La aproximación superfuerte es una generalización de la aproximación fuerte en grupos algebraicos G , para proporcionar resultados de brecha espectral . El espectro en cuestión es el de la matriz laplaciana asociada a una familia de cocientes de un grupo discreto Γ; y la brecha es la existente entre el primer y el segundo valor propio (normalización de modo que el primer valor propio corresponda a funciones constantes como vectores propios). Aquí Γ es un subgrupo de los puntos racionales de G , pero no necesita ser una red : puede ser un llamado grupo delgado . La "brecha" en cuestión es un límite inferior (constante absoluta) para la diferencia de esos valores propios.
Una consecuencia y equivalente de esta propiedad, potencialmente válida para los subgrupos densos de Zariski Γ del grupo lineal especial sobre los enteros, y en clases más generales de grupos algebraicos G , es que la secuencia de grafos de Cayley para reducciones Γ p módulo números primos p , con respecto a cualquier conjunto fijo S en Γ que sea un conjunto simétrico y un conjunto generador , es una familia de expansores . [1]
En este contexto, una "aproximación fuerte" es la afirmación de que S , al ser reducida, genera el grupo completo de puntos de G sobre los cuerpos primos con p elementos, cuando p es suficientemente grande. Es equivalente a que los grafos de Cayley sean conexos (cuando p es suficientemente grande), o que las funciones localmente constantes en estos grafos sean constantes, de modo que el espacio propio para el primer valor propio sea unidimensional. Por lo tanto, la aproximación superfuerte es una mejora cuantitativa concreta de estas afirmaciones.
La propiedad es un análogo en la teoría de grupos discretos de la propiedad de Kazhdan (T) , y fue introducida por Alexander Lubotzky . [2] Para una familia dada de subgrupos normales N de índice finito en Γ, una formulación equivalente es que los gráficos de Cayley de los grupos Γ/ N , todos con respecto a un conjunto simétrico fijo de generadores S , forman una familia de expansores. [3] Por lo tanto, la aproximación superfuerte es una formulación de la propiedad , donde los subgrupos N son los núcleos de reducción módulo primos suficientemente grandes p .
La conjetura de Lubotzky-Weiss establece (para grupos lineales especiales y reducción módulo primos) que un resultado de expansión de este tipo se cumple independientemente de la elección de S . Para las aplicaciones, también es relevante tener resultados donde el módulo no esté restringido a ser un primo. [4]
Se han obtenido resultados sobre la aproximación superfuerte utilizando técnicas sobre subgrupos aproximados y tasa de crecimiento en grupos simples finitos. [5]
