Superficie paramétrica

Superficie especificada con parámetros

Una superficie paramétrica es una superficie en el espacio euclidiano que está definida por una ecuación paramétrica con dos parámetros . La representación paramétrica es una forma muy general de especificar una superficie, así como la representación implícita . Las superficies que aparecen en dos de los principales teoremas del cálculo vectorial , el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia , se dan frecuentemente en forma paramétrica. La curvatura y la longitud del arco de las curvas en la superficie, el área de la superficie , los invariantes geométricos diferenciales como la primera y segunda forma fundamental, las curvaturas gaussiana , media y principal se pueden calcular a partir de una parametrización determinada. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

Ejemplos

Toro , creado con ecuaciones: ${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin v\\y&=(R+r\cos v)\sin u\\z&=(R+r\cos v)\cos u\end{aligned}}}$

Superficie paramétrica formando un nudo trébol , detalles de la ecuación en el código fuente adjunto.

• El tipo más simple de superficies paramétricas viene dado por las gráficas de funciones de dos variables:
  $${\displaystyle z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).}$$
• Una superficie racional es una superficie que admite parametrizaciones mediante una función racional . Una superficie racional es una superficie algebraica . Dada una superficie algebraica, suele ser más fácil decidir si es racional que calcular su parametrización racional, si existe.
• Las superficies de revolución constituyen otra clase importante de superficies que pueden parametrizarse fácilmente. Si la gráfica z = f ( x ) , a ≤ x ≤ b se gira alrededor del eje z entonces la superficie resultante tiene una parametrización
  $${\displaystyle \mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi .}$$
  También se puede parametrizar
  $${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,}$$
  mostrando que, si la función f es racional, entonces la superficie es racional.
• El cilindro circular recto de radio R con respecto al eje x tiene la siguiente representación paramétrica:
  $${\displaystyle \mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).}$$
• Usando las coordenadas esféricas , la esfera unitaria se puede parametrizar mediante
  $${\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\phi )=(\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ),\quad 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \phi \leq \pi .}$$
  Esta parametrización falla en los polos norte y sur, donde el ángulo de acimut θ no está determinado de forma única. La esfera es una superficie racional.

Una misma superficie admite muchas parametrizaciones diferentes. Por ejemplo, el plano de coordenadas z se puede parametrizar como

$${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(au+bv,cu+dv,0)}$$

abcdad − bc ≠ 0invertible ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

Geometría diferencial local

La forma local de una superficie paramétrica se puede analizar considerando la expansión de Taylor de la función que la parametriza. La longitud del arco de una curva en la superficie y el área de la superficie se pueden encontrar mediante integración .

Notación

Sea la superficie paramétrica dada por la ecuación

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$$

función vectorialuvDuv ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{v},}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{uu},\mathbf {r} _{uv},\mathbf {r} _{vv}.}$

En cálculo vectorial , los parámetros se denotan frecuentemente ( s , t ) y las derivadas parciales se escriben usando la notación ∂ :

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial t^{2}}}.}$$

Plano tangente y vector normal.

La parametrización es regular para los valores dados de los parámetros si los vectores

$${\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}}$$

plano tangenteR ³ruvcombinación linealproducto cruzadovector normalplano tangentevector unitario normal ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{v}.}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|}}.}$$

En general, hay dos opciones del vector unitario normal a una superficie en un punto dado, pero para una superficie parametrizada regular, la fórmula anterior elige consistentemente una de ellas y, por lo tanto, determina la orientación de la superficie. Algunas de las invariantes geométricas diferenciales de una superficie en R ³ están definidas por la superficie misma y son independientes de la orientación, mientras que otras cambian de signo si se invierte la orientación.

Área de superficie

El área de la superficie se puede calcular integrando la longitud del vector normal a la superficie sobre la región apropiada D en el plano uv paramétrico : ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$

$${\displaystyle A(D)=\iint _{D}\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|du\,dv.}$$

Aunque esta fórmula proporciona una expresión cerrada para el área de la superficie, para todas las superficies, excepto las muy especiales, esto da como resultado una integral doble complicada , que generalmente se evalúa utilizando un sistema de álgebra por computadora o se aproxima numéricamente. Afortunadamente, muchas superficies comunes constituyen excepciones y sus áreas se conocen explícitamente. Esto es cierto para un cilindro circular , una esfera , un cono , un toroide y algunas otras superficies de revolución .

Esto también se puede expresar como una integral de superficie sobre el campo escalar 1:

$${\displaystyle \int _{S}1\,dS.}$$

Primera forma fundamental

La primera forma fundamental es una forma cuadrática.

$${\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,du\,dv+G\,dv^{2}}$$

plano tangente ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$

$${\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u},\quad F=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{v},\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r} _{v}.}$$

La longitud del arco de las curvas parametrizadas en la superficie S , el ángulo entre las curvas en S y el área de la superficie admiten expresiones en términos de la primera forma fundamental.

Si ( u ( t ), v ( t )) , a ≤ t ≤ b representa una curva parametrizada en esta superficie, entonces su longitud de arco se puede calcular como la integral:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'(t)v'(t)+G\,v'(t)^{2}}}\,dt.}$$

La primera forma fundamental puede verse como una familia de formas bilineales simétricas definidas positivas en el plano tangente en cada punto de la superficie que dependen suavemente del punto. Esta perspectiva ayuda a calcular el ángulo entre dos curvas en S que se cruzan en un punto determinado. Este ángulo es igual al ángulo entre los vectores tangentes a las curvas. La primera forma fundamental evaluada en este par de vectores es su producto escalar , y el ángulo se puede encontrar a partir de la fórmula estándar

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}}$$

coseno

El área de superficie se puede expresar en términos de la primera forma fundamental de la siguiente manera:

$${\displaystyle A(D)=\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

Por la identidad de Lagrange , la expresión bajo la raíz cuadrada es precisamente , por lo que es estrictamente positiva en los puntos regulares. ${\displaystyle \left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|^{2}}$

Segunda forma fundamental

La segunda forma fundamental

$${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}}$$

( u , v ) = ( x , y )expansión de Taylorzxy

Para una superficie paramétrica general, la definición es más complicada, pero la segunda forma fundamental depende sólo de las derivadas parciales de orden uno y dos. Sus coeficientes se definen como las proyecciones de las segundas derivadas parciales de sobre el vector normal unitario definido por la parametrización: ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

$${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}$$

Al igual que la primera forma fundamental, la segunda forma fundamental puede verse como una familia de formas bilineales simétricas en el plano tangente en cada punto de la superficie que depende suavemente del punto.

Curvatura

La primera y segunda formas fundamentales de una superficie determinan sus importantes invariantes geométrico-diferenciales : la curvatura gaussiana , la curvatura media y las curvaturas principales .

Las curvaturas principales son las invariantes del par formado por la segunda y la primera forma fundamental. Son las raíces κ ₁ , κ ₂ de la ecuación cuadrática

$${\displaystyle \det(\mathrm {I\!I} -\kappa \mathrm {I} )=0,\quad \det {\begin{bmatrix}L-\kappa E&M-\kappa F\\M-\kappa F&N-\kappa G\end{bmatrix}}=0.}$$

La curvatura gaussiana K = κ ₁ κ ₂ y la curvatura media H = ( κ ₁ + κ ₂ )/2 se pueden calcular de la siguiente manera:

$${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$$

Hasta cierto punto, estas cantidades son independientes de la parametrización utilizada y, por tanto, constituyen herramientas importantes para analizar la geometría de la superficie. Más precisamente, las curvaturas principales y la curvatura media cambian de signo si se invierte la orientación de la superficie, y la curvatura gaussiana es completamente independiente de la parametrización.

El signo de la curvatura gaussiana en un punto determina la forma de la superficie cerca de ese punto: para K > 0 la superficie es localmente convexa y el punto se llama elíptico , mientras que para K < 0 la superficie tiene forma de silla de montar y el punto se llama hiperbólico . Los puntos en los que la curvatura gaussiana es cero se denominan parabólicos . En general, los puntos parabólicos forman una curva en la superficie llamada línea parabólica . La primera forma fundamental es definida positiva , por lo tanto su determinante EG − F ² es positivo en todas partes. Por tanto, el signo de K coincide con el signo de LN − M ² , el determinante de la segunda fundamental.

Los coeficientes de la primera forma fundamental presentada anteriormente se pueden organizar en una matriz simétrica:

$${\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}.}$$

$${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}$$

Definiendo ahora la matriz , las curvaturas principales κ ₁ y κ ₂ son los valores propios de A. ^[1] ${\displaystyle A=F_{1}^{-1}F_{2}}$

Ahora, si v ₁ = ( v ₁₁ , v ₁₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₁ , el vector unitario en la dirección de se llama vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₁ . ${\displaystyle \mathbf {t} _{1}=v_{11}\mathbf {r} _{u}+v_{12}\mathbf {r} _{v}}$

En consecuencia, si v ₂ = ( v ₂₁ , v ₂₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₂ , el vector unitario en la dirección de se denomina vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₂ . ${\displaystyle \mathbf {t} _{2}=v_{21}\mathbf {r} _{u}+v_{22}\mathbf {r} _{v}}$

Ver también

• Spline (matemáticas)
• Superficie normal

Referencias

1. Folletos sobre curvaturas de superficie , Curvaturas principales

enlaces externos

• Los subprogramas de Java demuestran la parametrización de una superficie de hélice
• m-ART(3d) - Aplicación iPad/iPhone para generar y visualizar superficies paramétricas.