Superficie implícita

Superficie en el espacio 3D definida por una función implícita de tres variables

Toro de superficie implícito ( R = 40, a = 15) .

Superficie implícita del género 2.

Superficie implícita no algebraica ( copa de vino ).

En matemáticas , una superficie implícita es una superficie en el espacio euclidiano definida por una ecuación

${\displaystyle F(x,y,z)=0.}$

Una superficie implícita es el conjunto de ceros de una función de tres variables . Implícito significa que la ecuación no se resuelve para x o y o z .

La gráfica de una función generalmente se describe mediante una ecuación y se denomina representación explícita . La tercera descripción esencial de una superficie es la paramétrica : , donde las coordenadas x , y y z de los puntos de la superficie están representadas por tres funciones que dependen de parámetros comunes . Generalmente el cambio de representaciones es sencillo sólo cuando se da la representación explícita : (implícita), (paramétrica). ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$ ${\displaystyle x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle z-f(x,y)=0}$ ${\displaystyle (s,t,f(s,t))}$

Ejemplos :

1. El avión ${\displaystyle x+2y-3z+1=0.}$
2. La esfera ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.}$
3. el toro ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}$
4. Una superficie del género 2: (ver diagrama). ${\displaystyle 2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0}$
5. La superficie de revolución (ver diagrama copa de vino ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0}$

Para un plano, una esfera y un toroide existen representaciones paramétricas simples. Esto no es cierto para el cuarto ejemplo.

El teorema de la función implícita describe las condiciones bajo las cuales se puede resolver una ecuación (al menos implícitamente) para x , y o z . Pero, en general, es posible que la solución no se haga explícita. Este teorema es la clave para el cálculo de las características geométricas esenciales de una superficie: planos tangentes , normales a la superficie , curvaturas (ver más abajo). Pero tienen un inconveniente esencial: su visualización es difícil. ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

Si es polinomio en x , y y z , la superficie se llama algebraica . El ejemplo 5 no es algebraico. ${\displaystyle F(x,y,z)}$

A pesar de la dificultad de visualización, las superficies implícitas proporcionan técnicas relativamente simples para generar superficies interesantes teóricamente (por ejemplo, superficie de Steiner ) y prácticamente (ver más abajo).

Fórmulas

A lo largo de las siguientes consideraciones, la superficie implícita está representada por una ecuación donde la función cumple las condiciones necesarias de diferenciabilidad. Las derivadas parciales de son . ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots }$

Plano tangente y vector normal.

Un punto de superficie se llama regular si y sólo si el gradiente de at no es el vector cero , es decir ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$.

Si el punto de la superficie no es regular se le llama singular . ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

La ecuación del plano tangente en un punto regular es ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

y un vector normal es

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

Curvatura normal

Para mantener la fórmula simple, se omiten los argumentos: ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$

es la curvatura normal de la superficie en un punto regular para la dirección tangente unitaria . es la matriz de Hesse de (matriz de las segundas derivadas). ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle H_{F}}$ ${\displaystyle F}$

La prueba de esta fórmula se basa (como en el caso de una curva implícita) en el teorema de la función implícita y la fórmula para la curvatura normal de una superficie paramétrica .

Aplicaciones de superficies implícitas

Como en el caso de las curvas implícitas, es una tarea fácil generar superficies implícitas con las formas deseadas aplicando operaciones algebraicas (suma, multiplicación) en primitivas simples.

Superficie equipotencial de 4 cargas puntuales.

Superficie equipotencial de cargas puntuales.

El potencial eléctrico de una carga puntual en un punto genera en un punto el potencial (omitiendo constantes físicas) ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.}$

La superficie equipotencial para el valor potencial es la superficie implícita que es una esfera con centro en el punto . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

El potencial de las cargas puntuales está representado por ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

Para la imagen las cuatro cargas equivalen a 1 y están ubicadas en los puntos . La superficie mostrada es la superficie equipotencial (superficie implícita) . ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$ ${\displaystyle F(x,y,z)-2.8=0}$

Superficie del producto a distancia constante

Un óvalo de Cassini se puede definir como el conjunto de puntos para el cual el producto de las distancias a dos puntos dados es constante (en contraste, para una elipse la suma es constante). De manera similar, las superficies implícitas se pueden definir mediante un producto de distancia constante a varios puntos fijos.

En el diagrama se metamorfosea la superficie superior izquierda se genera por esta regla: Con

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}}$

Se muestra la superficie del producto de distancia constante . ${\displaystyle F(x,y,z)-1.1=0}$

Metamorfosis entre dos superficies implícitas: un toro y una superficie producto de distancia constante.

Metamorfosis de superficies implícitas.

Otro método sencillo para generar nuevas superficies implícitas se llama metamorfosis de superficies implícitas:

Para dos superficies implícitas (en el diagrama: una superficie de producto de distancia constante y un toro) se definen nuevas superficies utilizando el parámetro de diseño : ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

En el diagrama el parámetro de diseño es sucesivamente . ${\displaystyle \mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1}$

Aproximación de tres tori ( proyección paralela )

Imagen POV-Ray (proyección central) de una aproximación de tres toros.

Aproximaciones suaves de varias superficies implícitas.

${\displaystyle \Pi }$-superficies ^[1] se puede utilizar para aproximar cualquier objeto dado, liso y acotado, en cuya superficie esté definida por un solo polinomio como producto de polinomios subsidiarios. En otras palabras, podemos diseñar cualquier objeto liso con una única superficie algebraica. Denotaremos los polinomios definitorios como . Entonces, el objeto aproximado está definido por el polinomio ${\displaystyle R^{3}}$ ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r}$^[1]

donde representa el parámetro de combinación que controla el error de aproximación. ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

De manera análoga a la aproximación suave con curvas implícitas, la ecuación

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

representa para parámetros adecuados aproximaciones suaves de tres toros que se cruzan con ecuaciones ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}}$

(En el diagrama los parámetros son ) ${\displaystyle R=1,\,a=0.2,\,r=0.01.}$

Imagen POV-Ray: metamorfosis entre una esfera y una superficie producto de distancia constante (6 puntos).

Visualización de superficies implícitas.

Existen varios algoritmos para representar superficies implícitas, ^[2] incluido el algoritmo de cubos en marcha . ^[3] Esencialmente, hay dos ideas para visualizar una superficie implícita: una genera una red de polígonos que se visualiza (ver triangulación de superficies ) y la segunda se basa en el trazado de rayos que determina los puntos de intersección de los rayos con la superficie. ^[4] Los puntos de intersección se pueden aproximar mediante el trazado de esferas , utilizando una función de distancia con signo para encontrar la distancia a la superficie. ^[5]

Ver también

• Curva implícita

Referencias

1. Adriano N. Raposo; Abel J.P. Gomes (2019). "Pi-superficies: productos de superficies implícitas hacia la composición constructiva de objetos 3D". WSCG 2019 27. Conferencia internacional en Europa Central sobre gráficos por computadora, visualización y visión por computadora. arXiv : 1906.06751 .
2. Julio Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 de agosto de 1997). Introducción a las superficies implícitas. Morgan Kaufman. ISBN 978-1-55860-233-5.
3. Ian Stephenson (1 de diciembre de 2004). Renderizado de Producción: Diseño e Implementación. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-85233-821-3.
4. Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Gemas de trazado de rayos , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2 
5. Resistente, Alejandro; Steeb, Willi-Hans (2008). Herramientas Matemáticas en Computación Gráfica con Implementaciones en C#. Científico mundial. ISBN 978-981-279-102-3.

Otras lecturas

• Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Curvas y superficies implícitas: matemáticas, estructuras de datos y algoritmos , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882 -405-8 
• Thorpe: Temas elementales de geometría diferencial , Springer-Verlag, Nueva York, 1979, ISBN 0-387-90357-7