Teoría de los tres pisos

La teoría de tres pisos es una teoría que describe una estructura de capa límite de tres capas cuando hay perturbaciones suficientemente grandes en la capa límite. Esta teoría es capaz de explicar con éxito el fenómeno de la separación de la capa límite , pero también ha encontrado aplicaciones en muchas otras configuraciones de flujo, ^[1] incluida la ampliación de la inestabilidad de la rama inferior ( TS ) del flujo de Blasius , ^{[2] [3]} etc. James Lighthill , Lev Landau y otros fueron los primeros en darse cuenta de que para explicar la separación de la capa límite, es necesario introducir escalas diferentes a las clásicas de la capa límite. Estas escalas fueron introducidas por primera vez de forma independiente por James Lighthill y EA Müller en 1953. ^{[4] [5]} La estructura de triple capa en sí fue descubierta de forma independiente por Keith Stewartson (1969) ^[6] y VY Neiland (1969) ^[7] y por AF Messiter (1970). ^[8] Stewartson y Messiter consideraron el flujo separado cerca del borde de salida de una placa plana, mientras que Neiland estudió el caso de un choque que incide sobre una capa límite.

Supongamos que y son las coordenadas transversales y en sentido de la corriente con respecto a la pared y son el número de Reynolds , entonces el espesor de la capa límite es . La coordenada de la capa límite es . Entonces el espesor de cada plataforma es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle \delta =Re^{-1/2}}$ ${\displaystyle \eta =yRe^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lower deck}}:&\quad y\sim Re^{-5/8}\\{\text{Middle deck}}:&\quad y\sim Re^{-4/8}\\{\text{Upper deck}}:&\quad y\sim Re^{-3/8}.\end{aligned}}}$

La plataforma inferior se caracteriza por perturbaciones rotacionales viscosas, mientras que la plataforma intermedia (mismo espesor que el espesor de la capa límite) se caracteriza por perturbaciones rotacionales no viscosas. La plataforma superior, que se extiende hacia la región de flujo potencial, se caracteriza por perturbaciones irrotacionales no viscosas.

La zona de interacción identificada por Lighthill en la dirección del arroyo es

${\displaystyle {\text{Interaction zone}}:\quad x\sim Re^{-3/8}.}$

El aspecto más importante de la formulación de tres pisos es que la presión no está prescrita, por lo que debe resolverse como parte del problema de la capa límite. Este acoplamiento entre velocidad y presión reintroduce la elipticidad en el problema, lo que contrasta con la naturaleza parabólica de la capa límite clásica de Prandtl . ^[9]

Flujo cerca del borde de salida de una placa plana.

Supongamos que las escalas de longitud se normalicen con la longitud de la placa y la escala de velocidad mediante la velocidad de la corriente libre ; entonces el único parámetro del problema es el número de Reynolds . Sea el origen del sistema de coordenadas ubicado en el borde posterior de la placa. Además, sean los componentes de velocidad adimensionales, el campo de presión adimensional y la función de corriente adimensional tal que y . Para abreviar la notación, introduzcamos el parámetro pequeño . La coordenada para la interacción horizontal y para las tres plataformas se puede definir mediante ^[10] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Re=UL/\nu }$ ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle u=\partial \psi /\partial y}$ ${\displaystyle v=-\partial \psi /\partial x}$ ${\displaystyle \varepsilon =1/Re^{1/8}}$

${\displaystyle \chi =x/\varepsilon ^{3},\quad \xi =y/\varepsilon ^{5},\quad \eta =y/\varepsilon ^{4},\quad \zeta =y/\varepsilon ^{3}.}$

Como (o ), la solución debe aproximarse al comportamiento asintótico de la solución de Blasius , que viene dado por ${\displaystyle \chi \to -\infty }$ ${\displaystyle x\to 0^{-}}$

${\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {2}}}\left[f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {\eta }{\sqrt {2}}}f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)\right]+\cdots }$

¿Dónde está la función de Blasisus que satisface sometida a ? Como (o ), la solución debería aproximarse al comportamiento asintótico de la estela cercana de Goldstein, que viene dado por ${\displaystyle f_{B}(\eta )}$ ${\displaystyle f_{B}'''+f_{B}f_{B}''=0}$ ${\displaystyle f_{B}(0)=f_{B}'(0)=f_{B}'(\infty )-1=0}$ ${\displaystyle \chi \to +\infty }$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$

${\displaystyle {\text{Outer wake}}:{\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\mu x^{1/3}}{\lambda }}f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\cdots }$

donde y . La solución de estela interna de Goldstein no es necesaria aquí. ${\displaystyle \mu =1.1321}$ ${\displaystyle \lambda =0.8789}$

Cubierta media

La solución en el piso medio resulta ser

${\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\varepsilon A(\chi )f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\varepsilon ^{2}\Phi (\chi ,\eta )+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }$

donde se denomina función de desplazamiento y se denomina función de presión , que se determinará a partir de los problemas de la cubierta superior e inferior. Tenga en cuenta que la corrección a la función de la corriente de Blasius es del orden , aunque la perturbación de la presión es sólo del orden ${\displaystyle A(\chi )}$ ${\displaystyle P(\chi )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}.}$

Cubierta superior

En el piso superior, la solución está dada por

${\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\frac {\zeta }{\varepsilon }}-{\sqrt {2}}\beta -{\frac {\varepsilon }{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }A'(\chi )\left[\tan ^{-1}\left({\frac {\chi -{\hat {\chi }}}{\zeta }}\right)+{\frac {\pi }{2}}\right]d{\hat {\chi }}+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }$

dónde . Además, el problema del piso superior también proporciona la relación entre el desplazamiento y la función de presión como ${\displaystyle \beta =1.2168}$

${\displaystyle P(\chi )=\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {A'({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}\quad {\text{and}}\quad A'(\chi )=-\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {P({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}.}$

donde representa el valor principal de Cauchy . Se puede observar que la función de presión y la derivada de la función de desplazamiento (también conocida como velocidad transversal) forman un par de transformadas de Hilbert . ${\displaystyle \mathrm {p.v.} }$

Cubierta inferior

En el piso inferior, la solución viene dada por

${\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}=\varepsilon ^{2}\Psi (\chi ,\xi )+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }$

donde satisfará ecuaciones de tipo capa límite impulsadas por el gradiente de presión y la velocidad de deslizamiento de orden generada por la plataforma intermedia. Es conveniente introducir y , donde y debe satisfacer ${\displaystyle \Psi (\chi ,\xi )}$ ${\displaystyle dP/d\chi }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}=\partial \Psi /\partial \xi }$ ${\displaystyle {\hat {v}}=-\partial \Psi /\partial \chi }$ ${\displaystyle {\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \chi }}+{\frac {\partial {\hat {v}}}{\partial \xi }}&=0,\\{\hat {u}}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \chi }}+{\hat {v}}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \xi }}&=-\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {A''({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}+{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial \xi ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones están sujetas a las condiciones

${\displaystyle \xi =0:\,\,\,{\begin{cases}{\hat {u}}={\hat {v}}=0,\,\,\chi \leq 0,\\{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \xi }}={\hat {v}}=0,\,\,\chi >0,\end{cases}}\quad {\text{and}}\quad \xi \to \infty :{\hat {u}}\to {\frac {\xi +A(\chi )}{\sqrt {2\alpha ^{3}}}},}$

${\displaystyle \chi \to -\infty :\,\,\,A\to 0,\quad {\text{and}}\quad \chi \to +\infty :\,\,\,A\to {\frac {\mu }{\lambda }}\chi ^{1/3}}$

dónde . La función de desplazamiento y por lo tanto debe obtenerse como parte de la solución. El conjunto de ecuaciones anterior puede parecerse a las ecuaciones normales de la capa límite; sin embargo, tiene un carácter elíptico ya que el término del gradiente de presión ahora no es local, es decir, el gradiente de presión en una ubicación depende también de otras ubicaciones. Debido a esto, estas ecuaciones a veces se denominan ecuaciones interactivas de capa límite . La solución numérica de estas ecuaciones fue obtenida por Jobe y Burggraf en 1974. ^[11] ${\displaystyle \alpha =1.6552}$ ${\displaystyle A(\chi )}$ ${\displaystyle P(\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$

Ver también

• Separación de flujo
• capa límite

Referencias

1. Smith, pies (1982). "Sobre la teoría del alto número de Reynolds de los flujos laminares". IMA J. Aplicación. Matemáticas . 28 (3): 207–281. doi :10.1093/imamat/28.3.207.
2. Smith, pies (1979). "Sobre la estabilidad del flujo no paralelo de la capa límite de Blasius". Proc. R. Soc. Londres . 366 (1724): 91-109. Código Bib : 1979RSPSA.366...91S. doi :10.1098/rspa.1979.0041. S2CID  112228524.
3. Lin, CC (1946). "Sobre la estabilidad de flujos paralelos bidimensionales. III. Estabilidad en un fluido viscoso". Cuarto de galón. Aplica. Matemáticas . 3 (4): 277–301. doi : 10.1090/qam/14894 .
4. Lighthill, Michael James (1953). "Sobre capas límite e influencia aguas arriba II. Flujos supersónicos sin separación". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 217 (1131): 478–507. Código bibliográfico : 1953RSPSA.217..478L. doi :10.1098/rspa.1953.0075. S2CID  95497146.
5. Disertación de EA Müller (1953), Universidad de Göttingen.
6. Stewartson, K. (1969). "Sobre el flujo cerca del borde de salida de una placa plana II". Matemática . 16 (1): 106–121. doi :10.1112/S0025579300004678.
7. Neiland, V. Ya. (1969). "Teoría de la separación de la capa límite laminar en flujo supersónico". Dinámica de fluidos . 4 (4): 33–35. doi : 10.1007/BF01094681 .
8. Messiter, AF (1970). "Flujo de la capa límite cerca del borde de salida de una placa plana". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 18 (1): 241–257. doi :10.1137/0118020.
9. Prandtl, L. (1904). "Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung". Verh. III. Int. Matemáticas. Kongr. : 484–491.
10. Sobey, IJ (2000). Introducción a la teoría de la capa límite interactiva (Vol. 3). Textos de Oxford en Applied y En.
11. Jobe, CE y Burggraf, Oregón (1974). La solución numérica de las ecuaciones asintóticas del flujo de borde de salida. Actas de la Royal Society de Londres. A. Ciencias Físicas y Matemáticas, 340(1620), 91-111.