Grupo de monstruos de Tarski

Tipos de grupos infinitos en la teoría de grupos

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , un grupo monstruo de Tarski , llamado así por Alfred Tarski , es un grupo infinito G , tal que cada subgrupo propio H de G , excepto el subgrupo identidad, es un grupo cíclico de orden un número primo fijo p . Un grupo monstruo de Tarski es necesariamente simple . Alexander Yu. Olshanskii demostró en 1979 que existen grupos de Tarski, y que hay un p -grupo de Tarski para cada primo p > 10 ^75. Son una fuente de contraejemplos para las conjeturas en la teoría de grupos , más importante aún para el problema de Burnside y la conjetura de von Neumann .

Definición

Sea un número primo fijo. Un grupo infinito se denomina grupo monstruo de Tarski si cada subgrupo no trivial (es decir, cada subgrupo distinto de 1 y G) tiene elementos. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Propiedades

• ${\displaystyle G}$se genera necesariamente de manera finita. De hecho, se genera por cada dos elementos no conmutativos.
• ${\displaystyle G}$es simple. Si y es cualquier subgrupo distinto del subgrupo tendría elementos. ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ ${\displaystyle U\leq G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle NU}$ ${\displaystyle p^{2}}$
• La construcción de Olshanskii muestra de hecho que hay muchos grupos de Monstruos de Tarski no isomorfos para cada primo . ${\displaystyle p>10^{75}}$
• Los grupos monstruosos de Tarski son ejemplos de grupos no susceptibles de ser tratados que no contienen ningún subgrupo libre .

Referencias

• A. Yu. Olshanskii , Un grupo infinito con subgrupos de órdenes primos, Math. URSS Izv. 16 (1981), 279–289; traducción de Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309–321.
• A. Yu. Olshanskii , Grupos de período acotado con subgrupos de orden primo, Algebra and Logic 21 (1983), 369–418; traducción de Algebra i Logika 21 (1982), 553–618.
• Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometría de relaciones definitorias en grupos , Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), vol. 70, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6