El problema de la cartera de Merton

Problema en finanzas de tiempo continuo

El problema de la cartera de Merton es un problema de finanzas de tiempo continuo y, en particular, de elección de cartera intertemporal . Un inversor debe elegir cuánto consumir y debe asignar su riqueza entre acciones y un activo libre de riesgo de modo de maximizar la utilidad esperada . El problema fue formulado y resuelto por Robert C. Merton en 1969 tanto para vidas finitas como para el caso infinito. ^{[1] [2]} La investigación ha seguido extendiendo y generalizando el modelo para incluir factores como los costos de transacción y la quiebra.

Planteamiento del problema

El inversor vive desde el momento 0 hasta el momento  T ; su riqueza en el momento T se denota por W _T. Comienza con una riqueza inicial conocida W ₀ (que puede incluir el valor actual de los ingresos salariales). En el momento t debe elegir qué cantidad de su riqueza consumir, c _t , y qué fracción de riqueza invertir en una cartera de acciones, π _t (la fracción restante 1 −  π _t se invierte en el activo libre de riesgo).

El objetivo es

${\displaystyle \max E\left[\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c_{t})\,dt+\epsilon ^{\gamma }e^{-\rho T}u(W_{T})\right]}$

donde E es el operador de expectativa , u es una función de utilidad conocida (que se aplica tanto al consumo como a la riqueza terminal, o legado, W _T ), ε parametriza el nivel deseado de legado, ρ es la tasa de descuento subjetiva y es una constante que expresa la aversión al riesgo del inversor: cuanto mayor sea la gamma, mayor será la renuencia a poseer acciones. ${\displaystyle \gamma }$

La riqueza evoluciona según la ecuación diferencial estocástica

${\displaystyle dW_{t}=[(r+\pi _{t}(\mu -r))W_{t}-c_{t}]\,dt+W_{t}\pi _{t}\sigma \,dB_{t}}$

donde r es la tasa libre de riesgo, ( μ ,  σ ) son el rendimiento esperado y la volatilidad del mercado de valores y dB _t es el incremento del proceso de Wiener , es decir, el término estocástico de la SDE.

La función de utilidad tiene la forma de aversión relativa al riesgo constante (CRRA):

${\displaystyle u(x)={\frac {x^{1-\gamma }}{1-\gamma }}.}$

El consumo no puede ser negativo: c _t  ≥ 0, ^{[2] [3]} mientras que π _t no tiene restricciones (es decir, se permite tomar prestado o vender acciones en corto).

Las oportunidades de inversión se suponen constantes, es decir, r ,  μ ,  σ son conocidas y constantes, en esta versión (1969) del modelo, aunque Merton permitió que cambiaran en su CAPM intertemporal (1973).

Solución

Resulta un tanto sorprendente que, para un problema de control óptimo , exista una solución cerrada. El consumo óptimo y la asignación de existencias dependen de la riqueza y el tiempo, como se indica a continuación: ^{[4] : 401}

${\displaystyle \pi (W,t)={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}.}$

Esta expresión se conoce comúnmente como la fracción de Merton. Debido a que W y t no aparecen en el lado derecho, una fracción constante de la riqueza se invierte en acciones, sin importar la edad o la prosperidad del inversor.

${\displaystyle c(W,t)={\begin{cases}\nu \left(1+(\nu \epsilon -1)e^{-\nu (T-t)}\right)^{-1}W&{\textrm {if}}\;T<\infty \;{\textrm {and}}\;\nu \neq 0\\(T-t+\epsilon )^{-1}W&{\textrm {if}}\;T<\infty \;{\textrm {and}}\;\nu =0\\\nu W&{\textrm {if}}\;T=\infty \end{cases}}}$

donde y ${\displaystyle 0\leq \epsilon \ll 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\left(\rho -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma }}+r\right)\right)/\gamma \\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma ^{2}}}+{\frac {r}{\gamma }}\right)\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )(\pi (W,t)^{2}\sigma ^{2}/2+r/\gamma )\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )((\mu -r)\pi (W,t)/2\gamma +r/\gamma ).\end{aligned}}}$

Extensiones

Se han explorado muchas variaciones del problema, pero la mayoría no conducen a una solución simple y cerrada.

• Se puede tener en cuenta la edad de jubilación flexible. ^[5]
• Se puede utilizar una función de utilidad distinta a CRRA.
• Se pueden introducir costos de transacción.
  • En 1990, Davis y Norman resolvieron el problema de los costes de transacción proporcionales. ^[6] Es uno de los pocos casos de control singular estocástico en los que se conoce la solución. Para una representación gráfica, la cantidad invertida en cada uno de los dos activos se puede trazar en los ejes x e y ; se pueden dibujar tres líneas diagonales a través del origen: el límite superior, la línea de Merton y el límite inferior. La línea de Merton representa las carteras que tienen la proporción de acciones/bonos derivada por Merton en ausencia de costes de transacción. Mientras el punto que representa la cartera actual esté cerca de la línea de Merton, es decir, entre el límite superior y el inferior, no es necesario realizar ninguna acción. Cuando la cartera cruza por encima del límite superior o por debajo del límite inferior, se debe reequilibrar la cartera para volver a ese límite. En 1994, Shreve y Soner proporcionaron un análisis del problema a través de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman y sus soluciones de viscosidad. ^[7]
  • Cuando hay costos de transacción fijos, el problema fue abordado por Eastman y Hastings en 1988. ^[8] Schroder proporcionó un método de solución numérica en 1995. ^[9]
  • Morton y Pliska ^[10] consideraron costos de transacción proporcionales a la riqueza del inversionista para la utilidad logarítmica. Aunque esta estructura de costos parece no ser representativa de los costos de transacción de la vida real, se puede utilizar para encontrar soluciones aproximadas en casos con activos adicionales, ^[11] por ejemplo, acciones individuales, donde se vuelve difícil o intratable dar soluciones exactas para el problema.
• El supuesto de oportunidades de inversión constantes puede ser más flexible. Para ello es necesario un modelo que muestre cómo cambian las oportunidades a lo largo del tiempo. Se podría añadir un modelo de tipos de interés que daría lugar a una cartera que contuviera bonos de diferentes vencimientos. Algunos autores han añadido un modelo de volatilidad estocástica de los rendimientos del mercado de valores. ${\displaystyle r,\mu ,\sigma }$
• La quiebra puede incorporarse. Este problema fue resuelto por Karatzas, Lehoczky, Sethi y Shreve en 1986. ^[12] Muchos modelos que incorporan la quiebra se recogen en Sethi (1997). ^[13]

Referencias

1. Merton, RC (1 de agosto de 1969). "Selección de cartera de por vida bajo incertidumbre: el caso de tiempo continuo". The Review of Economics and Statistics . 51 (3): 247–257. doi :10.2307/1926560. ISSN  0034-6535. JSTOR  1926560.
2. Sethi, SP y Taksar, MI, “Una nota sobre el consumo óptimo y las reglas de cartera de Merton en un modelo de tiempo continuo”, Journal of Economic Theory , 46, 1988, 395-401.
3. Karatzas, Ioannis; Lehoczky, John P.; Sethi, Suresh P.; Shreve, Steven E. (mayo de 1986). "Solución explícita de un problema general de consumo/inversión". Matemáticas de la investigación de operaciones . 11 (2): 261–294. doi :10.1287/moor.11.2.261.
4. Merton, RC (1971). "Consumo óptimo y reglas de cartera en un modelo de tiempo continuo" (PDF) . Journal of Economic Theory . 3 (4): 373–413. doi :10.1016/0022-0531(71)90038-X. hdl : 1721.1/63980 .
5. Bodie, Z.; Merton, RC ; Samuelson, WF (1992). "Flexibilidad de la oferta laboral y elección de cartera en un modelo de ciclo de vida" (PDF) . Journal of Economic Dynamics and Control . 16 (3–4): 427. doi :10.1016/0165-1889(92)90044-F. S2CID  16699153.
6. Davis, MHA ; Norman, AR (1990). "Selección de cartera con costes de transacción" (PDF) . Matemáticas de la investigación de operaciones . 15 (4): 676. doi :10.1287/moor.15.4.676. hdl :10044/1/11848. JSTOR  3689770.
7. Shreve, SE; Soner, HM (1994). "Inversión y consumo óptimos con costos de transacción". Anales de probabilidad aplicada . 4 (3): 609. doi : 10.1214/aoap/1177004966 . JSTOR  2245058.
8. Eastham, Jerome F.; Hastings, Kevin J. (1988). "Control óptimo de impulsos de carteras". Matemáticas de la investigación de operaciones . 13 (4): 588. doi :10.1287/moor.13.4.588. JSTOR  3689945.
9. Schroder, M. (1995). "Selección óptima de cartera con costes de transacción fijos: soluciones numéricas" (PDF) . Documento de trabajo . Universidad Estatal de Michigan.
10. Morton, AJ; Pliska, SR (1995). "Gestión óptima de cartera con costes de transacción fijos". Finanzas matemáticas . 5 (4): 337. doi :10.1111/j.1467-9965.1995.tb00071.x.
11. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 8 de noviembre de 2014. Consultado el 28 de octubre de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
12. Karatzas, I.; Lehoczky, JP; Sethi, SP; Shreve, SE (1985). "Solución explícita de un problema general de consumo/inversión". Sistemas diferenciales estocásticos . Apuntes de clase en ciencias de la información y el control. Vol. 78. pág. 209. doi :10.1007/BFb0041165. ISBN 3-540-16228-3.
13. Sethi, SP (1997). Consumo óptimo e inversión en caso de quiebra . doi :10.1007/978-1-4615-6257-3. ISBN 978-1-4613-7871-6.

Lectura adicional

• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998). Métodos de finanzas matemáticas . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. Vol. 39. doi :10.1007/b98840. ISBN 978-0-387-94839-3.
• Merton RC: Finanzas en el tiempo continuo , Blackwell (1990).