Subespacios libres de decoherencia

Subespacio del espacio de Hilbert de un sistema cuántico que es invariante a la dinámica no unitaria

Un subespacio libre de decoherencia ( DFS ) es un subespacio del espacio de Hilbert de un sistema cuántico que es invariante a la dinámica no unitaria . Dicho de otra manera, son una pequeña sección del espacio de Hilbert del sistema donde el sistema está desacoplado del entorno y, por tanto, su evolución es completamente unitaria. Los DFS también pueden caracterizarse como una clase especial de códigos de corrección de errores cuánticos. En esta representación, son códigos pasivos de prevención de errores, ya que estos subespacios están codificados con información que (posiblemente) no requerirá ningún método de estabilización activa . Estos subespacios previenen interacciones ambientales destructivas al aislar la información cuántica . Como tales, son un tema importante en la computación cuántica , donde el objetivo deseado es el control ( coherente ) de los sistemas cuánticos. La decoherencia crea problemas a este respecto al provocar una pérdida de coherencia entre los estados cuánticos de un sistema y, por tanto, la decadencia de sus términos de interferencia , lo que conduce a una pérdida de información del sistema cuántico (abierto) al entorno circundante. Dado que los ordenadores cuánticos no pueden aislarse de su entorno (es decir, no podemos tener un sistema cuántico verdaderamente aislado en el mundo real) y se puede perder información, el estudio de los DFS es importante para la implementación de los ordenadores cuánticos en el mundo real.

Fondo

Orígenes

El estudio de los DFS comenzó con la búsqueda de métodos estructurados para evitar la decoherencia en el tema del procesamiento de información cuántica (QIP). Los métodos involucrados intentan identificar estados particulares que tienen el potencial de permanecer sin cambios mediante ciertos procesos de decoherencia (es decir, ciertas interacciones con el medio ambiente). Estos estudios comenzaron con observaciones realizadas por GM Palma, KA Suominen y AK Ekert , quienes estudiaron las consecuencias del desfase puro en dos qubits que tienen la misma interacción con el medio ambiente. Descubrieron que dos de esos qubits no se decoheren. ^[1] Originalmente Palma utilizó el término "subdecoherencia" para describir esta situación. También es digno de mención el trabajo independiente de Martin Plenio , Vlatko Vedral y Peter Knight , quienes construyeron un código de corrección de errores con palabras clave que son invariantes bajo una evolución temporal unitaria particular en emisión espontánea. ^[2]

Mayor desarrollo

Poco después, LM Duan y GC Guo también estudiaron este fenómeno y llegaron a las mismas conclusiones que Palma, Suominen y Ekert. Sin embargo, Duan y Guo aplicaron su propia terminología, utilizando "estados que preservan la coherencia" para describir estados que no se descoheren con el desfase. Duan y Guo impulsaron esta idea de combinar dos qubits para preservar la coherencia contra el desfase, tanto para el desfase colectivo como para la disipación, lo que demuestra que se evita la decoherencia en tal situación. Esto se demostró asumiendo conocimiento de la fuerza de acoplamiento sistema-entorno . Sin embargo, tales modelos eran limitados ya que se ocupaban únicamente de los procesos de decoherencia de desfase y disipación. Para abordar otros tipos de decoherencias, los modelos anteriores presentados por Palma, Suominen y Ekert, y Duan y Guo fueron arrojados a un marco más general por P. Zanardi y M. Rasetti. Ampliaron el marco matemático existente para incluir interacciones más generales entre el sistema y el entorno, como la decoherencia colectiva: el mismo proceso de decoherencia que actúa sobre todos los estados de un sistema cuántico y los hamiltonianos generales . Su análisis proporcionó las primeras circunstancias formales y generales para la existencia de estados libres de decoherencia (DF), que no dependían del conocimiento de la fuerza del acoplamiento sistema-entorno. Zanardi y Rasetti llamaron a estos estados del DF "códigos para evitar errores". Posteriormente, Daniel A. Lidar propuso el título de "subespacio libre de decoherencia" para el espacio en el que existen estos estados del DF. Lidar estudió la fuerza de los estados DF frente a las perturbaciones y descubrió que la coherencia prevaleciente en los estados DF puede verse alterada por la evolución del sistema hamiltoniano. Esta observación discernió otro requisito previo para el posible uso de estados DF para la computación cuántica. Lidar, D. Bacon y KB Whaley obtuvieron un requisito completamente general para la existencia de estados DF expresado en términos de la representación de suma de operadores (OSR) de Kraus. Más tarde, A. Shabani y Lidar generalizaron el marco DFS relajando el requisito de que el estado inicial debe ser un estado DF y modificaron algunas condiciones conocidas para DFS. ^[3]

Investigaciones recientes

Se produjo un avance posterior en la generalización del panorama DFS cuando E. Knill, R. Laflamme y L. Viola introdujeron el concepto de "subsistema silencioso". ^{[1] Knill extendió a} representaciones irreductibles de dimensiones superiores del álgebra que generan la simetría dinámica en la interacción sistema-entorno. Trabajos anteriores sobre DFS describieron los estados DF como singletes , que son representaciones unidimensionales irreducibles. Este trabajo resultó exitoso, ya que el resultado de este análisis fue la reducción de la cantidad de qubits necesarios para construir un DFS bajo decoherencia colectiva de cuatro a tres. ^[1] La generalización de subespacios a subsistemas formó una base para combinar las estrategias de anulación y prevención de decoherencia más conocidas.

Condiciones para la existencia de subespacios libres de decoherencia.

formulación hamiltoniana

Considere un sistema cuántico S de N dimensiones acoplado a un baño B y descrito por el hamiltoniano combinado sistema-baño de la siguiente manera: donde la interacción hamiltoniana se da de la manera habitual y donde actúa sobre el sistema (baño) únicamente, y es el sistema (baño) hamiltoniano, y es el operador de identidad que actúa sobre el sistema (baño). Bajo estas condiciones, la evolución dinámica dentro de , donde es el sistema espacio de Hilbert, es completamente unitaria (todos los posibles estados del baño) si y sólo si: $${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}{\big (}{\hat {B}}_{i}{\big )}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}{\big (}{\hat {H}}_{B}{\big )}}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{S}{\big (}{\hat {I}}_{B}{\big )}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall |\phi \rangle }$

1. ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}|\phi \rangle =s_{i}|\phi \rangle ,s_{i}\in \mathbb {C} }$para todo ese lapso y , el espacio de operadores de baño de sistema acotados en , ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{SB}}$
2. el sistema y el baño no están acoplados al principio (es decir, pueden representarse como un estado de producto),
3. no hay "fugas" de estados fuera de ; es decir, el sistema hamiltoniano no mapea los estados de . ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

En otras palabras, si el sistema comienza en (es decir, el sistema y el baño están inicialmente desacoplados) y el sistema hamiltoniano sale invariante, entonces es un DFS si y sólo si satisface (i). ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$ ${\textstyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}=\operatorname {span} \left[\left\{|\phi _{k}\rangle \right\}_{k=1}^{N}\right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

Estos estados son mercados propios degenerados y , por tanto, distinguibles, preservando así la información en ciertos procesos de decoherencia. Cualquier subespacio del sistema Espacio de Hilbert que satisfaga las condiciones anteriores es un subespacio libre de decoherencia. Sin embargo, la información aún puede "filtrarse" fuera de este subespacio si no se cumple la condición (iii). Por lo tanto, incluso si existe un DFS bajo las condiciones hamiltonianas, todavía hay acciones no unitarias que pueden actuar sobre estos subespacios y sacar estados de ellos a otro subespacio, que puede ser o no un DFS, del sistema de espacio de Hilbert. ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})}$

Formulación de representación de suma de operadores

Sea un DFS N-dimensional, donde está el espacio de Hilbert del sistema (solo el sistema cuántico). Los operadores de Kraus, cuando se escriben en términos de la base N , establecen que el intervalo se da como: ^{[ aclaración necesaria ]} donde ( es el hamiltoniano combinado de sistema-baño), actúa sobre y es una matriz arbitraria que actúa sobre (el complemento ortogonal de ) . Dado que opera , entonces no creará decoherencia ; sin embargo, puede (posiblemente) crear efectos de decoherencia en . Consideremos los mercados básicos que abarcan y, además, cumplen: ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{l}={\begin{pmatrix}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\bar {A}} _{l}\end{pmatrix}},\quad g_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|\mathbf {U} _{C}|j\rangle }$$ ${\textstyle \mathbf {U} _{C}=\exp \left({-i\mathbf {H} _{C}t}/{\hbar }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{C}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ $${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle =g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle ,\quad \forall {l}.}$$

${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$es un operador unitario arbitrario y puede depender o no del tiempo, pero es independiente de la variable de indexación . Las 's son constantes complejas . Dado que abarca , cualquier estado puro se puede escribir como una combinación lineal de estos kets básicos: ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g_{l}}$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{j=1}^{N}b_{j}|j\rangle ,\quad b_{j}\in \mathbb {C} .}$$

Este estado estará libre de decoherencia; esto se puede ver considerando la acción de on : ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(\mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle )\\&=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle )\\\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle .\end{aligned}}}$$

Por tanto, en términos de la representación del operador de densidad de , , la evolución de este estado es: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \rho _{\text{initial}}=|\psi \rangle \langle \psi |}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{final}}&=\sum _{l}\mathbf {A} _{l}\rho _{\text{initial}}\mathbf {A} _{l}^{\dagger }\\&=\sum _{l}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |h_{l}\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }\\&=\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

La expresión anterior dice que es un estado puro y que su evolución es unitaria, ya que es unitaria. Por tanto, cualquier estado en no será decoherente ya que su evolución está regida por un operador unitario y por tanto su evolución dinámica será completamente unitaria. Por tanto, es un subespacio libre de decoherencia. El argumento anterior también se puede generalizar a un estado mixto arbitrario inicial. ^[1] ${\displaystyle \rho _{\text{final}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

Formulación de semigrupos

Esta formulación hace uso del enfoque de semigrupos . El término de decoherencia de Lindblad determina cuándo la dinámica de un sistema cuántico será unitaria; en particular, cuando , donde es la representación del operador de densidad del estado del sistema, la dinámica estará libre de decoherencia. Sea span , donde está el espacio de Hilbert del sistema. Bajo los supuestos de que: ${\displaystyle L_{D}[\rho ]=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$

1. los parámetros de ruido de la matriz de coeficientes del término decohering de Lindblad no están ajustados (es decir, no se hacen suposiciones especiales sobre ellos)
2. no hay dependencia de las condiciones iniciales del estado inicial del sistema

Una condición necesaria y suficiente para ser SFD es : ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall {|j\rangle }}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha }|j\rangle =\lambda _{\alpha }|j\rangle ,\quad \forall \alpha .}$$

La expresión anterior establece que todos los estados básicos son estados propios degenerados de los generadores de errores. Como tales, sus respectivos términos de coherencia no son decoherentes. Por lo tanto, los estados internos permanecerán mutuamente distinguibles después de un proceso de decoherencia, ya que sus respectivos valores propios están degenerados y, por lo tanto, son identificables después de la acción bajo los generadores de errores. ${\displaystyle |j\rangle }$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {F} _{\alpha }\right\}_{\alpha =1}^{M=N\times {N}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

DFS como una clase especial de estructuras de preservación de información (IPS) y códigos de corrección de errores cuánticos (QECC)

Estructuras de preservación de la información (IPS)

Se puede considerar que los DFS "codifican" información a través de su conjunto de estados. Para ver esto, considere un sistema cuántico abierto d -dimensional que está preparado en el estado : un operador de densidad no negativo (es decir, sus valores propios son positivos), normalizado en trazas ( ), que pertenece al espacio de Hilbert-Schmidt del sistema , el espacio de operadores acotados en ( ). Supongamos que este operador de densidad (estado) se selecciona de un conjunto de estados , un DFS de (el espacio de Hilbert del sistema) y donde . Este conjunto de estados se llama código , porque los estados dentro de este conjunto codifican un tipo particular de información; ^[4] es decir, el conjunto S codifica información a través de sus estados. Se debe poder acceder a esta información contenida en él ; dado que la información está codificada en los estados en , estos estados deben ser distinguibles para algún proceso, digamos, que intenta adquirir la información. Por lo tanto, para dos estados , el proceso preserva la información para estos estados si los estados siguen siendo tan distinguibles después del proceso como lo eran antes. Dicho de manera más general, un código (o DFS) se conserva mediante un proceso si y sólo si cada par de estados es tan distinguible después de su aplicación como lo eran antes de su aplicación. ^[4] Una descripción más práctica sería: se conserva mediante un proceso si y sólo si y ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho ]=1}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B({\mathcal {H}})}}}$ ${\displaystyle S=\left\{\rho _{i}\right\}_{i=1}^{n}\in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle n<d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S,\;(i\neq j)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle \forall {\boldsymbol {\rho }},{\boldsymbol {\rho }}'\in S}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle {\big \|}{\boldsymbol {\zeta }}{\big (}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big )}{\big \|}_{1}={\big \|}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big \|}_{1}.}$$

Esto solo dice que es un mapa 1:1 que preserva la distancia de seguimiento en . ^[4] En esta imagen, los DFS son conjuntos de estados (más bien códigos) cuya distinguibilidad mutua no se ve afectada por un proceso . ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$

Códigos de corrección de errores cuánticos (QECC)

Dado que los DFS pueden codificar información a través de sus conjuntos de estados, están protegidos contra errores (procesos de decoherencia). De esta manera, los DFS pueden considerarse como una clase especial de QECC, donde la información se codifica en estados que pueden verse alterados por una interacción con el entorno pero recuperados mediante algún proceso de reversión. ^[1]

Considere un código , que es un subespacio del sistema de espacio de Hilbert, con información codificada dada por (es decir, las "palabras en código"). Este código se puede implementar para proteger contra la decoherencia y así evitar la pérdida de información en una pequeña sección del espacio de Hilbert del sistema. Los errores son causados ​​por la interacción del sistema con el entorno (baño) y están representados por los operadores de Kraus. ^[1] Después de que el sistema haya interactuado con el baño, la información contenida en él debe poder "descodificarse"; por lo tanto, para recuperar esta información se introduce un operador de recuperación . Entonces un QECC es un subespacio junto con un conjunto de operadores de recuperación. ${\displaystyle C=\operatorname {span} \left[\left\{|j_{k}\rangle \right\}\right]}$ ${\displaystyle \left\{|j_{k}\rangle \right\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$

Sea un QECC para los operadores de error representados por los operadores de Kraus , con operadores de recuperación. Entonces es un DFS si y solo si con restricción a , entonces , ^[1] donde es el inverso del operador de evolución del sistema. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {A} _{l}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{r}\propto \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger },\forall {r}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger }}$

En esta imagen de inversión de operaciones cuánticas, los DFS son un ejemplo especial de los QECC más generales, tras los cuales, al restringirse a un código determinado, los operadores de recuperación se vuelven proporcionales a la inversa del operador de evolución del sistema, permitiendo así una evolución unitaria del sistema.

Note que la sutil diferencia entre estas dos formulaciones existe en las dos palabras preservar y corregir ; en el primer caso, el método utilizado es la prevención de errores , mientras que en el segundo caso es la corrección de errores . Por tanto, las dos formulaciones difieren en que una es un método pasivo y la otra es un método activo .

Ejemplo de un subespacio libre de decoherencia

Desfase colectivo

Considere un espacio de Hilbert de dos qubits, abarcado por los qubits básicos que sufren un desfase colectivo . Se creará una fase aleatoria entre estos qubits básicos; por tanto, los qubits se transformarán de la siguiente manera: ${\displaystyle \left\{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\right\}}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{2i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

Bajo esta transformación los estados base obtienen el mismo factor de fase . Así, teniendo en cuenta esto, un estado puede codificarse con esta información (es decir, el factor de fase) y así evolucionar unitariamente bajo este proceso de desfase, definiendo los siguientes qubits codificados: ${\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}}$ ${\displaystyle e^{i\phi }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0_{E}\rangle &=|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1_{E}\rangle &=|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

Dado que se trata de qubits básicos, cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal de estos estados; por lo tanto, $${\displaystyle |\psi _{E}\rangle =l|0_{E}\rangle +m|1_{E}\rangle ,\quad l,m\in \mathbb {C} .}$$

Este estado evolucionará bajo el proceso de desfase como: $${\displaystyle |\psi _{E}\rangle \longrightarrow l|0\rangle _{1}\otimes e^{i\phi }|1\rangle _{2}+e^{i\phi }m|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}=e^{i\phi }|\psi _{E}\rangle .}$$

Sin embargo, la fase general de un estado cuántico no es observable y, como tal, es irrelevante en la descripción del estado. Por lo tanto, permanece invariante bajo este proceso de desfase y, por lo tanto, el conjunto de bases es un subespacio libre de decoherencia del espacio de Hilbert de 4 dimensiones. De manera similar, los subespacios también son DFS. ${\displaystyle |\psi _{E}\rangle }$ ${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}}}$ ${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}},{\big \{}|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}{\big \}}}$

Alternativa: subsistemas libres de decoherencia

Considere un sistema cuántico con un sistema N-dimensional en el espacio de Hilbert que tiene una descomposición general de subsistemas. El subsistema es un subsistema libre de decoherencia con respecto a un acoplamiento sistema-entorno si cada estado puro permanece sin cambios con respecto a este subsistema bajo la evolución OSR. . Esto es válido para cualquier posible condición inicial del medio ambiente. ^[5] Para comprender la diferencia entre un subespacio libre de decoherencia y un subsistema libre de decoherencia , considere codificar un solo qubit de información en un sistema de dos qubit. Este sistema de dos qubits tiene un espacio de Hilbert de 4 dimensiones; Un método para codificar un solo qubit en este espacio es codificar información en un subespacio que está abarcado por dos qubits ortogonales del espacio de Hilbert de 4 dimensiones. Supongamos que la información está codificada en estado ortogonal de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}_{C}=\bigoplus _{j=1}^{N}(\bigotimes _{i=1}^{l_{N}}{\mathcal {H}}_{ji}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$ ${\displaystyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow \alpha |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}+\beta |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.}$$

Esto muestra que la información ha sido codificada en un subespacio del espacio de Hilbert de dos qubits. Otra forma de codificar la misma información es codificar solo uno de los qubits de los dos qubits. Supongamos que el primer qubit está codificado, entonces el estado del segundo qubit es completamente arbitrario ya que:

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow {\bigl (}\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}{\bigr )}\otimes |\psi \rangle .}$$

Este mapeo es un mapeo de uno a muchos desde la información de codificación de un qubit a un espacio de Hilbert de dos qubits. ^[5] En cambio, si el mapeo es , entonces es idéntico a un mapeo de un qubit a un subespacio del espacio de Hilbert de dos qubits. ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Ver también

• Decoherencia cuántica
• Medición cuántica

Referencias

1. Lidar, Daniel A.; Whaley, K. Birgitta (2003). "Subespacios y subsistemas libres de decoherencia". En Benatti, F.; Floreanini, R. (eds.). Dinámica cuántica irreversible . Notas de la conferencia de Springer sobre física. vol. 622. Berlín. págs. 83-120. arXiv : quant-ph/0301032 . Código Bib : 2003LNP...622...83L. doi :10.1007/3-540-44874-8_5. ISBN 978-3-540-40223-7. S2CID  117748831.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Plenio, MB; Vedral, V.; Caballero, PL (1997). "Corrección de errores cuánticos en presencia de emisión espontánea". Física. Rev. A. 55 (1): 67. arXiv : quant-ph/9603022 . Código bibliográfico : 1997PhRvA..55...67P. doi :10.1103/PhysRevA.55.67. S2CID  119420057.
3. Shabani, Alireza; Lídar, Daniel A. (2005). "Teoría de subespacios y subsistemas libres de inicialización y decoherencia". Física. Rev. A. 72 (4): 042303. arXiv : quant-ph/0505051 . Código bibliográfico : 2005PhRvA..72d2303S. doi :10.1103/PhysRevA.72.042303. S2CID  3729369.
4. Blume-Kohout, Robin; Ng, Hui Khoon; Poulin, David; Viola, Lorenza (2008). "Caracterización de la estructura de la información conservada en procesos cuánticos". Física. Rev. Lett . 100 (3): 030501. arXiv : 0705.4282 . Código bibliográfico : 2008PhRvL.100c0501B. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.030501. PMID  18232952. S2CID  14309547.
5. Tocino, D. (2001). Decoherencia, control y simetría en computadoras cuánticas (tesis doctoral). Universidad de California, Berkeley. arXiv : quant-ph/0305025 .