Discusión:Secuencia de Cauchy

Intitulado

Cauchy net redirecciona aquí, pero no parece haber nada sobre el concepto aquí.... Vivamente

Este comentario fue dejado en 2004, ya no es cierto. -- JBL ( discusión ) 13:06 13 dic 2018 (UTC)[ responder ]

Intitulado

En términos generales, los términos de la secuencia se van acercando cada vez más entre sí, de tal forma que se sugiere que la secuencia debería converger. No obstante, las secuencias de Cauchy no siempre convergen.

Algún ejemplo, por favor. Taw, 11 de diciembre de 2001.

Agregué un ejemplo, aunque es un poco torpe -- RAE

---

Me gustaría decir algo como lo siguiente: las secuencias de Cauchy son inicialmente útiles en espacios como los reales porque son una prueba de convergencia que no requiere un valor para el límite potencial. La otra cara de la moneda es que SI todas las secuencias de Cauchy convergen, entonces un espacio está completo.

Hay una especie de cambio en la percepción a medida que las cosas suben un nivel de abstracción que, como matemático, encuentro evidente (e interesante), pero sospecho que los no matemáticos encuentran desconcertante o incluso aterrador:

• Teorema: las secuencias de Cauchy convergen en los números reales.
• Abstracción: secuencias de Cauchy en otro espacio, donde podrían no converger
• Axioma: parte de la definición de espacio completo.

¿Se ha incluido esta idea general en algún lugar de la sección de matemáticas? --Tarquin

No creo que se haya tratado el tema, cabría aquí o en todo el espacio . AxelBoldt , miércoles, 12 de junio de 2002

¿Qué tal:?

Todas las secuencias de Cauchy de números reales o complejos convergen, por lo que comprobar que una secuencia es de Cauchy es una prueba de convergencia. Esto es más útil que utilizar la definición de convergencia, ya que esta requiere que se conozca el límite posible. Con esta idea en mente, un espacio métrico en el que convergen todas las secuencias de Cauchy se denomina completo .

Por lo tanto, R y C están completos, pero Q no. La construcción estándar de los números reales implica secuencias de Cauchy de números racionales (algo así como que R es la completitud de Q...).

...y algo sobre la abstracción matemática en general en otro lugar. Veré si puedo encontrar o recordar los esquemas de prueba de "Toda secuencia convergente es una secuencia de Cauchy" y "toda secuencia de Cauchy está acotada" -- Tarquin 12 de junio de 2002

Definición

¿Qué tal una definición formal? Mi libro de texto de análisis elemental dice: Una secuencia de números reales se llama secuencia de Cauchy si 66.71.96.78 17:01, 3 de octubre de 2005 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle (s_{n})}$ ${\displaystyle \forall \epsilon >0\exists N{\mbox{ such that }}m,n>N{\mbox{ implies }}\vert s_{n}-s_{m}\vert <\epsilon .}$

La definición formal del artículo es más general que la tuya, y se aplica a los espacios métricos en general, en lugar de a la línea real en particular . — Caesura (t) 17:07, 6 de diciembre de 2005 (UTC) [ responder ]

También sería bueno tener secuencias de Cauchy definidas para otros valores absolutos, en particular para valores absolutos p-ádicos. ¿Sería esto un problema? Gene Ward Smith 09:05, 6 de mayo de 2006 (UTC) [ responder ]

Supongo que esto podría ir en la sección de generalización, ya que no es realmente central para el concepto de secuencias de Cauchy tal como se utilizan en el análisis. Oleg Alexandrov ( discusión ) 15:48 6 may 2006 (UTC) [ responder ]

material p-ádico fuera de lugar

El material p-ádico que se encuentra justo después de la secuencia de Cauchy que encabeza el espacio métrico no parece pertenecer a ese lugar. McKay 11:18, 16 de junio de 2006 (UTC) [ responder ]

Lo recorté junto con otras tonterías. Todo el artículo era un montón de cosas sin conexiones claras. Oleg Alexandrov ( discusión ) 16:42 16 jun 2006 (UTC) [ responder ]

¿'Los dos' o 'cualquiera dos'?

El primer párrafo se ha cambiado de nuevo a "los dos elementos restantes...". No quiero iniciar una guerra de reversiones, por lo que agradecería otras opiniones. Mi opinión es que tiene que ser "cualquiera dos", ya que "los dos" es matemáticamente incorrecto y gramaticalmente incorrecto. Madmath789 06:38, 21 de junio de 2006 (UTC) [ responder ]

Estoy de acuerdo, pero "cualquiera dos" no es muy preciso. Es la distancia máxima entre dos de los elementos restantes la que tiene que ser pequeña. Lo cambié. McKay 07:57, 21 de junio de 2006 (UTC) [ responder ]

Lista de referencias

La lista de referencias incluye dos sobre álgebra y una sobre matemáticas constructivas. ¿Qué tal una referencia a un buen texto de análisis, ya que, después de todo, las secuencias de Cauchy suelen aprenderse como parte del análisis, no del álgebra?

¿Un texto de análisis cualquiera, aunque no se utilice como referencia? ¿Por qué no el pequeño Rudin o algo así? ¿Pero es correcto ? No se me ocurre nada, de momento, que añadir a este artículo, ni de ninguna fuente ni de ningún otro tipo. — vivacissamamente 03:13, 21 de octubre de 2006 (UTC) [ responder ]

Considero que debería haber un texto de análisis en las referencias:

Sugiero como opción el libro 'Cálculo' de M. Spivak. Ofrece un buen tratamiento de las sucesiones de Cauchy reales y de la construcción de los números reales utilizando sucesiones de Cauchy, así como otras construcciones (es definitivamente un texto de Análisis, más que de Cálculo, a pesar del título). Intentaré buscar el ISBN, etc., si alguien no se me adelanta. Messagetolove 13:56, 26 de mayo de 2007 (UTC) [ responder ]

He incluido una referencia a Spivak (incluso está en Wiki por derecho propio).

Messagetolove 19:15, 26 de mayo de 2007 (UTC) [ responder ]

Ediciones recientes

Aquí está mi respuesta. Estos son los problemas.

• La secuencia

0, 1, 1,5, 2, 2,25, 2,5, 2,75, 3, 3,125, 3,25, ..

Me parece convergente, a pesar de lo que afirma el ejemplo.

• No es necesario enfatizar que

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<r}$

implica que no sólo los términos consecutivos sino todos los términos restantes se están acercando cada vez más. Es obvio que estamos hablando de todos los términos , ya que utilizamos índices diferentes para m y n.

• ¿Por qué eliminar el texto sobre completitud de la definición de la secuencia de Cauchy? ¡Ese es el mejor lugar para señalarlo! Es obvio para cualquiera que esté allí que una secuencia de Cauchy parece convergente. Entonces, haga que el lector preste atención allí mismo, en lugar de mover ese texto medio artículo hacia abajo. Oleg Alexandrov ( discusión ) 15:55 2 jun 2007 (UTC) [ responder ]

La completitud tiene su propia sección. Especialmente con el tema añadido de los contraejemplos, no se deben mezclar las dos cuestiones. -- Patrick 08:45, 3 de junio de 2007 (UTC) [ responder ]

Me parece que Patrick podría haber tenido la intención de tomar las sumas parciales de la serie obtenida sumando 1 una vez, 1/2 2 veces, 1/4 4 veces, 1/8 8 veces, etc., es decir, esencialmente el argumento utilizado para demostrar que la serie armónica diverge (se desplaza un poco). Claramente, si esa es la secuencia prevista, no es convergente, pero no está del todo claro que esto sea realmente lo que se pretende, y nunca había oído que se hiciera referencia a eso como "armónico" antes. Estoy de acuerdo con tus otros puntos.

Messagetolove 19:06 2 jun 2007 (UTC) [ responder ]

Sí, eso es lo que quiero decir. Sin embargo, escribí que esta secuencia y la secuencia de números armónicos son contraejemplos, no escribí que esta secuencia se llama armónica. Esta secuencia tiene números más fáciles que los números armónicos, por lo que es más fácil ver que diverge, y que todos los números naturales aparecen en ella. Si la secuencia no es lo suficientemente clara, podemos agregar más términos. -- Patrick 22:37, 2 de junio de 2007 (UTC) [ responder ]

Pero es mucho más difícil ver el patrón en esta secuencia, incluso con una explicación. Las series armónicas me parecen más simples, sólo se suma 1/n cada vez. Además, no estoy seguro de que este contraejemplo sea relevante aquí. Agregaré una imagen en estos días, eso debería aclarar las cosas. Oleg Alexandrov ( discusión ) 23:07 2 jun 2007 (UTC) [ responder ]

He revertido el contraejemplo de los términos consecutivos, que es un poco inútil y además está mal escrito (no es la diferencia de términos consecutivos la que tiende a cero, sino la distancia entre ellos, según el párrafo anterior). El contraejemplo interesante es una sucesión de Cauchy que no es convergente, y que se encuentra a continuación. Oleg Alexandrov ( discusión ) 11:44 3 jun 2007 (UTC) [ responder ]

(1) Esto no es en absoluto un argumento a favor de la eliminación, es sólo cambiar una palabra.

(2) Esto no es un contraejemplo, es una cuestión diferente (igualmente interesante).

Patrick 12:15 3 junio 2007 (UTC) [ responder ]

Por supuesto, estoy de acuerdo con (1). No estoy de acuerdo con que lo de los términos consecutivos sea interesante. Está bastante claro que los términos no son consecutivos a partir de la definición. Lo importante de la sucesión de Cauchy es su relación con la completitud. Oleg Alexandrov ( discusión ) 12:24 3 jun 2007 (UTC) [ responder ]

pregunta

Oleg dijo

> Esto está bastante claro: n está en el eje horizontal y x_n en el vertical. Esta es una forma estándar de graficar funciones.

Sí, ya veo que es verdad, pero el gráfico trazado por los puntos azules se encuentra en el "plano", no en el eje. Por lo tanto, los puntos azules no muestran la secuencia de x_n, ¿eso es lo que pasa? Lo siento por mi pobre inglés, gracias. --218.42.230.29 21:48, 5 de agosto de 2007 (UTC) [ responder ]

Aclaré un poco las cosas diciendo que lo que se grafica no es la secuencia en sí, sino su trama. ¿Están más claras las cosas ahora? Oleg Alexandrov ( discusión ) 00:37 6 ago 2007 (UTC) [ responder ]

Agradezco su amabilidad. :-) --218.42.230.61 01:41, 6 agosto 2007 (UTC) [ responder ]

Un garabato que no sé cómo se dice ni de qué alfabeto viene.

Simplemente me gustaría señalar que hay un garabato en esta página que supone un poco de conocimiento previo que no está documentado por un enlace a Wikipedia que explique el símbolo del carácter y los conceptos asociados.

Generalizando, sería bueno que cada símbolo matemático utilizado en un artículo tuviera un enlace a todo lo que el lector debería saber sobre él. ¿Wikipedia podría convertir esto en una especie de estándar?

Tal vez esto se podría generalizar aún más hasta llegar a algún tipo de estándar general que permita volver a vincular en Wikipedia cualquier concepto relevante con suficiente complejidad y oscuridad, al menos con un artículo solicitado. —Comentario anterior sin firmar añadido por Jjalexand ( discusión • contribuciones ) 12:50, 2 septiembre 2008 (UTC) [ responder ]

¿Los valores de exp, sin y cos son siempre irracionales?

Creo que esto no es cierto:

Se sabe que los valores de las funciones exponenciales seno y coseno, exp(x), sin(x), cos(x), son irracionales para cualquier valor racional de x≠0, [...]

Contraejemplo: . ${\displaystyle \cos(60^{\circ })={\frac {1}{2}}\,}$

( Francisco Albani ( discusión ) 00:31, 22 de septiembre de 2008 (UTC)). [ responder ]

La afirmación que usted ha citado anteriormente es correcta en "unidades naturales", lo que en el caso de las funciones trigonométricas significa radianes en lugar de grados : 60° = 60•2π/360 = π/3, y un múltiplo racional de un número irracional (π) sigue siendo irracional. — Tobias Bergemann ( discusión ) 11:29 22 sep 2008 (UTC) [ responder ]

"m,n > N" frente a "m,n >= N"

¿Hay alguna razón por la que "m,n > N" sea mejor que "m,n >= N"? Con ">", me parece que el primer elemento siempre se descarta, lo cual no importa, supongo, pero me hizo preguntarme si es necesario o no. 88.65.186.193 (discusión) 14:08 25 abr 2009 (UTC) [ responder ]

Como la elección de N es arbitraria, también lo es si se utiliza o no una desigualdad estricta (o no). Por ejemplo, si se requiere que m,n > 199, entonces m,n >= 200 es igual de bueno. A algunos autores les gusta de una manera, a otros de otra. De manera similar, al hacer una prueba delta-epsilon, si dos elementos {f(y) y f(x)} en una secuencia son menores que epsilon siempre que {x e y} estén más cerca que "delta", entonces la secuencia es convergente... pero lo mismo es cierto si son menores que 5*epsilon o epsilon^2. o sqrt(epsilon) o 1000*epsilon, ¡porque la elección es ARBITRARIA! Espero que ayude... Brydustin (discusión) 03:20 25 feb 2012 (UTC) [ responder ]

En resumen: significa lo mismo pero le quita un caracter... -- CiaPan ( discusión ) 07:50 1 mar 2012 (UTC) [ responder ]

Convergencia

¿Por qué no decimos simplemente:

una convergencia de secuencias de Cauchy en un espacio métrico, aunque el límite podría no estar en el espacio métrico.

Jackzhp ( discusión ) 22:56 17 jun 2009 (UTC) [ responder ]

Porque cuando decimos que algo converge a otra cosa, ¿implícitamente sugerimos que el límite está en el espacio? Quiero decir, si el límite no está en el espacio, ¿dónde está? No es fácil hablar de cosas que están fuera del espacio. -- Taku ( discusión ) 21:39 18 jun 2009 (UTC) [ responder ]

Así es. Incluso añadiría algo de énfasis y diría 'porque por definición una secuencia es convergente si y sólo si tiene un límite ', y un límite de una secuencia se define como un elemento del mismo espacio al que pertenecen los elementos de la secuencia. Es por eso que 'la misma' secuencia de es convergente en números reales (con un límite igual a cero) y es divergente en -- CiaPan ( discusión ) 12:05, 2 julio 2009 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle (1/n)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,\infty )}$

Topología general

¿Qué tal la generalización en topología general? Sugiero una definición: (Cn) es Cauchy si y solo si existe un conjunto tal que cualquier recubrimiento abierto que lo cubra contenga un conjunto abierto S tal que exista un entero N tal que para cualquier n>N, Cn esté en S.

¿Es bueno? ¿Aparece en alguna parte? —Comentario anterior sin firmar añadido por 84.229.68.163 (discusión) 06:56, 2 de julio de 2009 (UTC) [ responder ]

Esto suena como la definición de convergencia. Por definición, una secuencia converge a x si cada conjunto abierto que contiene x contiene una cantidad infinita de . El problema con la generalización de la secuencia de Cauhy es que necesitamos alguna forma de medir la distancia entre dos puntos; esto se puede hacer en un espacio métrico, por supuesto. Pero en general, no es posible. Por lo tanto, necesitamos una estructura uniforme o algo más. -- Taku ( discusión ) 11:09 2 jul 2009 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

"Contiene una cantidad infinita de" me parece demasiado débil. Consideremos la sucesión real No tiene límite en el intervalo aunque cualquier subconjunto abierto de contenga una cantidad infinita de términos de . Tal vez podamos decir "cualquier conjunto abierto que contenga x contiene TODOS para n mayor que algún k ", es decir "todos excepto como máximo un número finito de términos iniciales". -- CiaPan ( discusión ) 07:14 3 jul 2009 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle a_{n}=\sin n}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}}$

Tienes toda la razón. Un contraejemplo más simple sería "1, 0, 1, 0, 1, 0, ...". Debería ser "x_n -> x si cada entorno de x contiene todos los x_n excepto algunos términos finitos". -- Taku ( discusión ) 13:43 3 jul 2009 (UTC) [ responder ]

Mi definición tiene como objetivo precisamente sortear este obstáculo. La idea es confinar la sucesión en un conjunto abierto "tan pequeño como queramos" (para un número n suficientemente grande). La dificultad era definir qué es "un conjunto abierto tan pequeño como queramos" sin punto límite ni métrica. Lo que encontré parece una solución elegante para esto: el recubrimiento abierto puede ser tan fino como queramos. Mi definición no requiere nada indefinido en la topología general y claramente generaliza las sucesiones convergentes topológicas, pero no veo si también generaliza las sucesiones métricas de Cauchy. Si no es así, ¿se puede solucionar reemplazando "cualquier recubrimiento abierto" por "cualquier recubrimiento abierto finito "?

Por cierto, ¿cómo se puede añadir un comentario a una sección arbitraria o a un comentario? (una forma fea de hacerlo es ciertamente editándolo) -- 87.68.41.183 (discusión) 15:29 2 jul 2009 (UTC) [ responder ]

Pronunciación en inglés de "Cauchy"

Según mi experiencia, el nombre "Cauchy" se pronuncia en inglés como /ˈkoʊʃi/ . ¿Debería agregar esta pronunciación al artículo o esperar a que alguien me proporcione una fuente confiable o al menos decir "sí, yo también lo pronuncio así"? — Tanner Swett ( discusión ) 19:28 21 jun 2011 (UTC) [ responder ]

No lo sé, aunque en principio se podría buscar en YouTube evidencia de que la gente realmente lo pronuncia de esta manera, pero confié en tu observación, fui audaz y agregué la pronunciación que sugieres al artículo. De esta manera, es más visible y la probabilidad de que la gente lo note y se queje o la cambie si no es la pronunciación más frecuente es mayor. -- Florian Blaschke ( discusión ) 15:46 6 mar 2014 (UTC) [ responder ]

Ejemplo confuso

El ejemplo de una secuencia de Cauchy dice: "La aceptación habitual del hecho de que cualquier número real x tiene una expansión decimal es un reconocimiento implícito de que una secuencia de Cauchy particular de números racionales (cuyos términos son los truncamientos sucesivos de la expansión decimal de x) tiene el límite real x".

Pero a esto le sigue un "contraejemplo: números racionales" que dice "Los números racionales Q no son completos (para la distancia habitual): hay sucesiones de racionales que convergen (en R) a números irracionales; estas son sucesiones de Cauchy que no tienen límite en Q".

No hay ninguna contradicción en decir que la gente entiende intuitivamente que una secuencia de Cauchy de números racionales converge a un número real, pero una lectura superficial de los dos párrafos invita a la confusión. — Comentario anterior sin firmar añadido por 208.86.181.160 ( discusión ) 15:10 19 jul 2012 (UTC) [ responder ]

Lo que necesita cierto énfasis aquí es la distinción de dominios: decimos que hay secuencias de racionales que convergen (en R) a números irracionales, por lo que no tienen límite en Q y, por lo tanto, son divergentes en Q.

En otras palabras, consideramos que la misma secuencia de números racionales es o bien 'una secuencia en el espacio R' (es decir, una secuencia de números reales, que por coincidencia son racionales) con un límite en el espacio real, o bien 'una secuencia en el espacio Q' (una secuencia de números racionales en el espacio racional) sin límite en ese espacio. -- CiaPan ( discusión ) 14:52 22 jul 2014 (UTC) [ responder ]

Generalizaciones a grupos topológicos

Creo que hay un problema con la definición de completitud de un grupo topológico G cuando G no tiene una base numerable de vecindad abierta de 0. En particular, si K es un cuerpo con una valoración de Krull, cuyo grupo de valores no tiene cofinalidad numerable, entonces, de acuerdo con la definición dada aquí, K será completo (ya que las únicas secuencias de Cauchy en K, como se define aquí, son eventualmente constantes), al contrario de la terminología usual. 193.206.101.2 (discusión) 14:11 4 jul 2013 (UTC) [ responder ]

Otro ejemplo del mismo problema: sea G el grupo aditivo del espacio de Banach , dotado de la topología débil . Entonces, toda SECUENCIA débilmente de Cauchy converge en norma, por la propiedad de Schur y el hecho de que los espacios - son débilmente secuencialmente completos. Sin embargo, el grupo (el espacio de Banach) ciertamente no es débilmente completo. Para solucionar esto, se debe recurrir a la configuración mucho más compleja de los espacios uniformes y los filtros de Cauchy. Bdmy ( discusión ) 18:32 4 jul 2013 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

arbitrariamente

Creo que la definición "una secuencia cuyos elementos se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí" para ser más claro debería decir "una secuencia cuyos elementos se vuelven cada vez más arbitrariamente cercanos entre sí", a menos que se proporcione una definición de arbitrariamente que incluya la noción, porque, en lenguaje sencillo, el número arbitrario podría ser 1 y los números enteros estarían arbitrariamente cercanos entre sí. Alternativamente, se podría decir que la secuencia es monóticamente algo u otro o algún otro término. 69.201.168.196 ( discusión ) 13:50 15 jul 2014 (UTC) [ responder ]

Aunque "arbitrariamente cerca" es una expresión que (estoy bastante seguro) sólo entienden los matemáticos, nadie en absoluto entenderá "cada vez más arbitrariamente cerca". Creo que el texto ya es aceptable porque la siguiente oración explica lo que significa "arbitrariamente cerca". "Monotónico" es matemáticamente incorrecto: las diferencias no tienen que disminuir continuamente, sino que pueden subir y bajar siempre que finalmente se hagan pequeñas y permanezcan pequeñas. McKay ( discusión ) 05:34 16 jul 2014 (UTC) [ responder ]

No, arbitrariamente cerca no significa que uno podría elegir una distancia igual a 1 y declarar que los números enteros están arbitrariamente cerca. Arbitrariamente cerca significa que, cualquiera sea la distancia que elijas (cualquiera sea la distancia pequeña en este caso), los términos de la secuencia eventualmente se acercarán entre sí más que la distancia que hayas elegido; no solo se acercarán más que un umbral específico que hayas elegido (por ejemplo, 1), sino que se acercarán más que cualquier umbral que puedas elegir. -- CiaPan ( discusión ) 14:41 22 jul 2014 (UTC) [ responder ]

LaTeX defectuoso en este artículo

La mayor parte del LaTeX en este artículo está roto. 174.124.71.135 (discusión) 21:51 20 oct 2016 (UTC) [ responder ]

Problema con definición formal y ejemplo de serie armónica

En el segundo párrafo de la sección introductoria del artículo, se cita la serie armónica como ejemplo de una serie que no converge, y luego se presenta una definición formal de una secuencia de Cauchy, pretendiendo mostrar que la serie armónica no satisface esta definición.

Sin embargo, la forma en que se presenta aquí esta definición formal hace que la serie armónica la satisfaga. Para cualquier épsilon > 0, simplemente se elige un valor de N tal que 1/N < épsilon. Entonces queda claro que para cualquier par m,n > N, |1/m - 1/n| < épsilon se cumplirá.

La definición formal real que es necesaria para el criterio de convergencia de Cauchy se indica correctamente en las páginas de "Series convergentes" (sección "Criterio de convergencia de Cauchy") y "Prueba de convergencia de Cauchy". En resumen, es necesario que para cualquier épsilon > 0, exista una N tal que el valor absoluto de *cualquier suma arbitrariamente larga de términos* más allá del término N sea menor que épsilon. — Comentario anterior sin firmar agregado por Rokirovka (discusión • contribs ) 11:29, 9 de mayo de 2018 (UTC) [ responder ]

@Rokirovka: ¿Es posible que estés confundiendo la secuencia armónica y la serie armónica ...? La secuencia armónica es de Cauchy, como has demostrado anteriormente, y convergente. Sin embargo, la serie armónica, que es una secuencia de sumas parciales de la secuencia armónica , tampoco es convergente ni de Cauchy. Satisface un requisito intuitivo de que los términos vecinos estén arbitrariamente cerca unos de otros, pero no satisface el requisito de definición de que casi todos los términos (lo que significa: todos los términos a partir de un punto en adelante) estén arbitrariamente cerca unos de otros. -- CiaPan ( discusión ) 11:48 9 may 2018 (UTC) [ responder ]

(Olvidé hacer ping. -- CiaPan ( discusión ) 11:50 9 may 2018 (UTC))[ responder ]

@ CiaPan : Quizás el problema aquí es el significado preciso de la notación. Cuando leo la notación "a_n", ya sea en referencia a la secuencia armónica o a la serie armónica, la interpreto como "el término n-ésimo de la secuencia armónica", es decir, "1/n". No interpreto la notación "a_n" como "la suma parcial n-ésima 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n", incluso si el material precedente utiliza la terminología "serie armónica" en lugar de "secuencia armónica". Creo que muchos otros lectores tendrán la misma interpretación instintiva de esta notación que yo, y por lo tanto creo que el párrafo tal como está escrito ahora será confuso y poco claro para muchos lectores. Rokirovka (discusión) 15:06 9 may 2018 (UTC) [ responder ]

@Rokirovka: ¡Pero no se refiere en absoluto a una serie o secuencia armónica! La serie se muestra como un ejemplo de lo que no es suficiente , luego la descripción "más formal" muestra lo que es necesario. La oración intermedia que comienza con "más bien" enfatiza que lo último es algo opuesto a lo primero, por lo tanto, los símbolos utilizados no describen lo mismo. El símbolo no está asociado con la serie en el texto, ni directa ni implícitamente. -- CiaPan ( discusión ) 15:18 9 may 2018 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum {\frac {1}{n}}}$

Estoy de acuerdo con Rokirovka en que el párrafo en cuestión no está escrito con mucha claridad y podría llevar a confusión (aunque no contiene ninguna afirmación inequívocamente falsa). -- JBL ( discusión ) 15:20 9 may 2018 (UTC) [ responder ]

Sí, tal vez usar un ejemplo rápido como la secuencia podría funcionar igual de bien sin necesidad de complicar el asunto con series. – Diácono Vorbis  ( carbon  •  videos ) 15:40, 9 de mayo de 2018 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}}$

@Rokirovka, Joel B. Lewis y Deacon Vorbis : He reemplazado el párrafo con un ejemplo basado en – Special:Diff/840419862 . Por favor, vea, verifique y corrija si es necesario. -- CiaPan ( discusión ) 19:37 9 may 2018 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}}$

Encerrado

@ CiaPan : En esta edición, revertiste una extensión (de Madsmh) de acotación a un caso más general, calificándola de "inapropiada". ¿Puedes explicarlo? -- JBL ( discusión ) 13:06 13 dic 2018 (UTC) [ responder ]

@JBL : Aquí está la respuesta que iba a dar:

La noción de acotación se define para funciones reales o de valores complejos, por lo que no se extiende automáticamente a funciones (secuencias, en este caso) en cualquier espacio métrico . Incluso si quisiéramos hacer algo de WP:OR sobre esto, la acotación se define esencialmente con la desigualdad

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

en general, o

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

para secuencias, que deben ser satisfechas por todos los x -es o todos los n -es para algún M real .

Esto implica que debe definirse alguna norma real en el espacio del que proviene nuestra secuencia, por lo tanto, debe ser al menos algún espacio vectorial normado , no cualquier espacio métrico . La métrica proporciona los medios para definir la proximidad, lo que nos permite saber si los términos de la secuencia se aproximan entre sí; pero no nos permite definir una acotación. Por lo tanto, utilizar la acotación en "cualquier espacio métrico" es inapropiado. ${\displaystyle |\cdot |}$

Esta es una diferencia, por ejemplo, entre un plano euclidiano "puro" y un plano euclidiano con coordenadas cartesianas. El último define un punto específico como el origen del sistema (más dos ejes) y asigna coordenadas a los puntos, lo que hace que el plano sea un espacio vectorial con una norma . Sin embargo, el primero es solo un espacio métrico: podemos determinar una distancia entre dos puntos dados en él, pero no hay ninguna norma, ningún "valor absoluto", porque no hay un "origen" predefinido para determinar la distancia. Podemos probar una secuencia de puntos en un plano para ver si los puntos se acercan arbitrariamente entre sí; pero no tenemos un "valor absoluto" para ningún punto para comparar con ningún M. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle |(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Sin embargo, ahora descubrí que el artículo Función acotada , vinculado en el párrafo, define explícitamente la acotación para cualquier espacio métrico con elección arbitraria de cualquier punto en el espacio como un 'origen', desde el cual se miden las distancias. Así que ahora me corrijo y restablezco lo que revertí antes. Nunca es demasiado tarde para aprender :) De todos modos, la parte del 'valor absoluto' sigue siendo incorrecta y la reemplacé. -- CiaPan ( discusión ) 22:15, 13 de diciembre de 2018 (UTC) [ responder ]

Secuencia infinita

Me parece que una sucesión de Cauchy debe ser una sucesión infinita. ¿Es correcto? Si es así, creo que "infinita" debería ser parte de la definición de sucesión de Cauchy. Puede haber sucesiones finitas, pero una sucesión de Cauchy seguramente debe ser infinita. Dratman ( discusión ) 21:15 17 jul 2021 (UTC) [ responder ]

Compatibilidad del modo oscuro en la aplicación Wikipedia

Si la aplicación oficial de Wikipedia admite el modo oscuro, es extraño ver que algunos artículos prefieren este estilo recomendado, mientras que la mayoría de los artículos lo hacen al revés y funciona. Entonces, ¿cómo podemos resolver este problema sin este cambio de estilo? Definitivamente, no es una solución usar el modo claro aquí porque esto debería funcionar de inmediato y mi edición fue la única solución alternativa que pude ver en otros artículos importantes de matemáticas. 2A02:6D40:21F1:D200:8542:4B01:AC3B:E45C (discusión) 07:25 12 feb 2022 (UTC) [ responder ]

Este es un problema conocido (ver T182128 y T268279) y la solución correcta no es romper otras cosas (las ecuaciones con sangría de dos puntos aparentemente causan problemas para los lectores de pantalla que, a diferencia del modo oscuro, no es algo que los lectores puedan ajustar fácilmente en su extremo) sino dejar comentarios o solicitudes de tickets con la esperanza de que los desarrolladores de la aplicación solucionen el problema más temprano que tarde. -- JBL ( discusión ) 21:28, 12 de febrero de 2022 (UTC) [ responder ]

Secuencia fundamental

@ JayBeeEll : si no te molesta la información sobre el nombre "secuencia fundamental", ¿por qué no la mueves al lugar que quieres en lugar de revertir mi edición? Esa no es una excusa válida para revertir (ver Wikipedia:Revertir solo cuando sea necesario ). El nombre "secuencia fundamental" es un nombre común, particularmente entre los autores rusos en el análisis funcional. -- Tensorproduct ( discusión ) 20:17, 1 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

Debido a las tres opciones (1) no incluir la información, (2) incluirla donde la has puesto y (3) incluirla en otro lugar, me resulta indiferente (1) y (3), mientras que (2) es claramente peor. Evidentemente, crees que vale la pena incluirla, entonces eres mi invitado, de una manera que no empeore el artículo de forma evidente. -- JBL ( discusión ) 21:12 1 sep 2023 (UTC) [ responder ]

@JayBeeEll Explica cómo empeora el artículo, no es una afirmación objetiva sino tu opinión. El nombre "secuencia fundamental" se utiliza en muchos libros y agregué una referencia. -- Tensorproduct ( discusión ) 21:15 1 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Una secuencia de Cauchy también se llama secuencia fundamental.

Una secuencia de Cauchy también se denomina secuencia fundamental . Hay muchos libros de matemáticas (escritos por grandes matemáticos como Israel Gelfand ) que utilizan la palabra secuencia fundamental en lugar de secuencia de Cauchy. Utilicé como fuente un libro de otro matemático, Heinz-Dieter Ebbinghaus . Si no recuerdo mal, era el nombre original antes de que la gente empezara a llamarla secuencia de Cauchy. El usuario User :JayBeeEll sigue revirtiendo mi edición sin darme una explicación adecuada. El usuario solo dice que empeora el artículo, pero no explica por qué ni siquiera analiza el problema adecuadamente. Creo que se trata de una información importante para una enciclopedia y debería estar en el artículo. Y de ninguna manera lo empeora. -- Tensorproduct ( discusión ) 23:26 1 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Como matemático en activo, nunca había oído antes el término "secuencia fundamental", pero parece que aparece en algunos libros. (Sé que mi experiencia personal no es relevante y que nos basamos en fuentes...) La versión actual con "rara vez" me parece correcta; entendería a un editor que pensara que debería aparecer más adelante en la sección principal o que debería hacerse menos prominente de alguna otra manera, ya que no creo que este término sea de uso común en la actualidad. C apital S asha ~ t alk 03:10, 2 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

@ CapitalSasha Si recuerdo correctamente, el término secuencia fundamental es en realidad el nombre histórico real de la secuencia de Cauchy antes de que la gente usara la palabra secuencia de Cauchy. Obviamente, tales secuencias eran conocidas por personas como Leonhard Euler antes de que Cauchy viviera. Me parece que el término es más común en la literatura de autores alemanes y rusos en análisis funcional que en la de autores franceses. Sin embargo, el nombre aparece en algunos libros clásicos reales de Análisis como "Funciones generalizadas" de Israel Gelfand y Georgiy Shilov, que es una serie tan importante que la relevancia está claramente ahí (es el libro donde se introducen las ternas de Gelfand , el espacio normado numerable, los espacios de Gelfand-Shilov, las funciones generalizadas, etc.). Cualquiera que estudie análisis en serio eventualmente se encontrará con el término. -- Tensorproduct ( discusión ) 04:03, 2 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

Por cierto: al final del artículo hay un enlace a la Enciclopedia de Matemáticas de Springer que también dice "secuencia fundamental".-- Tensorproduct ( discusión ) 10:11 2 septiembre 2023 (UTC) [ responder ]

Edición nº 2: Olvidé abordar tu afirmación de que "el término no se usa actualmente" . Eso no es cierto, véase por ejemplo "El método de espacios manipulados en la teoría de perturbaciones singulares de operadores autoadjuntos" de Volodymyr Koshmanenko y Mykola Dudkin. Es un libro de 2016 y utilizaron este término (y muchos más lo hacen). Es un libro nuevo, no una nueva edición de uno antiguo. -- Tensorproduct ( discusión ) 13:28 2 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Entonces, creo que la redacción actual de "raramente" es buena. C apital S asha ~ t alk 14:13, 2 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

Todo este resoplido y bufido, antes de que te molestaras en preguntar: ¿por qué es peor? La respuesta es que, obviamente, es malo hacer de la primera oración de un artículo un viaje serpenteante a través de la etimología y la terminología antes de llegar a la sustancia. Lo he corregido para ti; de nada. -- JBL ( discusión ) 17:17 3 sep 2023 (UTC) [ responder ]

@JayBeeEll También creo que es bastante "poco amigable" que llames "resoplar y resoplar" a la aportación de otro matemático. Pero lo que aprendí aquí, todo el mundo lo sabe mejor. -- Tensorproduct ( discusión ) 22:53, 12 de enero de 2024 (UTC) [ responder ]

@ Tensorproduct : No creo que esta página de discusión sea un buen lugar para una discusión sobre el comportamiento personal, pero como tú la comenzaste aquí, responderé aquí. Mi respuesta inicial a tu adición fue cortés; si en ese momento hubieras abierto una discusión en esta página (como sugirió WP:BRD ) o en mi discusión de usuario y hubieras dicho "No entiendo a qué te opones sobre la ubicación, ¿podrías aclararlo?" entonces habríamos tenido una discusión corta y constructiva, con el mismo punto final (la información que agregaste incluida, de una manera que no sobrecargue la oración principal). En cambio, me respondiste nuevamente y luego escribiste una publicación larga y defensiva que no aborda de ninguna manera mi objeción. ¿Podrían todos en esta interacción haberlo hecho mejor? Probablemente sí. Creo que es una pena que esto todavía te moleste cuatro meses después, y me disculpo por responder en lugar de mejorar en primer lugar. -- JBL ( discusión ) 23:57, 12 de enero de 2024 (UTC) [ responder ]

@ JayBeeEll Bueno, agregué una buena fuente de un matemático relativamente conocido, Heinz-Dieter Ebbinghaus . Pensé que esto sería suficiente. Especialmente porque su terminología tiene cierta autoridad en la comunidad matemática. -- Tensorproduct ( discusión ) 21:54, 20 de enero de 2024 (UTC) [ responder ]

El paréntesis en esta versión es extraño y hace que llegar a la esencia real sea más difícil. También es inconsistente en cuanto al tono: ¿por qué un término que se usa "raramente" es el segundo aspecto más destacado del tema? Por curiosidad, revisé los números de Google Scholar para ambos términos; "secuencia de Cauchy" arroja alrededor de 64.500 resultados y "secuencia fundamental" alrededor de 7.280, incluyendo lo que parece ser una buena cantidad de falsos positivos. Tales cifras solo pueden dar la comparación más burda posible, por supuesto, pero una proporción tan desequilibrada es una indicación bastante buena de que un término realmente se usa más comúnmente que el otro. XOR'easter ( discusión ) 22:49 3 sep 2023 (UTC) [ responder ]

@JayBeeEll Te pregunté "¿por qué empeora el artículo?" No tuviste ganas de responder ni de iniciar una discusión .

Tampoco he oído nunca que la política de Wikipedia sea tener un orden o lugar específico en el artículo para la terminología. Hay muchos artículos de matemáticas que comienzan escuchando todos los nombres. A continuación, una breve lista que se me ocurre:

• Distribución (matemáticas)
• Modelo de Black-Scholes
• Álgebra de von Neumann
• Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony
• Lema de Itô
• Teorema de parada opcional

Así que no es una política. Obviamente no me importa dónde se coloca la información, solo tuve un problema con la reversión injustificada que hiciste. Deberías haber investigado un poco sobre la terminología si no la conocías.

@ XOR'easter ¿Importa qué término se usa más? El término todavía se usa ampliamente en la literatura matemática. Es común en el análisis funcional y el cálculo estocástico. Y es aún más común si buscas en otros idiomas además del inglés. Tal vez la palabra rara vez fue un poco exagerada. ¿Y realmente crees que la afirmación "hace que llegar a la sustancia real sea más difícil" ? Es solo otro nombre entre paréntesis (como en muchos otros artículos) que el lector puede omitir. Pero, de nuevo, nunca me importó dónde se coloca el término. -- Tensorproduct ( discusión ) 14:47, 4 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

¿Cómo puede un término inglés ser más común en otros idiomas además del inglés? C apital S asha ~ t alk 15:15, 4 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

@ CapitalSasha Me refería al término "fundamental", obviamente no a la parte "secuencia" . "Secuencia fundamental" en alemán es "Fundamentalfolge" , en ruso "fundamental'naya posledovatel'nost" (ese es incluso el nombre de Wikipedia para el artículo) y en italiano "successione fondamentale" . Me parece que especialmente los autores rusos usan el nombre "secuencia fundamental" en lugar de "secuencia de Cauchy".-- Tensorproduct ( discusión ) 15:53, 4 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

Claro, pero hay muchas palabras en matemáticas en las que el cognado de un término de un idioma extranjero no se usa en inglés. Por ejemplo, lo que llamamos una variedad es en francés una variété ... Por supuesto, esto a menudo lleva a que el cognado también se traslade al inglés, como señalas. (Creo que este es el origen de la variedad algebraica ). C apital S asha ~ t alk 16:18, 4 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

@ CapitalSasha Pero la palabra fundamental sequence también se utiliza en la literatura inglesa (como por ejemplo en los libros que he mencionado anteriormente). Tampoco se puede comparar esto con "manifold", ya que "manifold" es una palabra germánica y proviene del inglés medio/alemán, por eso no existe una palabra así en francés (en alemán también existe el adjetivo "mannigfaltig"). Fundamental, sin embargo, proviene del latín y se usa también en inglés, francés y alemán. -- Tensorproduct ( discusión ) 17:03 4 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Um, sí, creo en lo que escribí; de lo contrario, no lo habría escrito. XOR'easter ( discusión ) 03:09 5 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Vamos a intentar bajar la temperatura aquí, ¿hay alguna objeción a la redacción actual? C apital S asha ~ t alk 04:53, 5 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

Para mí está bien así. Nunca me importó la ubicación de la palabra. JBL habla de "resoplar y resoplar", mientras que el usuario podría haberlo reformulado simplemente de la forma que desea en lugar de hacer estas reversiones injustificadas. ¿Cómo se supone que iba a saber cómo quieren los usuarios la redacción?

Me parece extraño que nadie haya oído hablar de esta terminología. Mi formación investigadora es la teoría de la probabilidad, pero he leído mucho sobre análisis y he visto a muchos autores utilizando esta palabra.

No soy un experto en la historia de las matemáticas, pero supongo que una secuencia de Cauchy también se llamaba "secuencia fundamental" en el mundo de habla inglesa antes de que se usara el nombre de secuencia de Cauchy, ya que hasta donde sé, era el nombre original para tales secuencias. -- Tensorproduct ( discusión ) 07:47, 5 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]