Flujo de combustible

Tipo de flujo de fluido

Un objeto que se mueve a través de un gas o líquido experimenta una fuerza en dirección opuesta a su movimiento. La velocidad terminal se logra cuando la fuerza de arrastre es igual en magnitud pero opuesta en dirección a la fuerza que impulsa el objeto. Se muestra una esfera en el flujo de Stokes, con un número de Reynolds muy bajo .

El flujo de Stokes (llamado así por George Gabriel Stokes ), también llamado flujo rastrero o movimiento progresivo , ^[1] es un tipo de flujo de fluido donde las fuerzas de inercia advectivas son pequeñas en comparación con las fuerzas viscosas . ^[2] El número de Reynolds es bajo, es decir . Esta es una situación típica en flujos donde las velocidades del fluido son muy lentas, las viscosidades son muy grandes o las escalas de longitud del flujo son muy pequeñas. El flujo progresivo se estudió por primera vez para comprender la lubricación . En la naturaleza, este tipo de flujo se produce en la natación de microorganismos y espermatozoides . ^[3] En tecnología, ocurre en pintura , dispositivos MEMS y en el flujo de polímeros viscosos en general. ${\displaystyle \mathrm {Re} \ll 1}$

Las ecuaciones de movimiento para el flujo de Stokes, llamadas ecuaciones de Stokes, son una linealización de las ecuaciones de Navier-Stokes y, por lo tanto, pueden resolverse mediante varios métodos bien conocidos para ecuaciones diferenciales lineales. ^[4] La función principal de Green del flujo de Stokes es el Stokeslet , que está asociado con una fuerza puntual singular incrustada en un flujo de Stokes. A partir de sus derivadas se pueden obtener otras soluciones fundamentales . ^[5] El Stokeslet fue desarrollado por primera vez por Oseen en 1927, aunque no fue nombrado como tal hasta 1953 por Hancock. ^{[6] Las} soluciones fundamentales de forma cerrada para los flujos inestables generalizados de Stokes y Oseen asociados con movimientos arbitrarios de traslación y rotación dependientes del tiempo se han derivado para los fluidos newtonianos ^[7] y micropolares ^{[8] .}

Ecuaciones de Stokes

La ecuación de movimiento para el flujo de Stokes se puede obtener linealizando las ecuaciones de Navier-Stokes en estado estacionario . Se supone que las fuerzas de inercia son insignificantes en comparación con las fuerzas viscosas, y la eliminación de los términos de inercia del equilibrio de momento en las ecuaciones de Navier-Stokes lo reduce al equilibrio de momento en las ecuaciones de Stokes: ^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}}$

donde está la tensión (suma de las tensiones viscosa y de presión), ^{[9] [10]} y una fuerza corporal aplicada. Las ecuaciones completas de Stokes también incluyen una ecuación para la conservación de la masa , comúnmente escrita en la forma: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

¿Dónde está la densidad del fluido y la velocidad del fluido? Para obtener las ecuaciones de movimiento para flujo incompresible, se supone que la densidad, , es una constante. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \rho }$

Además, ocasionalmente se podrían considerar las ecuaciones inestables de Stokes, en las que el término se añade al lado izquierdo de la ecuación de equilibrio de momento. ^[1] ${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$

Propiedades

Las ecuaciones de Stokes representan una simplificación considerable de las ecuaciones completas de Navier-Stokes , especialmente en el caso newtoniano incompresible. ^{[2] [4] [9] [10]} Son la simplificación de orden principal de las ecuaciones completas de Navier-Stokes, válidas en el límite distinguido. ${\displaystyle \mathrm {Re} \to 0.}$

Instantaneidad

Un flujo de Stokes no depende del tiempo más que a través de condiciones de contorno dependientes del tiempo . Esto significa que, dadas las condiciones de frontera de un flujo de Stokes, el flujo se puede encontrar sin conocerlo en ningún otro momento.

Reversibilidad del tiempo

Una consecuencia inmediata de la instantaneidad, la reversibilidad en el tiempo significa que un flujo de Stokes invertido en el tiempo resuelve las mismas ecuaciones que el flujo de Stokes original. Esta propiedad a veces se puede utilizar (junto con la linealidad y la simetría en las condiciones de contorno) para derivar resultados sobre un flujo sin resolverlo por completo. La reversibilidad del tiempo significa que es difícil mezclar dos fluidos utilizando un flujo progresivo.

Reversibilidad temporal de los flujos de Stokes: se ha inyectado tinte en un fluido viscoso intercalado entre dos cilindros concéntricos (panel superior). Luego se gira el cilindro central para cortar el tinte en una espiral vista desde arriba. El tinte parece estar mezclado con el líquido visto desde un lado (panel central). Luego se invierte la rotación llevando el cilindro a su posición original. El tinte "se deshace" (panel inferior). La inversión no es perfecta porque se produce cierta difusión del tinte. ^{[11] [12]}

Si bien estas propiedades son ciertas para los flujos de Stokes newtonianos incompresibles, la naturaleza no lineal y a veces dependiente del tiempo de los fluidos no newtonianos significa que no se cumplen en el caso más general.

La paradoja de Stokes

Una propiedad interesante del flujo de Stokes se conoce como la paradoja de Stokes : que no puede haber flujo de Stokes de un fluido alrededor de un disco en dos dimensiones; o, de manera equivalente, el hecho de que no existe una solución no trivial para las ecuaciones de Stokes alrededor de un cilindro infinitamente largo. ^[13]

Demostración de reversibilidad temporal.

Un sistema Taylor-Couette puede crear flujos laminares en los que cilindros concéntricos de fluido se mueven entre sí en una aparente espiral. ^[14] Un fluido como el jarabe de maíz con alta viscosidad llena el espacio entre dos cilindros, con regiones coloreadas del fluido visibles a través del cilindro exterior transparente. Los cilindros giran entre sí a baja velocidad, lo que junto con la alta viscosidad del fluido y la delgadez del espacio dan como resultado un número de Reynolds bajo , de modo que la mezcla aparente de colores es en realidad laminar y luego puede invertirse hasta aproximadamente el estado inicial. Esto crea una demostración dramática de cómo aparentemente se mezcla un fluido y luego se desmezcla invirtiendo la dirección del mezclador. ^{[15] [16] [17]}

Flujo incompresible de fluidos newtonianos.

En el caso común de un fluido newtoniano incompresible , las ecuaciones de Stokes toman la forma (vectorizada):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

donde es la velocidad del fluido, es el gradiente de presión , es la viscosidad dinámica y la fuerza corporal aplicada. Las ecuaciones resultantes son lineales en velocidad y presión y, por lo tanto, pueden aprovechar una variedad de solucionadores de ecuaciones diferenciales lineales. ^[4] ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

Coordenadas cartesianas

Con el vector velocidad expandido y de manera similar al vector fuerza corporal , podemos escribir la ecuación vectorial explícitamente, ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

Llegamos a estas ecuaciones asumiendo que y la densidad es una constante. ^[9] ${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$ ${\displaystyle \rho }$

Métodos de solución

Por función de flujo

La ecuación para un flujo de Stokes newtoniano incompresible se puede resolver mediante el método de la función de corriente en casos planos o ejesimétricos tridimensionales.

Por la función de Green: el Stokeslet

La linealidad de las ecuaciones de Stokes en el caso de un fluido newtoniano incompresible significa que existe una función de Green . La función de Green se encuentra resolviendo las ecuaciones de Stokes con el término forzado reemplazado por una fuerza puntual que actúa en el origen y las condiciones de contorno que desaparecen en el infinito: ${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}}$

donde es la función delta de Dirac y representa una fuerza puntual que actúa en el origen. La solución para la presión p y la velocidad u con | tu | y p que desaparece en el infinito viene dado por ^[1] ${\displaystyle \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}}$

dónde

${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)}$

es un tensor de segundo rango (o más exactamente tensor de campo ) conocido como tensor de Oseen (en honor a Carl Wilhelm Oseen ). Aquí, r r es una cantidad tal que . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\mathbf {r} \mathbf {r} )=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r} }$

Los términos Stokeslet y solución de fuerza puntual se utilizan para describir . De manera análoga a la carga puntual en electrostática , el Stokeslet está libre de fuerza en todas partes excepto en el origen, donde contiene una fuerza de fuerza . ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Para una distribución de fuerza continua (densidad), la solución (que nuevamente desaparece en el infinito) se puede construir mediante superposición: ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'} }$

Esta representación integral de la velocidad puede verse como una reducción de la dimensionalidad: de la ecuación diferencial parcial tridimensional a una ecuación integral bidimensional para densidades desconocidas. ^[1]

Por la solución Papkovich-Neuber

La solución de Papkovich-Neuber representa los campos de velocidad y presión de un flujo de Stokes newtoniano incompresible en términos de dos potenciales armónicos .

Por método de elemento límite

Ciertos problemas, como la evolución de la forma de una burbuja en un flujo de Stokes, conducen a una solución numérica mediante el método de los elementos límite . Esta técnica se puede aplicar a flujos bidimensionales y tridimensionales.

Algunas geometrías

Flujo de Hele-Shaw

El flujo de Hele-Shaw es un ejemplo de geometría para la cual las fuerzas de inercia son insignificantes. Está definido por dos placas paralelas dispuestas muy juntas, con el espacio entre las placas ocupado en parte por fluido y en parte por obstáculos en forma de cilindros con generadores normales a las placas. ^[9]

Teoría del cuerpo delgado

La teoría del cuerpo delgado en el flujo de Stokes es un método aproximado simple para determinar el campo de flujo irrotacional alrededor de cuerpos cuya longitud es grande en comparación con su ancho. La base del método es elegir una distribución de singularidades de flujo a lo largo de una línea (ya que el cuerpo es delgado) de modo que su flujo irrotacional en combinación con una corriente uniforme satisfaga aproximadamente la condición de velocidad normal cero. ^[9]

Coordenadas esféricas

La solución general de Lamb surge del hecho de que la presión satisface la ecuación de Laplace , y puede expandirse en una serie de armónicos esféricos sólidos en coordenadas esféricas. Como resultado, la solución de las ecuaciones de Stokes se puede escribir: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

donde y son armónicos esféricos sólidos de orden : ${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$ ${\displaystyle \chi _{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

y son los polinomios de Legendre asociados . La solución de Lamb se puede utilizar para describir el movimiento de un fluido dentro o fuera de una esfera. Por ejemplo, se puede utilizar para describir el movimiento de un fluido alrededor de una partícula esférica con un flujo superficial prescrito, el llamado squirmer , o para describir el flujo dentro de una gota esférica de fluido. Para los flujos interiores, los términos con se eliminan, mientras que para los flujos exteriores se eliminan los términos con (a menudo se asume la convención para los flujos exteriores para evitar la indexación por números negativos). ^[1] ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n\to -n-1}$

Teoremas

Solución de Stokes y teorema de Helmholtz relacionado

Aquí se resume la resistencia al arrastre de una esfera en movimiento, también conocida como solución de Stokes. Dada una esfera de radio , que viaja a velocidad , en un fluido de Stokes con viscosidad dinámica , la fuerza de arrastre viene dada por: ^[9] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F_{D}}$

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

La solución de Stokes disipa menos energía que cualquier otro campo vectorial solenoidal con las mismas velocidades límite: esto se conoce como teorema de disipación mínima de Helmholtz . ^[1]

Teorema recíproco de Lorentz

El teorema recíproco de Lorentz establece una relación entre dos flujos de Stokes en la misma región. Considere una región llena de líquido delimitada por una superficie . Dejemos que los campos de velocidad y resuelvan las ecuaciones de Stokes en el dominio , cada una con sus correspondientes campos de tensión y . Entonces se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

¿Dónde está la unidad normal en la superficie ? El teorema recíproco de Lorentz se puede utilizar para demostrar que el flujo de Stokes "transmite" sin cambios la fuerza y ​​el par total desde una superficie interior cerrada a una superficie exterior envolvente. ^[1] El teorema recíproco de Lorentz también se puede utilizar para relacionar la velocidad de nado de un microorganismo, como una cianobacteria , con la velocidad superficial que está prescrita por las deformaciones de la forma del cuerpo a través de cilios o flagelos . ^[19] El teorema recíproco de Lorentz también se ha utilizado en el contexto de la teoría elastohidrodinámica para derivar la fuerza de sustentación ejercida sobre un objeto sólido que se mueve tangente a la superficie de una interfaz elástica con números de Reynolds bajos . ^{[20] [21]} ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle S}$

Las leyes de Faxén

Las leyes de Faxén son relaciones directas que expresan los momentos multipolares en términos del flujo ambiental y sus derivadas. Desarrollados por primera vez por Hilding Faxén para calcular la fuerza, y el par, en una esfera, toman la siguiente forma: ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

donde es la viscosidad dinámica, es el radio de la partícula, es el flujo ambiental, es la velocidad de la partícula, es la velocidad angular del flujo de fondo y es la velocidad angular de la partícula. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

Las leyes de Faxén se pueden generalizar para describir los momentos de otras formas, como elipsoides, esferoides y gotas esféricas. ^[1]

Ver también

• ley de stokes
• Teorema de disipación mínima de Helmholtz
• ley de darcy
• Flujo de Hele-Shaw
• Flujo de raspado de Taylor
• Flujo laminar
• Teoría de la lubricación
• ecuaciones de osen
• Poiseuille
• Teoría del cuerpo delgado
• Tasa de flujo volumétrico
• ley de faxen

Referencias

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2. Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: transporte en dispositivos microfluídicos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-11903-0. Archivado desde el original el 28 de abril de 2019 . Consultado el 15 de enero de 2010 .
3. Dusenbery, David B. (2009). Vivir a microescala . Prensa de la Universidad de Harvard, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 
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5. Chwang, A. y Wu, T. (1974). "Hidromecánica de flujo con número de Reynolds bajo. Parte 2. Método de singularidad para flujos de Stokes" Archivado el 7 de marzo de 2012 en Wayback Machine . J. Mec. de fluidos. 62 (6), parte 4, 787–815.
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7. Shu, Jian-Jun; Chwang, Allen T. (2001). "Soluciones fundamentales generalizadas para flujos viscosos inestables". Revisión física E. 63 (5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Código bibliográfico : 2001PhRvE..63e1201S. doi : 10.1103/PhysRevE.63.051201. PMID  11414893. S2CID  22258027.
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• Ockendon, H. y Ockendon JR (1995) Flujo viscoso , Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1 . 

enlaces externos

• Demostración en video de la reversibilidad temporal del flujo de Stokes por Física y Astronomía de la UNM