En matemáticas , las desigualdades sistólicas para curvas en superficies fueron estudiadas por primera vez por Charles Loewner en 1949 (inédito; ver comentario al final del artículo de PM Pu en '52). Dada una superficie cerrada , su sístole , denotada sys , se define como la longitud mínima de un bucle que no se puede contraer a un punto en la superficie. El área sistólica de una métrica se define como la razón área/sys 2 . La razón sistólica SR es la cantidad recíproca sys 2 /área. Ver también Introducción a la geometría sistólica .
En 1949, Loewner demostró su desigualdad para las métricas en el toro T 2 , es decir, que la razón sistólica SR(T 2 ) está limitada superiormente por , con igualdad en el caso plano (curvatura constante) del toro equilátero (véase red hexagonal ).
Un resultado similar lo da la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real a partir de 1952, debido a Pao Ming Pu , con un límite superior de π /2 para la relación sistólica SR(RP 2 ), también obtenida en el caso de curvatura constante.
Para la botella de Klein K , Bavard (1986) obtuvo un límite superior óptimo para la relación sistólica:
basado en el trabajo de Blatter de la década de 1960.
Una superficie orientable de género 2 satisface el límite de Loewner , véase (Katz-Sabourau '06). Se desconoce si todas las superficies de género positivo satisfacen o no el límite de Loewner. Se conjetura que todas lo hacen. La respuesta es afirmativa para el género 20 y superior según (Katz-Sabourau '05).
Para una superficie cerrada de género g , Hebda y Burago (1980) demostraron que la razón sistólica SR(g) está limitada superiormente por la constante 2. Tres años más tarde, Mikhail Gromov encontró un límite superior para SR(g) dado por una constante multiplicada por
Buser y Sarnak obtuvieron un límite inferior similar (con una constante menor). Es decir, exhibieron superficies de Riemann hiperbólicas aritméticas con la sístole comportándose como una constante multiplicada por . Nótese que el área es 4π(g-1) según el teorema de Gauss-Bonnet, de modo que SR(g) se comporta asintóticamente como una constante multiplicada por .
El estudio del comportamiento asintótico para géneros grandes de la sístole de superficies hiperbólicas revela algunas constantes interesantes. Así, las superficies de Hurwitz definidas por una torre de subgrupos de congruencia principal del grupo de triángulos hiperbólicos (2,3,7) satisfacen el límite
resultante de un análisis del orden de cuaternión de Hurwitz . Un límite similar se cumple para grupos fuchsianos aritméticos más generales . Este resultado de 2007 de Mikhail Katz , Mary Schaps y Uzi Vishne mejora una desigualdad debida a Peter Buser y Peter Sarnak en el caso de grupos aritméticos definidos sobre , de 1994, que contenían una constante aditiva distinta de cero. Para las superficies de Hurwitz de tipo congruencia principal, la razón sistólica SR(g) es asintótica a
Utilizando la desigualdad de entropía de Katok, se encontró el siguiente límite superior asintótico para SR(g) en (Katz-Sabourau 2005):
Véase también (Katz 2007), pág. 85. Combinando las dos estimaciones, se obtienen límites estrictos para el comportamiento asintótico de la relación sistólica de superficies.
También existe una versión de la desigualdad para métricas sobre la esfera, para el invariante L definido como la longitud mínima de una geodésica cerrada de la métrica. En 1980, Gromov conjeturó un límite inferior de para la razón área/ L 2 . Un límite inferior de 1/961 obtenido por Croke en 1988 ha sido mejorado recientemente por Nabutovsky , Rotman y Sabourau.
