giro
• Transformación de Jordan-Wigner
• Transformación Jordania-Schwinger
• Transformación de Bogoliubov-Valatin
• Transformación de Klein

Referencias

1. Holstein, T.; Primakoff, H. (15 de diciembre de 1940). "Dependencia de campo de la magnetización del dominio intrínseco de un ferroimán". Physical Review . 58 (12). American Physical Society (APS): 1098–1113. Bibcode :1940PhRv...58.1098H. doi :10.1103/physrev.58.1098. ISSN  0031-899X.
2. "Theodore D. Holstein, Física: Los Ángeles". Universidad de California . Consultado el 23 de diciembre de 2015 .
3. Klein, Abraham; Marshalek, ER (1 de abril de 1991). "Realizaciones bosónicas de álgebras de Lie con aplicaciones a la física nuclear". Reseñas de Física Moderna . 63 (2). American Physical Society (APS): 375–558. Bibcode :1991RvMP...63..375K. doi :10.1103/revmodphys.63.375. ISSN  0034-6861.
4. "El clásico de la cita de esta semana por FJ Dyson, 4 de agosto de 1986" (PDF) . Contenido actual (36): 16. 8 de septiembre de 1986.
5. Schwinger, J. (1952). "On Angular Momentum", Informe inédito, Universidad de Harvard, Nuclear Development Associates, Inc., Departamento de Energía de los Estados Unidos (a través de su organismo predecesor, la Comisión de Energía Atómica ), Informe número NYO-3071 (26 de enero de 1952).
6. Vogl, Michael; Laurell, Pontus; Zhang, Hao; Okamoto, Satoshi; Fiete, Gregory A. (17 de noviembre de 2020). "Resumación de la expansión de Holstein-Primakoff y el enfoque de la ecuación diferencial para las raíces cuadradas del operador". Physical Review Research . 2 (4). American Physical Society (APS): 043243. arXiv : 2006.06871 . Bibcode :2020PhRvR...2d3243V. doi : 10.1103/physrevresearch.2.043243 . ISSN  2643-1564. S2CID  219635834.
7. König, Jürgen; Hucht, Alfred (13 de enero de 2021). "Expansión de funciones de operador bosónico en serie de Newton". SciPost Physics . 10 (1). Stichting SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Bibcode :2021ScPP...10....7K. doi : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN  2542-4653. S2CID  221293056.
8. Fairlie, DB ; Nuyts, J.; Zachos, CK (1988). "Construcción de álgebras clásicas de Virasoro como extensiones SU(1,1)". Physics Letters B . 202 (3). Elsevier BV: 320–324. Bibcode :1988PhLB..202..320F. doi :10.1016/0370-2693(88)90478-9. ISSN  0370-2693.