Término límite de Gibbons–Hawking–York

Término en relatividad general

En relatividad general , el término límite de Gibbons–Hawking–York es un término que debe agregarse a la acción de Einstein–Hilbert cuando la variedad espacio-temporal subyacente tiene un límite.

La acción de Einstein-Hilbert es la base del principio variacional más elemental a partir del cual se pueden definir las ecuaciones de campo de la relatividad general . Sin embargo, el uso de la acción de Einstein-Hilbert es apropiado solo cuando la variedad espaciotemporal subyacente es cerrada , es decir, una variedad que es compacta y sin frontera. En el caso de que la variedad tenga una frontera , la acción debe complementarse con un término de frontera para que el principio variacional esté bien definido. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$

La necesidad de dicho término límite fue comprendida por primera vez por James W. York y luego refinada en menor medida por Gary Gibbons y Stephen Hawking .

Para un colector que no está cerrado, la acción apropiada es

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }+{\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}R+{\frac {1}{8\pi }}\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K,}$

donde es la acción de Einstein–Hilbert, es el término de frontera de Gibbons–Hawking–York, es la métrica inducida (ver la sección a continuación sobre definiciones) en la frontera, su determinante, es la traza de la segunda forma fundamental , es igual a donde la normal a es espacial y donde la normal a es temporal, y son las coordenadas en la frontera. Variando la acción con respecto a la métrica , sujeta a la condición ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle y^{a}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=0,}$

da las ecuaciones de Einstein ; la adición del término de contorno significa que al realizar la variación, la geometría del contorno codificado en la métrica transversal es fija (ver sección a continuación). Sigue habiendo ambigüedad en la acción hasta un funcional arbitrario de la métrica inducida . ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle h_{ab}}$

El hecho de que se necesite un término límite en el caso gravitacional se debe a que , la densidad lagrangiana gravitacional, contiene derivadas segundas del tensor métrico. Esta es una característica no típica de las teorías de campo, que suelen formularse en términos de lagrangianos que involucran derivadas primeras de campos que se van a variar solamente. ${\displaystyle R}$

El término GHY es deseable, ya que posee una serie de otras características clave. Al pasar al formalismo hamiltoniano, es necesario incluir el término GHY para reproducir la energía de Arnowitt-Deser-Misner ( energía ADM ) correcta. El término es necesario para garantizar que la integral de trayectoria (a la Hawking) para la gravedad cuántica tenga las propiedades de composición correctas. Al calcular la entropía de los agujeros negros utilizando el enfoque semiclásico euclidiano, toda la contribución proviene del término GHY. Este término ha tenido aplicaciones más recientes en la gravedad cuántica de bucles para calcular amplitudes de transición y amplitudes de dispersión independientes del fondo.

Para determinar un valor finito para la acción, puede ser necesario restar un término de superficie para el espacio-tiempo plano:

${\displaystyle S_{EH}+S_{GHY,0}={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}R+{\frac {1}{8\pi }}\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K-{1 \over 8\pi }\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K_{0},}$

donde es la curvatura extrínseca del espacio-tiempo plano incrustado en el límite. Como es invariante bajo variaciones de , este término de adición no afecta las ecuaciones de campo; como tal, se lo conoce como el término no dinámico. ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {h}}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$

Introducción a las hipersuperficies

Definición de hipersuperficies

En una variedad espacio-temporal de cuatro dimensiones, una hipersuperficie es una subvariedad tridimensional que puede ser temporal, espacial o nula.

Se puede seleccionar una hipersuperficie particular imponiendo una restricción en las coordenadas ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle f(x^{\alpha })=0,}$

o dando ecuaciones paramétricas,

${\displaystyle x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a}),}$

donde son coordenadas intrínsecas a la hipersuperficie. ${\displaystyle y^{a}(a=1,2,3)}$

Por ejemplo, una biesfera en un espacio euclidiano tridimensional se puede describir mediante

${\displaystyle f(x^{\alpha })=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0,}$

¿Dónde está el radio de la esfera, o por ${\displaystyle r}$

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi ,\quad y=r\sin \theta \sin \phi ,\quad z=r\cos \theta ,}$

donde y son coordenadas intrínsecas. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Campos vectoriales ortogonales de hipersuperficie

Tomamos la convención métrica (-,+,...,+). Comenzamos con la familia de hipersuperficies dada por

${\displaystyle f(x^{\alpha })=C}$

donde los diferentes miembros de la familia corresponden a diferentes valores de la constante . Consideremos dos puntos vecinos y con coordenadas y , respectivamente, que se encuentran en la misma hipersuperficie. Entonces tenemos que ordenar primero ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha }+dx^{\alpha }}$

${\displaystyle C=f(x^{\alpha }+dx^{\alpha })=f(x^{\alpha })+{\partial f \over \partial x^{\alpha }}dx^{\alpha }.}$

Restando de esta ecuación se obtiene ${\displaystyle C=f(x^{\alpha })}$

${\displaystyle {\partial f \over \partial x^{\alpha }}dx^{\alpha }=0}$

en . Esto implica que es normal a la hipersuperficie. Se puede introducir una normal unitaria en el caso en que la hipersuperficie no sea nula. Esto se define por ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f_{,\alpha }}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n^{\alpha }n_{\alpha }\equiv \epsilon ={\begin{cases}-1&{\text{if }}\Sigma {\text{ is spacelike}}\\+1&{\text{if }}\Sigma {\text{ is timelike}}\end{cases}}}$

y requerimos que apunte en la dirección de aumento . Entonces se puede comprobar fácilmente que está dado por ${\displaystyle n^{\alpha }}$ ${\displaystyle f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\epsilon {\,}f_{,\alpha } \over (\epsilon {\,}g^{\alpha \beta }f_{,\alpha }f_{,\beta })^{1 \over 2}}}$

si la hipersuperficie es espacial o temporal.

Métrica inducida y transversal

Los tres vectores

${\displaystyle e_{a}^{\alpha }=\left({\partial x^{\alpha } \over \partial y^{a}}\right)_{\partial {\mathcal {M}}}\quad a=1,2,3}$

son tangenciales a la hipersuperficie.

La métrica inducida es el tritensor definido por ${\displaystyle h_{ab}}$

${\displaystyle h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }.}$

Esto actúa como un tensor métrico en la hipersuperficie en las coordenadas. Para desplazamientos confinados a la hipersuperficie (de modo que ) ${\displaystyle y^{a}}$ ${\displaystyle x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }\\&=g_{\alpha \beta }\left({\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial y^{a}}}dy^{a}\right)\left({\frac {\partial x^{\beta }}{\partial y^{b}}}dy^{b}\right)\\&=\left(g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\right)dy^{a}dy^{b}\\&=h_{ab}dy^{a}dy^{b}\end{aligned}}}$

Debido a que los tres vectores son tangenciales a la hipersuperficie, ${\displaystyle e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }e_{a}^{\alpha }=0}$

donde es el vector unitario ( ) normal a la hipersuperficie. ${\displaystyle n_{\alpha }}$ ${\displaystyle n_{\alpha }n^{\alpha }=\pm 1}$

Introducimos lo que se llama la métrica transversal

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\epsilon n_{\alpha }n_{\beta }.}$

Aísla la parte de la métrica que es transversal a la normal . ${\displaystyle n^{\alpha }}$

Se ve fácilmente que este tensor de cuatro

${\displaystyle {h^{\alpha }}_{\beta }={\delta ^{\alpha }}_{\beta }-\epsilon n^{\alpha }n_{\beta }}$

proyecta la parte de un cuadrivector transversal a la normal como ${\displaystyle n^{\alpha }}$

${\displaystyle {h^{\alpha }}_{\beta }n^{\beta }=({\delta ^{\alpha }}_{\beta }-\epsilon n^{\alpha }n_{\beta })n^{\beta }=(n^{\alpha }-\epsilon ^{2}n^{\alpha })=0\quad {\text{and }}\;\mathrm {if} \quad w^{\alpha }n_{\alpha }=0\quad \mathrm {then} \quad {h^{\alpha }}_{\beta }w^{\beta }=w^{\alpha }.}$

Tenemos

${\displaystyle h_{ab}=h_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }.}$

Si definimos que es la inversa de , es fácil comprobarlo ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle h_{ab}}$

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }}$

dónde

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }.}$

Téngase en cuenta que la variación está sujeta a la condición

${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=0,}$

implica que la métrica inducida en , se mantiene fija durante la variación. Véase también ^[1] para una aclaración sobre y etc. ${\displaystyle h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \delta h_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \delta n_{\alpha }}$

Sobre la demostración del resultado principal

En las siguientes subsecciones calcularemos primero la variación del término de Einstein-Hilbert y luego la variación del término límite, y demostraremos que su suma da como resultado

${\displaystyle \delta S_{TOTAL}=\delta S_{EH}+\delta S_{GHY}={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x}$

donde es el tensor de Einstein , que produce el lado izquierdo correcto de las ecuaciones de campo de Einstein , sin el término cosmológico , que sin embargo es trivial de incluir reemplazándolo por ${\displaystyle G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R}$ ${\displaystyle S_{EH}}$

${\displaystyle {1 \over 16\pi }\int _{\mathcal {M}}(R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}d^{4}x}$

¿Dónde está la constante cosmológica ? ${\displaystyle \Lambda }$

En la tercera subsección profundizamos en el significado del término no dinámico.

Variación del término de Einstein-Hilbert

Usaremos la identidad

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}\equiv -{1 \over 2}{\sqrt {-g}}g_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta },}$

y la identidad de Palatini :

${\displaystyle \delta R_{\alpha \beta }\equiv \nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu })-\nabla _{\beta }(\delta \Gamma _{\alpha \mu }^{\mu }),}$

que se obtienen en el artículo Acción de Einstein-Hilbert .

Consideremos la variación del término de Einstein-Hilbert:

${\displaystyle {\begin{aligned}(16\pi )\delta S_{EH}&=\int _{\mathcal {M}}\delta \left(g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\delta g^{\alpha \beta }+g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }\delta {\sqrt {-g}}+{\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }\right)d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x+\int _{\mathcal {M}}g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x.\end{aligned}}}$

El primer término nos da lo que necesitamos para el lado izquierdo de las ecuaciones de campo de Einstein. Debemos tener en cuenta el segundo término.

Por la identidad Palatini

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }=\delta {V^{\mu }}_{;\mu },\qquad \delta V^{\mu }=g^{\alpha \beta }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-g^{\alpha \mu }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }.}$

Necesitaremos el teorema de Stokes en la forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {M}}{A^{\mu }}_{;\mu }{\sqrt {-g}}d^{4}x&=\int _{\mathcal {M}}({\sqrt {-g}}A^{\mu })_{,\mu }d^{4}x\\&=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}A^{\mu }d\Sigma _{\mu }\\&=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon A^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {|h|}}d^{3}y\end{aligned}}}$

donde es la normal unitaria a y , y son coordenadas en el límite. Y donde donde , es un elemento de volumen tridimensional invariante en la hipersuperficie. En nuestro caso particular tomamos . ${\displaystyle n_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \epsilon \equiv n^{\mu }n_{\mu }=\pm 1}$ ${\displaystyle y^{a}}$ ${\displaystyle d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma }$ ${\displaystyle d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y}$ ${\displaystyle h=\det[h_{ab}]}$ ${\displaystyle A^{\mu }=\delta V^{\mu }}$

Ahora evaluamos en el límite , teniendo en cuenta que en . Teniendo esto en cuenta tenemos ${\displaystyle \delta V^{\mu }n_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu }).}$

Es útil tener en cuenta que

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\alpha \mu }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}&={1 \over 2}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })\\&={1 \over 2}g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\alpha \beta ,\nu }-\delta g_{\nu \beta ,\alpha })\end{aligned}}}$

En la segunda línea hemos intercambiado y y hemos utilizado que la métrica es simétrica. Entonces no es difícil calcular . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })}$

Así que ahora

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta V^{\mu }n_{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}&=n^{\mu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\\&=n^{\mu }(\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta })(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\\&=n^{\mu }h^{\alpha \beta }(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\end{aligned}}}$

donde en la segunda línea usamos la identidad , y en la tercera línea hemos usado la antisimetría en y . Como se anula en todas partes en el límite, sus derivadas tangenciales también deben anularse: . Se sigue que . Así que finalmente tenemos ${\displaystyle g^{\alpha \beta }=\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}},}$ ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta ,\gamma }e_{c}^{\gamma }=0}$ ${\displaystyle h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0}$

${\displaystyle n_{\mu }\delta V^{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=-h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }.}$

Recopilando los resultados que obtenemos

${\displaystyle (16\pi )\delta S_{EH}=\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x-\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }{\sqrt {h}}d^{3}y\quad Eq1.}$

A continuación demostramos que el término límite anterior se cancelará con la variación de . ${\displaystyle S_{GHY}}$

Variación del término límite

Ahora nos ocuparemos de la variación del término. Como la métrica inducida está fijada en la única cantidad que se debe variar es la traza de la curvatura extrínseca . ${\displaystyle S_{GHY}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}},}$ ${\displaystyle K}$

Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={n^{\alpha }}_{;\alpha }\\&=g^{\alpha \beta }n_{\alpha ;\beta }\\&=\left(\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }\right)n_{\alpha ;\beta }\\&=h^{\alpha \beta }n_{\alpha ;\beta }\\&=h^{\alpha \beta }(n_{\alpha ,\beta }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }n_{\gamma })\end{aligned}}}$

donde hemos usado que implica Entonces la variación de es ${\displaystyle 0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }}$ ${\displaystyle n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=-h^{\alpha \beta }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }n_{\gamma }\\&=-h^{\alpha \beta }n_{\gamma }{\frac {1}{2}}g^{\gamma \sigma }\left(\delta g_{\sigma \alpha ,\beta }+\delta g_{\sigma \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\sigma }\right)\\&=-{1 \over 2}h^{\alpha \beta }\left(\delta g_{\mu \alpha ,\beta }+\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu }\right)n^{\mu }\\&={\frac {1}{2}}h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }\end{aligned}}}$

donde hemos utilizado el hecho de que las derivadas tangenciales de se desvanecen en Hemos obtenido ${\displaystyle \delta g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}.}$

${\displaystyle (16\pi )\delta S_{GHY}=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }{\sqrt {h}}d^{3}y}$

que cancela la segunda integral en el lado derecho de la ecuación 1. La variación total de la acción gravitacional es:

${\displaystyle \delta S_{TOTAL}={1 \over 16\pi }\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x.}$

Esto produce el lado izquierdo correcto de las ecuaciones de Einstein, lo que demuestra el resultado principal.

Este resultado se generalizó a las teorías de gravedad de cuarto orden en variedades con límites en 1983 ^[2] y se publicó en 1985. ^[3]

El término no dinámico

Desarrollamos el papel de

${\displaystyle S_{0}={1 \over 8\pi }\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K_{0}|h|^{1 \over 2}d^{3}y}$

en la acción gravitatoria. Como ya se mencionó anteriormente, debido a que este término solo depende de , su variación con respecto a da cero y, por lo tanto, no afecta las ecuaciones de campo, su propósito es cambiar el valor numérico de la acción. Por lo tanto, nos referiremos a él como el término no dinámico. ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$

Supongamos que es una solución de las ecuaciones de campo del vacío, en cuyo caso el escalar de Ricci se anula. El valor numérico de la acción gravitatoria es entonces ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle S={1 \over 8\pi }\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K|h|^{1 \over 2}d^{3}y,}$

donde ignoramos el término no dinámico por el momento. Evaluemos esto para el espacio-tiempo plano. Elijamos que el límite consista en dos hipersuperficies de valor de tiempo constante y un gran cilindro de tres dimensiones en (es decir, el producto de un intervalo finito y una esfera de tres dimensiones de radio ). Tenemos en las hipersuperficies de tiempo constante. En el cilindro de tres dimensiones, en coordenadas intrínsecas a la hipersuperficie, el elemento de línea es ${\displaystyle \partial {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle t=t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle K=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=-dt^{2}+r_{0}^{2}d\Omega ^{2}\\&=-dt^{2}+r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\end{aligned}}}$

lo que significa que la métrica inducida es

${\displaystyle h_{ab}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&r_{0}^{2}&0\\0&0&r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$

de modo que . La unidad normal es , por lo que . Entonces ${\displaystyle |h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta }$ ${\displaystyle n_{\alpha }=\partial _{\alpha }r}$ ${\displaystyle K={n^{\alpha }}_{;\alpha }=2/r_{0}}$

${\displaystyle \oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K|h|^{1 \over 2}d^{3}y=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }d\theta \left({2 \over r_{0}}\right)(r_{0}^{2}\sin \theta )=8\pi r_{0}(t_{2}-t_{1})}$

y diverge como , es decir, cuando el límite espacial se empuja hasta el infinito, incluso cuando el está limitado por dos hipersuperficies de tiempo constante. Se esperaría el mismo problema para los espaciotiempos curvos que son asintóticamente planos (no hay problema si el espaciotiempo es compacto). Este problema se soluciona con el término no dinámico. La diferencia estará bien definida en el límite . ${\displaystyle r_{0}\to \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle S_{GHY}-S_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}\to \infty }$

Variación de los términos de gravedad modificados

Existen muchas teorías que intentan modificar la Relatividad General de diferentes maneras, por ejemplo, la gravedad f(R) reemplaza a R, el escalar de Ricci en la acción de Einstein-Hilbert, por una función f(R). Guarnizo et al. encontraron el término límite para una teoría general f(R). ^[4] Encontraron que la "acción modificada en el formalismo métrico de la gravedad f(R) más un término límite similar al de Gibbons-York-Hawking debe escribirse como:"

${\displaystyle S_{mod}={\frac {1}{2\kappa }}\int _{V}d^{4}x{\sqrt {-g}}f(R)+2\int _{\partial V}d^{3}y\epsilon |h|f'(R)K}$

dónde . ${\displaystyle f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}}$

En 2009, Deruelle et al. utilizaron la descomposición ADM e introdujeron campos auxiliares adicionales para encontrar un método que permitiera hallar el término límite para las "teorías de gravedad cuyo lagrangiano es una función arbitraria del tensor de Riemann". ^[5] Este método se puede utilizar para hallar los términos límite de GHY para la gravedad derivada infinita . ^[6]

Un enfoque de trayectoria integral para la gravedad cuántica

Como se mencionó al principio, el término GHY es necesario para garantizar que la integral de trayectoria (a la Hawking et al.) para la gravedad cuántica tenga las propiedades de composición correctas.

Este enfoque más antiguo de la gravedad cuántica de la integral de trayectorias tenía una serie de dificultades y problemas sin resolver. El punto de partida de este enfoque es la idea de Feynman de que se puede representar la amplitud

${\displaystyle \langle g_{2},\phi _{2},\Sigma _{2}|g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle }$

para pasar del estado con campos métricos y de materia en una superficie a un estado con campos métricos y de materia en una superficie , como una suma sobre todas las configuraciones de campo y que toman los valores de contorno de los campos en las superficies y . Escribimos ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

${\displaystyle \langle g_{2},\phi _{2},\Sigma _{2}|g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle =\int {\mathcal {D}}[g,\phi ]\exp(iS[g,\phi ])}$

donde es una medida en el espacio de todas las configuraciones de campo y , es la acción de los campos, y la integral se toma sobre todos los campos que tienen los valores dados en y . ${\displaystyle {\mathcal {D}}[g,\phi ]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle S[g,\phi ]}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Se argumenta que solo es necesario especificar la métrica inducida tridimensional en el límite. ${\displaystyle h}$

Consideremos ahora la situación en la que se hace la transición del sistema métrico , en una superficie , al sistema métrico , en una superficie , y luego al sistema métrico en una superficie posterior. ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle h_{3}}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}}$

A uno le gustaría tener la regla de composición habitual.

${\displaystyle \langle h_{3},\Sigma _{3}|h_{1},\Sigma _{1}\rangle =\sum _{h_{2}}\langle h_{3},\Sigma _{3}|h_{2},\Sigma _{2}\rangle \langle h_{2},\Sigma _{2}|h_{1},\Sigma _{1}\rangle }$

expresando que la amplitud para pasar del estado inicial al final se obtiene sumando todos los estados de la superficie intermedia . ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Sea la métrica entre y y sea la métrica entre y . Aunque la métrica inducida de y concordará en , la derivada normal de en no será en general igual a la de en . Teniendo en cuenta las implicaciones de esto, se puede demostrar que la regla de composición se cumplirá si y solo si incluimos el término de contorno GHY. ^[7] ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

En la siguiente sección se demuestra cómo este enfoque integral de trayectorias para la gravedad cuántica conduce al concepto de temperatura del agujero negro y a la entropía mecánica cuántica intrínseca.

Cálculo de la entropía de un agujero negro mediante el método semiclásico euclidiano

Aplicación en gravedad cuántica de bucles

Amplitudes de transición y función principal de Hamilton

En la teoría cuántica, el objeto que corresponde a la función principal de Hamilton es la amplitud de transición . Consideremos la gravedad definida en una región compacta del espacio-tiempo, con la topología de una bola de cuatro dimensiones. El límite de esta región es un espacio tridimensional con la topología de una esfera tridimensional, que llamamos . En la gravedad pura sin constante cosmológica, dado que el escalar de Ricci se anula en las soluciones de las ecuaciones de Einstein, la acción en masa se anula y la función principal de Hamilton se da completamente en términos del término límite, ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle S[q]=\int _{\Sigma }K^{ab}[q]q_{ab}{\sqrt {q}}\;d^{3}\sigma }$

donde es la curvatura extrínseca del límite, es la tridimensional inducida en el límite y son las coordenadas en el límite. ${\displaystyle K^{ab}}$ ${\displaystyle q_{ab}}$ ${\displaystyle \sigma }$

El funcional es un funcional altamente no trivial de calcular; esto se debe a que la curvatura extrínseca está determinada por la solución global señalada por la geometría intrínseca de contorno. Como tal, no es local. Conocer la dependencia general de de es equivalente a conocer la solución general de las ecuaciones de Einstein. ${\displaystyle S[q]}$ ${\displaystyle K^{ab}[q]}$ ${\displaystyle K^{ab}[q]}$ ${\displaystyle K^{ab}}$ ${\displaystyle q_{ab}}$

Amplitudes de dispersión independientes del fondo

La gravedad cuántica de bucles se formula en un lenguaje independiente del fondo. No se supone ningún espacio-tiempo a priori, sino que se construye a partir de los propios estados de la teoría; sin embargo, las amplitudes de dispersión se derivan de funciones puntuales ( función de correlación (teoría cuántica de campos) ) y estas, formuladas en la teoría cuántica de campos convencional, son funciones de puntos de un espacio-tiempo de fondo. La relación entre el formalismo independiente del fondo y el formalismo convencional de la teoría cuántica de campos en un espacio-tiempo dado está lejos de ser obvia, y está lejos de ser obvio cómo recuperar cantidades de baja energía a partir de la teoría completamente independiente del fondo. Uno quisiera derivar las funciones puntuales de la teoría a partir del formalismo independiente del fondo, para compararlas con la expansión perturbativa estándar de la relatividad general cuántica y, por lo tanto, verificar que la gravedad cuántica de bucles produce el límite de baja energía correcto. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Se ha sugerido una estrategia para abordar este problema; ^[8] la idea es estudiar la amplitud límite, o amplitud de transición de una región compacta del espacio-tiempo, es decir, una integral de trayectoria sobre una región finita del espacio-tiempo, vista como una función del valor límite del campo. ^{[9] [10]} En la teoría cuántica de campos convencional, esta amplitud límite está bien definida ^{[11] [12]} y codifica la información física de la teoría; también lo hace en la gravedad cuántica, pero de una manera completamente independiente del fondo. ^[13] Una definición generalmente covariante de las funciones de punto puede entonces basarse en la idea de que la distancia entre puntos físicos – argumentos de la función de punto – está determinada por el estado del campo gravitacional en el límite de la región del espacio-tiempo considerada. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La observación clave es que en la gravedad los datos de contorno incluyen el campo gravitatorio, por lo tanto la geometría del contorno y, por lo tanto, todas las distancias relativas y separaciones temporales relevantes. En otras palabras, la formulación del contorno realiza de manera muy elegante en el contexto cuántico la identificación completa entre la geometría del espacio-tiempo y los campos dinámicos.

Véase también

• Teorema de Borde-Guth-Vilenkin

Notas

1. Feng, JC, Matzner RA La variación de Weiss de la acción gravitacional. Theory Group, Departamento de Física, Universidad de Texas en Austin. arXiv:1708.04489v3 [gr-qc]. 24 de julio de 2018 https://arxiv.org/pdf/1708.04489
2. "Acciones gravitacionales de segundo y cuarto orden sobre variedades con límites". ResearchGate . Consultado el 8 de mayo de 2017 .
3. Barth, NH (1 de julio de 1985). "La acción gravitatoria de cuarto orden para variedades con límites". Gravedad clásica y cuántica . 2 (4). IOP Publishing: 497–513. Bibcode :1985CQGra...2..497B. doi :10.1088/0264-9381/2/4/015. ISSN  0264-9381. S2CID  250893849.
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Referencias

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Enlaces externos

• "¿Por qué este universo? Un nuevo cálculo sugiere que nuestro cosmos es típico". Revista Quanta . 17 de noviembre de 2022.