Desigualdad de Pólya-Szegő

Concepto en el análisis matemático

En análisis matemático , la desigualdad de Pólya–Szegő (o desigualdad de Szegő ) establece que la energía de Sobolev de una función en un espacio de Sobolev no aumenta bajo un reordenamiento simétrico decreciente . ^[1] La desigualdad recibe su nombre de los matemáticos George Pólya y Gábor Szegő .

Contexto y enunciado matemático

Dada una función medible de Lebesgue, el reordenamiento decreciente simétrico es la única función tal que para cada conjunto de subniveles es una bola abierta centrada en el origen que tiene la misma medida de Lebesgue que ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle u^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle u^{*}{}^{-1}((t,+\infty ))}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u^{-1}((t,+\infty )).}$

Equivalentemente, es la única función radial y radialmente no creciente , cuyos conjuntos de subniveles estrictos son abiertos y tienen la misma medida que los de la función . ${\displaystyle u^{*}}$ ${\displaystyle u}$

La desigualdad Pólya-Szegő establece que si además entonces y ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle u^{*}\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{p}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}.}$

Aplicaciones de la desigualdad

La desigualdad de Pólya–Szegő se utiliza para demostrar la desigualdad de Rayleigh–Faber–Krahn , que establece que entre todos los dominios de un volumen fijo dado, la pelota tiene el primer valor propio más pequeño para el laplaciano con condiciones de contorno de Dirichlet . La prueba se basa en reformular el problema como una minimización del cociente de Rayleigh . ^[1]

La desigualdad isoperimétrica se puede deducir de la desigualdad de Pólya–Szegő con . ${\displaystyle p=1}$

La constante óptima en la desigualdad de Sobolev se puede obtener combinando la desigualdad de Pólya–Szegő con algunas desigualdades integrales. ^{[2] [3]}

Casos de igualdad

Como la energía de Sobolev es invariante bajo traslaciones, cualquier traslación de una función radial alcanza la igualdad en la desigualdad de Pólya–Szegő. Sin embargo, existen otras funciones que pueden alcanzar la igualdad, que se obtiene, por ejemplo, tomando una función radial no creciente que alcanza su máximo en una bola de radio positivo y añadiendo a esta función otra función que es radial con respecto a un punto diferente y cuyo soporte está contenido en el conjunto máximo de la primera función. Para evitar esta obstrucción, se necesita una condición adicional.

Se ha demostrado que si la función alcanza la igualdad en la desigualdad de Pólya–Szegő y si el conjunto es un conjunto nulo para la medida de Lebesgue, entonces la función es radial y radialmente no creciente con respecto a algún punto . ^[4] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:u(x)>0{\text{ and }}\nabla u(x)=0\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$

Generalizaciones

La desigualdad de Pólya-Szegő sigue siendo válida para simetrizaciones en la esfera o en el espacio hiperbólico . ^[5]

La desigualdad también es válida para simetrizaciones parciales definidas mediante la foliación del espacio en planos (simetrización de Steiner) ^{[6] [7]} y en esferas (simetrización de tapa). ^{[8] [9]}

También existen desigualdades de Pólya−Szegő para reordenamientos con respecto a normas no euclidianas y utilizando la norma dual del gradiente. ^{[10] [11] [12]}

Pruebas de la desigualdad

Demostración original mediante una desigualdad isoperimétrica cilíndrica

La demostración original de Pólya y Szegő para se basó en una desigualdad isoperimétrica que compara conjuntos con cilindros y una expansión asintótica del área del área del gráfico de una función. ^[1] La desigualdad se demuestra para una función suave que se desvanece fuera de un subconjunto compacto del espacio euclidiano. Para cada , definen los conjuntos ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\varepsilon }&=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,:\,0<t<\varepsilon u(x)\}\\C_{\varepsilon }^{*}&=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \,:\,0<t<\varepsilon u^{*}(x)\}\end{aligned}}}$

Estos conjuntos son los conjuntos de puntos que se encuentran entre el dominio de las funciones y y sus respectivas gráficas. Utilizan entonces el hecho geométrico de que como las rebanadas horizontales de ambos conjuntos tienen la misma medida y las del segundo son bolas, para deducir que el área del borde del conjunto cilíndrico no puede exceder la de . Estas áreas se pueden calcular mediante la fórmula del área que da como resultado la desigualdad ${\displaystyle \varepsilon u}$ ${\displaystyle \varepsilon u^{*}}$ ${\displaystyle C_{\varepsilon }^{*}}$ ${\displaystyle C_{\varepsilon }}$

${\displaystyle \int _{u^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))}1+{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u^{*}|^{2}}}\leq \int _{u^{-1}((0,+\infty ))}1+{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}.}$

Como los conjuntos y tienen la misma medida, esto es equivalente a ${\displaystyle u^{-1}((0,+\infty ))}$ ${\displaystyle u{}^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))}$

${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{*}{}^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u^{*}|^{2}}}-1\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}-1.}$

La conclusión se desprende entonces del hecho de que

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{u^{-1}((0,+\infty ))}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}|\nabla u|^{2}}}-1={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}.}$

Fórmula de coarea y desigualdad isoperimétrica

La desigualdad de Pólya–Szegő se puede demostrar combinando la fórmula del área , la desigualdad de Hölder y la desigualdad isoperimétrica clásica . ^[2]

Si la función es lo suficientemente suave, se puede utilizar la fórmula de coarea para escribir ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}=\int _{0}^{+\infty }\int _{u^{-1}({t})}|\nabla u|^{p-1}\,d{\mathcal {H}}^{n-1}\,dt,}$

donde denota la medida de Hausdorff en la dimensión − en el espacio euclidiano . Para casi cada , tenemos por la desigualdad de Hölder, ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t\in (0,+\infty )}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right)\leq \left(\int _{u^{-1}(\{t\})}|\nabla u|^{p-1}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.}$

Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle \int _{u^{-1}(\{t\})}|\nabla u|^{p-1}\geq {\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}}\right)^{p-1}}}.}$

Como el conjunto es una bola que tiene la misma medida que el conjunto , por la desigualdad isoperimétrica clásica, tenemos ${\displaystyle u^{*}{}^{-1}((t,+\infty ))}$ ${\displaystyle u^{-1}((t,+\infty ))}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)\leq {\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{-1}(\{t\})\right).}$

Además, recordando que los conjuntos de subniveles de las funciones y tienen la misma medida, ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle \int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}=\int _{u^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u|}},}$

y por lo tanto,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}\geq \int _{0}^{+\infty }{\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}\right)^{p-1}}}\,dt.}$

Como la función es radial, se tiene ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {H}}^{n-1}\left(u^{*}{}^{-1}(\{t\})\right)^{p}}{\left(\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}{\frac {1}{|\nabla u^{*}|}}\right)^{p-1}}}=\int _{u^{*}{}^{-1}(\{t\})}|\nabla u^{*}|^{p-1},}$

y la conclusión se sigue aplicando nuevamente la fórmula del área.

Desigualdades de reordenamiento para convolución

Cuando , la desigualdad de Pólya–Szegő se puede demostrar representando la energía de Sobolev por el núcleo de calor . ^[13] Se comienza observando que ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u(x)u(y)\,dx\,dy\right),}$

donde para , la función es el núcleo de calor, definido para cada por ${\displaystyle t\in (0,+\infty )}$ ${\displaystyle K_{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle K_{t}(z)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|z|^{2}}{4t}}}.}$

Como para cada función es radial y radialmente decreciente, tenemos por la desigualdad de reordenamiento de Riesz ${\displaystyle t\in (0,+\infty )}$ ${\displaystyle K_{t}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)\,u(x)\,u(y)\,dx\,dy\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)\,u^{*}(x)\,u^{*}(y)\,dx\,dy}$

De aquí deducimos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u(x)u(y)\,dx\,dy\right)\\[6pt]&\geq \lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{2}-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{t}(x-y)u^{*}(x)u^{*}(y)\,dx\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{2}.\end{aligned}}}$

Referencias

1. Pólya, George ; Szegő, Gábor (1951). Desigualdades isoperimétricas en física matemática . Anales de estudios de matemáticas. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 9780691079882. ISSN  0066-2313.
2. Talenti, Giorgio (1976). "Mejor constante en la desigualdad de Sobolev". Annali di Matematica Pura ed Applicata . 110 (1): 353–372. CiteSeerX 10.1.1.615.4193 . doi :10.1007/BF02418013. ISSN  0373-3114. S2CID  16923822. 
3. Aubin, Thierry (1 de enero de 1976). "Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev". Revista de Geometría Diferencial (en francés). 11 (4): 573–598. doi : 10.4310/jdg/1214433725 . ISSN  0022-040X.
4. Hermanos, John E.; Ziemer, William P. (1988). "Reordenamientos mínimos de las funciones de Sobolev". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 384 : 153-179. ISSN  0075-4102.
5. Baernstein II, Albert (1994). "Un enfoque unificado de la simetrización". En Alvino, Angelo; Fabes, Eugenes; Talenti, Giorgio (eds.). Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico . Symposia Mathematica. Cambridge University Press. págs. 47–92. ISBN 9780521460484.
6. Kawohl, Bernhard (1985). Reordenamientos y convexidad de conjuntos de niveles en EDP . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1150. Berlín Heidelberg: Springer. doi :10.1007/bfb0075060. ISBN. 978-3-540-15693-2. ISSN  0075-8434.
7. Brock, Friedemann; Solynin, Alexander (2000). "Un enfoque a la simetrización a través de la polarización". Transactions of the American Mathematical Society . 352 (4): 1759–1796. doi : 10.1090/S0002-9947-99-02558-1 . ISSN  0002-9947.
8. Sarvas, Jukka (1972). Simetrización de condensadores en el espacio N. Suomalainen Tiedeakatemia. ISBN 9789514100635.
9. Smets, Didier; Willem, Michel (2003). "Simetría parcial y comportamiento asintótico para algunos problemas variacionales elípticos". Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales . 18 (1): 57–75. doi :10.1007/s00526-002-0180-y. ISSN  0944-2669. S2CID  119466691.
10. Ángel, Alvino; Vincenzo, Ferone; Guido, Trombetti; Pierre-Louis, Leones (1997). "Simetrización convexa y aplicaciones". Annales de l'Institut Henri Poincaré C (en francés). 14 (2): 275. Código bibliográfico : 1997AIHPC..14..275A. doi : 10.1016/S0294-1449(97)80147-3 .
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13. Lieb, Elliott H. ; Loss, Michael (1 de enero de 2001). Análisis (2.ª ed.). Sociedad matemática estadounidense. ISBN 9780821827833.OCLC 468606724  .