Distribución de recuento estable

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad , la distribución de recuento estable es la distribución conjugada previa de una distribución estable unilateral . Esta distribución fue descubierta por Stephen Lihn (en chino: 藺鴻圖) en su estudio de 2017 sobre las distribuciones diarias del S&P 500 y el VIX . ^[1] La familia de distribuciones estables también se conoce a veces como distribución alfa-estable de Lévy , en honor a Paul Lévy , el primer matemático que la estudió. ^[2]

De los tres parámetros que definen la distribución, el parámetro de estabilidad es el más importante. Las distribuciones de conteo estables tienen . El caso analítico conocido de está relacionado con la distribución VIX (ver la Sección 7 de ^[1] ). Todos los momentos son finitos para la distribución. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

Definición

Su distribución estándar se define como

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right),}$

donde y ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1.}$

Su familia de escala de ubicación se define como

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),}$

donde , , y ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1.}$

En la expresión anterior, es una distribución estable unilateral , ^[3] que se define de la siguiente manera. ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

Sea una variable aleatoria estable estándar cuya distribución se caracteriza por , entonces tenemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{1/\alpha },0),}$

dónde . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Consideremos la suma de Lévy donde , entonces tiene la densidad donde . Fijando , llegamos a sin la constante de normalización. ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$ ${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

La razón por la que esta distribución se denomina "recuento estable" se puede entender mediante la relación . Nótese que es el "recuento" de la suma de Lévy. Dado un valor fijo , esta distribución da la probabilidad de dar pasos para recorrer una unidad de distancia. ${\displaystyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$

Forma integral

Basándonos en la forma integral de y , tenemos la forma integral de como ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\cos({\frac {t}{\nu }})\cos({\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt.\\\end{aligned}}}$

Basándonos en la integral de doble seno anterior, llegamos a la forma integral de la CDF estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{\alpha }(x)&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt\,d\nu \\&=1-{\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,{\text{Si}}({\frac {t}{x}})\,dt,\\\end{aligned}}}$

donde es la función integral seno. ${\displaystyle {\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

La representación de Wright

En "Representación de series", se muestra que la distribución de conteo estable es un caso especial de la función de Wright (ver Sección 4 de ^[4] ):

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}}.}$

Esto conduce a la integral de Hankel: (basada en (1.4.3) de ^[5] )

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{Ha}e^{t-(\nu t)^{\alpha }}\,dt,\,}$donde Ha representa un contorno de Hankel .

Derivación alternativa: descomposición lambda

Otro enfoque para derivar la distribución de conteo estable es utilizar la transformada de Laplace de la distribución estable unilateral (Sección 2.4 de ^[1] ).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)\,dx=e^{-z^{\alpha }},}$dónde . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Sea , y se puede descomponer la integral en el lado izquierdo como una distribución de producto de una distribución de Laplace estándar y una distribución de conteo estable estándar, ${\displaystyle x=1/\nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right)\left({\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )\,d\nu ,}$

dónde . ${\displaystyle z\in {\mathsf {R}}}$

Esto se denomina "descomposición lambda" (consulte la Sección 4 de ^[1] ) ya que la LHS se denominó "distribución lambda simétrica" ​​en los trabajos anteriores de Lihn. Sin embargo, tiene varios nombres más populares, como " distribución de potencia exponencial " o "distribución normal/de error generalizado", a la que a menudo se hace referencia cuando  . También es la función de supervivencia de Weibull en ingeniería de confiabilidad . ${\displaystyle \alpha >1}$

La descomposición lambda es la base del marco de Lihn de rendimientos de activos bajo la ley estable. El lado izquierdo es la distribución de los rendimientos de los activos. En el lado derecho, la distribución de Laplace representa el ruido lepkurtótico y la distribución de recuento estable representa la volatilidad.

Distribución de vol estable

Una variante de la distribución de recuento estable se denomina distribución de volumen estable . La transformada de Laplace de se puede reexpresar en términos de una mezcla gaussiana de (consulte la Sección 6 de ^[4] ). Se deriva de la descomposición lambda anterior mediante un cambio de variable tal que ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$ ${\displaystyle e^{-|z|^{\alpha }}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-(z^{2})^{\alpha /2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\alpha }(s)\,ds,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\alpha }(s)&=\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}\,\Gamma ({\frac {2}{\alpha }}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {\alpha }{2}}(2s^{2}),\,\,0<\alpha \leq 2\\&=\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}\left(-{({\sqrt {2}}s)}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

Esta transformación se denomina transmutación de Gauss generalizada ya que generaliza la transmutación de Gauss-Laplace, que es equivalente a . ${\displaystyle V_{1}(s)=2{\sqrt {2\pi }}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(2s^{2})=s\,e^{-s^{2}/2}}$

Conexión con las distribuciones Gamma y Poisson

El parámetro de forma de las distribuciones Gamma y Poisson está relacionado con el inverso del parámetro de estabilidad de Lévy . La función gamma regularizada superior se puede expresar como una integral incompleta de como ${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle Q(s,x)}$ ${\displaystyle e^{-{u^{\alpha }}}}$

$${\displaystyle Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\displaystyle \int _{z}^{\infty }e^{-{u^{\alpha }}}\,du.}$$

Reemplazando con la descomposición y realizando una integral, tenemos: ${\displaystyle e^{-{u^{\alpha }}}}$

$${\displaystyle Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })=\displaystyle \int _{z}^{\infty }\,du\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left(e^{-u/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(e^{-z/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu .}$$

Volviendo a , llegamos a la descomposición de en términos de un recuento estable: ${\displaystyle ({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })}$ ${\displaystyle (s,x)}$ ${\displaystyle Q(s,x)}$

$${\displaystyle Q(s,x)=\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu .\,\,(s>1)}$$

Derivando por , llegamos a la fórmula deseada: ${\displaystyle Q(s,x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (s)}}x^{s-1}e^{-x}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[s\,x^{s-1}e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\,\,\,(\nu =t^{s})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};s\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\end{aligned}}}$

Esto se presenta en forma de una distribución de producto . El término en el lado derecho está asociado con una distribución de forma de Weibull . Por lo tanto, esta fórmula conecta la distribución de recuento estable con la función de densidad de probabilidad de una distribución Gamma ( aquí ) y la función de masa de probabilidad de una distribución de Poisson ( aquí ) . Y el parámetro de forma puede considerarse como el inverso del parámetro de estabilidad de Lévy . ${\displaystyle \left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\rightarrow s+1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

Conexión con distribuciones Chi y Chi-cuadrado

Se puede demostrar que los grados de libertad en las distribuciones chi y chi-cuadrado están relacionados con . Por lo tanto, la idea original de considerarlo como un índice entero en la descomposición lambda se justifica aquí. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2/\alpha }$ ${\displaystyle \lambda =2/\alpha }$

En el caso de la distribución chi-cuadrado , es sencillo, ya que la distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma , en el sentido de que . Y, como se ha indicado anteriormente, el parámetro de forma de una distribución gamma es . ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {k}{2}},\theta =2\right)}$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

Para la distribución chi , comenzamos con su CDF , donde . Derivamos por , tenemos su función de densidad como ${\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle P(s,x)=1-Q(s,x)}$ ${\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{k}(x)={\frac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,x^{k-1}e^{\left(-2^{-{\frac {k}{2}}}\,{x^{k}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[k\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{k-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{k}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt,\,\,\,(\nu =2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};k\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt\end{aligned}}}$

Esta fórmula se conecta a través del término. ${\displaystyle 2/k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\cdot \right)}$

Conexión con distribuciones Gamma generalizadas

La distribución gamma generalizada es una distribución de probabilidad con dos parámetros de forma y es el superconjunto de la distribución gamma , la distribución de Weibull , la distribución exponencial y la distribución seminormal . Su CDF tiene la forma de . (Nota: usamos en lugar de para mantener la coherencia y evitar confusiones con ). Derivamos por , llegamos a la fórmula de la distribución del producto: ${\displaystyle P(s,x^{c})=1-Q(s,x^{c})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P(s,x^{c})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{GenGamma}}(x;s,c)&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};sc\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(t^{sc}\right)\,sc\,t^{sc-1}\right]\,dt\,\,(s\geq 1)\end{aligned}}}$

donde denota la PDF de una distribución gamma generalizada, cuya CDF está parametrizada como . Esta fórmula se conecta con a través del término . El término es un exponente que representa el segundo grado de libertad en el espacio de forma-parámetro. ${\displaystyle {\text{GenGamma}}(x;s,c)}$ ${\displaystyle P(s,x^{c})}$ ${\displaystyle 1/s}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle sc}$

Esta fórmula es singular para el caso de una distribución de Weibull, ya que debe ser uno para ; pero para que exista, debe ser mayor que uno. Cuando , es una función delta y esta fórmula se vuelve trivial. La distribución de Weibull tiene su forma distintiva de descomposición, como se muestra a continuación. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\text{GenGamma}}(x;1,c)={\text{Weibull}}(x;c)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\rightarrow 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)}$

Conexión a la distribución Weibull

Para una distribución de Weibull cuya CDF es , su parámetro de forma es equivalente al parámetro de estabilidad de Lévy . ${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,\,(x>0)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$

Se puede derivar una expresión similar de la distribución del producto, de modo que el núcleo sea una distribución de Laplace unilateral o una distribución de Rayleigh . Comienza con la CDF complementaria, que proviene de la descomposición Lambda: ${\displaystyle F(x;1,\sigma )}$ ${\displaystyle F(x;2,{\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle 1-F(x;k,1)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,(1-F(x;1,\nu ))\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,(1-F(x;2,{\sqrt {2}}s))\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}}$

Al tomar la derivada de , obtenemos la forma de distribución del producto de una distribución de Weibull PDF como ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{Weibull}}(x;k)}$

${\displaystyle {\text{Weibull}}(x;k)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\text{Laplace}}({\frac {x}{\nu }})\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{\nu }}{\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,{\text{Rayleigh}}({\frac {x}{s}})\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{s}}V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}}$

donde y . queda claro que de los términos y . ${\displaystyle {\text{Laplace}}(x)=e^{-x}}$ ${\displaystyle {\text{Rayleigh}}(x)=xe^{-x^{2}/2}}$ ${\displaystyle k=\alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{k}(\nu )}$ ${\displaystyle V_{k}(s)}$

Propiedades asintóticas

Para una familia de distribuciones estables, es esencial comprender sus comportamientos asintóticos. De ^[3] para valores pequeños , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow B(\alpha )\,\nu ^{\alpha },{\text{ for }}\nu \rightarrow 0{\text{ and }}B(\alpha )>0.\\\end{aligned}}}$

Esto confirma . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(0)=0}$

Para grandes , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow \nu ^{\frac {\alpha }{2(1-\alpha )}}e^{-A(\alpha )\,\nu ^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}},{\text{ for }}\nu \rightarrow \infty {\text{ and }}A(\alpha )>0.\\\end{aligned}}}$

Esto demuestra que la cola de decae exponencialmente en el infinito. Cuanto más grande es, más fuerte es la decaimiento. ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Esta cola tiene la forma de una distribución gamma generalizada , donde en su parametrización, , , y . Por lo tanto, es equivalente a , cuya CDF está parametrizada como . ${\displaystyle f(x;a,d,p)}$ ${\displaystyle p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$ ${\displaystyle a=A(\alpha )^{-1/p}}$ ${\displaystyle d=1+{\frac {p}{2}}}$ ${\displaystyle {\text{GenGamma}}({\frac {x}{a}};s={\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{2}},c=p)}$ ${\displaystyle P\left(s,\left({\frac {x}{a}}\right)^{c}\right)}$

Momentos

El momento n -ésimo de es el momento -ésimo de . Todos los momentos positivos son finitos. Esto, en cierto modo, resuelve la espinosa cuestión de los momentos divergentes en la distribución estable. (Véase la Sección 2.4 de ^[1] ) ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle -(n+1)}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&=\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )d\nu ={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t^{n+1}}}L_{\alpha }(t)\,dt.\\\end{aligned}}}$

La solución analítica de momentos se obtiene mediante la función de Wright:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha })\,d\nu \\&={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma (n+1)\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\\\end{aligned}}}$

donde (Véase (1.4.28) de ^[5] ) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{\delta }W_{-\nu ,\mu }(-r)\,dr={\frac {\Gamma (\delta +1)}{\Gamma (\nu \delta +\nu +\mu )}},\,\delta >-1,0<\nu <1,\mu >0.}$

Por lo tanto, la media de es ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

${\displaystyle m_{1}={\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}}$

La varianza es

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}}$

Y el momento más bajo es al aplicar cuando . ${\displaystyle m_{-1}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\frac {x}{y}})\to y\Gamma (x)}$ ${\displaystyle x\to 0}$

El momento n -ésimo de la distribución vol estable es ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}(V_{\alpha })&=2^{-{\frac {n}{2}}}{\sqrt {\pi }}\,{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\end{aligned}}}$

Función generadora de momentos

La MGF se puede expresar mediante una función Fox-Wright o una función H de Fox :

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(s)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}\,s^{n}}{n!}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{}_{1}\Psi _{1}\left[({\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }});(1,1);s\right],\,\,{\text{or}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}H_{1,2}^{1,1}\left[-s{\bigl |}{\begin{matrix}(1-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})\\(0,1);(0,1)\end{matrix}}\right]\\\end{aligned}}}$

A modo de verificación, en , (ver más abajo) se puede expandir mediante Taylor a través de . ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=(1-4s)^{-{\frac {3}{2}}}}$ ${\displaystyle {}_{1}\Psi _{1}\left[(2,2);(1,1);s\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (2n+2)\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{2}}-n)={\sqrt {\pi }}{\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}}$

Caso analítico conocido: recuento estable cuártico

Cuando , es la distribución de Lévy , que es una distribución gamma inversa. Por lo tanto, es una distribución gamma desplazada de forma 3/2 y escala , ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle L_{1/2}(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{1/2}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle 4\theta }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-(\nu -\nu _{0})/4\theta },}$

dónde , . ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$

Su media es y su desviación estándar es . Esto se denomina "distribución de recuento estable de cuarto grado". La palabra "cuártico" proviene del trabajo anterior de Lihn sobre la distribución lambda ^[6] donde . En este contexto, muchas facetas de la distribución de recuento estable tienen soluciones analíticas elegantes. ${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$ ${\displaystyle \lambda =2/\alpha =4}$

Los momentos centrales p -ésimos son . La CDF es donde es la función gamma incompleta inferior . Y la MGF es . (Ver Sección 3 de ^[1] ) ${\displaystyle {\frac {2\Gamma (p+3/2)}{\Gamma (3/2)}}4^{p}\theta ^{p}}$ ${\textstyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {3}{2}},{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}\right)}$ ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ ${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=e^{s\nu _{0}}(1-4s\theta )^{-{\frac {3}{2}}}}$

Caso especial cuando α → 1

A medida que se hace más grande, el pico de la distribución se vuelve más agudo. Un caso especial de es cuando . La distribución se comporta como una función delta de Dirac , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha \to 1}(\nu )\to \delta (\nu -1),}$

donde , y . ${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty ,&{\text{if }}x=0\\0,&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \int _{0_{-}}^{0_{+}}\delta (x)dx=1}$

De la misma manera, la distribución de vol estable también se convierte en una función delta, ${\displaystyle \alpha \to 2}$

${\displaystyle V_{\alpha \to 2}(s)\to \delta (s-{\frac {1}{\sqrt {2}}}).}$

Representación en serie

Con base en la representación en serie de la distribución estable unilateral, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\sin(n\alpha \pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\\end{aligned}}}$.

Esta representación en serie tiene dos interpretaciones:

• En primer lugar, una forma similar de esta serie fue dada por primera vez en Pollard (1948), ^[7] y en "Relación con la función Mittag-Leffler", se afirma que donde es la transformada de Laplace de la función Mittag-Leffler . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)={\frac {\alpha ^{2}x^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(x^{\alpha }),}$ ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(-x)}$
• En segundo lugar, esta serie es un caso especial de la función de Wright : (Véase la Sección 1.4 de ^[5] ) ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{x}^{\alpha n}}{n!}}\,\sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.\\\end{aligned}}}$

La demostración se obtiene mediante la fórmula de reflexión de la función Gamma: , que admite la aplicación: en . La representación de Wright conduce a soluciones analíticas para muchas propiedades estadísticas de la distribución de recuento estable y establece otra conexión con el cálculo fraccionario. ${\displaystyle \sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)=\pi /\Gamma (-\alpha n)}$ ${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =0,z=-x^{\alpha }}$ ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$

Aplicaciones

La distribución de recuento estable puede representar bastante bien la distribución diaria del VIX. Se plantea la hipótesis de que el VIX se distribuye como con y (véase la Sección 7 de ^[1] ). Por lo tanto, la distribución de recuento estable es la distribución marginal de primer orden de un proceso de volatilidad. En este contexto, se denomina "volatilidad de piso". En la práctica, el VIX rara vez cae por debajo de 10. Este fenómeno justifica el concepto de "volatilidad de piso". A continuación se muestra una muestra del ajuste: ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$ ${\displaystyle \theta =1.6}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Distribución diaria del VIX y ajuste al recuento estable

Una forma de SDE con reversión a la media se basa en un modelo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) modificado . Supongamos que es el proceso de volatilidad, tenemos ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}={\frac {\sigma ^{2}}{8\theta }}(6\theta +\nu _{0}-S_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}-\nu _{0}}}\,dW,}$

donde es el denominado "vol de vol". El "vol de vol" del VIX se denomina VVIX , cuyo valor típico es de aproximadamente 85. ^[8] ${\displaystyle \sigma }$

Esta SDE es analíticamente manejable y satisface la condición de Feller, por lo que nunca caería por debajo de . Pero hay un problema sutil entre la teoría y la práctica. Ha habido alrededor de un 0,6% de probabilidad de que el VIX haya caído por debajo de . Esto se llama "derrame". Para abordarlo, se puede reemplazar el término de raíz cuadrada por , donde proporciona un pequeño canal de fuga para que se desplace ligeramente por debajo de . ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\max(S_{t}-\nu _{0},\delta \nu _{0})}}}$ ${\displaystyle \delta \nu _{0}\approx 0.01\,\nu _{0}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Un valor VIX extremadamente bajo indica un mercado muy complaciente. Por lo tanto, la condición de contagio, , tiene cierta importancia: cuando ocurre, generalmente indica la calma antes de la tormenta en el ciclo económico. ${\displaystyle S_{t}<\nu _{0}}$

Generación de variables aleatorias

Como muestra el modelo CIR modificado anterior, se necesita otro parámetro de entrada para simular secuencias de variables aleatorias de recuento estable. El proceso estocástico de reversión a la media adopta la forma de ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dS_{t}=\sigma ^{2}\mu _{\alpha }\left({\frac {S_{t}}{\theta }}\right)\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}}}\,dW,}$

que debería producir que se distribuya como . Y es una preferencia especificada por el usuario sobre qué tan rápido debe cambiar. ${\displaystyle \{S_{t}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta )}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S_{t}}$

Resolviendo la ecuación de Fokker-Planck , la solución para en términos de es ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\left(x{d \over dx}+1\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}{{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[x{d \over dx}\left(\log {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)\right)+1\right]\end{array}}}$

También se puede escribir como una relación de dos funciones de Wright,

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha })}}\end{array}}}$

Cuando , este proceso se reduce al modelo CIR modificado donde . Este es el único caso especial donde es una línea recta. ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \mu _{1/2}(x)={\frac {1}{8}}(6-x)}$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$

De la misma manera, si la distribución asintótica es como , la solución, denotada como se muestra a continuación, es ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \mu (x;V_{\alpha })}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu (x;V_{\alpha })&=&\displaystyle -{\frac {W_{-{\frac {\alpha }{2}},-1}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}{W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}}-{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

Cuando , se reduce a un polinomio cuadrático: . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \mu (x;V_{1})=1-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Extensión estable del modelo CIR

Al relajar la relación rígida entre el término y el término anterior, la extensión estable del modelo CIR se puede construir como ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dr_{t}=a\,\left[{\frac {8b}{6}}\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}r_{t}\right)\right]\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW,}$

que se reduce al modelo CIR original en : . Por lo tanto, el parámetro controla la velocidad de reversión a la media, el parámetro de ubicación establece dónde está la media, es el parámetro de volatilidad y es el parámetro de forma para la ley estable. ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle dr_{t}=a\left(b-r_{t}\right)dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$

Al resolver la ecuación de Fokker-Planck , la solución para la PDF en es ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}p(x)&\propto &\displaystyle \exp \left[\int ^{x}{\frac {dx}{x}}\left(2D\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)-1\right)\right],{\text{ where }}D={\frac {4ab}{3\sigma ^{2}}}\\&=&\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)^{D}\,x^{D-1}\end{array}}}$

Para darle sentido a esta solución, considere asintóticamente para valores grandes , que la cola de todavía tiene la forma de una distribución gamma generalizada , donde en su parametrización, , , y . Se reduce al modelo CIR original en donde con y ; por lo tanto . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle f(x;a',d,p)}$ ${\displaystyle p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$ ${\displaystyle a'={\frac {b}{6}}(D\,A(\alpha ))^{-1/p}}$ ${\displaystyle d=D\left(1+{\frac {p}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle p(x)\propto x^{d-1}e^{-x/a'}}$ ${\displaystyle d={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle A(\alpha )={\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a'}}={\frac {6}{b}}\left({\frac {D}{4}}\right)={\frac {2a}{\sigma ^{2}}}}$

Cálculo fraccionario

Relación con la función Mittag-Leffler

De la Sección 4 de ^{[9] la} transformada inversa de Laplace de la función Mittag-Leffler es ( ) ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(-x)}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\mathcal {L}}^{-1}\{E_{\alpha }(-x)\}(k)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }E_{2\alpha }(-t^{2})\cos(kt)\,dt.}$

Por otra parte, la siguiente relación fue dada por Pollard (1948), ^[7]

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {1}{k^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {1}{k^{1/\alpha }}}\right).}$

Así, por , obtenemos la relación entre la distribución de conteo estable y la función Mittag-Leffter: ${\displaystyle k=\nu ^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha ^{2}\nu ^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(\nu ^{\alpha }).}$

Esta relación se puede verificar rápidamente en donde y . Esto conduce al conocido resultado de recuento estable cuártico: ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}(k)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-k^{2}/4}}$ ${\displaystyle k^{2}=\nu }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu )={\frac {\nu ^{1/2}}{4\,\Gamma (2)}}\times {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-\nu /4}={\frac {1}{4\,{\sqrt {\pi }}}}\nu ^{1/2}\,e^{-\nu /4}.}$

Relación con la ecuación de Fokker-Planck fraccional en el tiempo

La ecuación ordinaria de Fokker-Planck (FPE) es , donde es el operador espacial de Fokker-Planck, es el coeficiente de difusión , es la temperatura y es el campo externo. La FPE fraccionaria temporal introduce la derivada fraccionaria adicional tal que , donde es el coeficiente de difusión fraccionario. ${\displaystyle {\frac {\partial P_{1}(x,t)}{\partial t}}=K_{1}\,{\tilde {L}}_{FP}P_{1}(x,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {L}}_{FP}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {F(x)}{T}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle \,_{0}D_{t}^{1-\alpha }}$ ${\displaystyle {\frac {\partial P_{\alpha }(x,t)}{\partial t}}=K_{\alpha }\,_{0}D_{t}^{1-\alpha }{\tilde {L}}_{FP}P_{\alpha }(x,t)}$ ${\displaystyle K_{\alpha }}$

Sea , obtenemos el núcleo para la FPE fraccional en el tiempo (Ecuación (16) de ^[10] ) ${\displaystyle k=s/t^{\alpha }}$ ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$

${\displaystyle n(s,t)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {t}{s^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {t}{s^{1/\alpha }}}\right)}$

a partir de la cual se puede calcular la densidad fraccionaria a partir de una solución ordinaria mediante ${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)}$ ${\displaystyle P_{1}(x,t)}$

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\int _{0}^{\infty }n\left({\frac {s}{K}},t\right)\,P_{1}(x,s)\,ds,{\text{ where }}K={\frac {K_{\alpha }}{K_{1}}}.}$

Dado que a través del cambio de variable , la integral anterior se convierte en la distribución del producto con , similar al concepto de "descomposición lambda" y al escalamiento del tiempo : ${\displaystyle n({\frac {s}{K}},t)\,ds=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right){\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,d\nu }$ ${\displaystyle \nu t=s^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle t\Rightarrow (\nu t)^{\alpha }}$

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,P_{1}(x,(\nu t)^{\alpha })\,d\nu .}$

Aquí se interpreta como la distribución de impurezas, expresada en la unidad de , que causa la difusión anómala . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })}$ ${\displaystyle K^{1/\alpha }}$

Véase también

• Vuelo de Lévy
• Proceso Lévy
• Cálculo fraccionario
• Difusión anómala
• Función gamma incompleta y distribución gamma
• Distribución de Poisson

Referencias

1. Lihn, Stephen (2017). "Una teoría del rendimiento y la volatilidad de los activos bajo una ley estable y una distribución lambda estable". SSRN  3046732.
2. Paul Lévy, Cálculo de probabilidades 1925
3. Penson, KA; Górska, K. (17 de noviembre de 2010). "Densidades de probabilidad exactas y explícitas para distribuciones estables de Lévy unilaterales". Physical Review Letters . 105 (21): 210604. arXiv : 1007.0193 . Código Bibliográfico :2010PhRvL.105u0604P. doi :10.1103/PhysRevLett.105.210604. PMID  21231282. S2CID  27497684.
4. Lihn, Stephen (2020). "Distribución de recuento estable para los índices de volatilidad y la función característica estable generalizada espacio-temporal". SSRN  3659383.
5. Mathai, AM; Haubold, HJ (2017). Cálculo fraccional y multivariable . Optimización de Springer y sus aplicaciones. Vol. 122. Cham: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-59993-9. ISBN 9783319599922.
6. Lihn, Stephen HT (26 de enero de 2017). "De la sonrisa de volatilidad a la probabilidad neutral al riesgo y la solución de forma cerrada de la función de volatilidad local". SSRN  2906522.
7. Pollard, Harry (1948-12-01). "El carácter completamente monótono de la función Mittag-Leffler Ea(−x)". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 54 (12): 1115–1117. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09132-7 . ISSN  0002-9904.
8. "DUPLIQUE LA DIVERSIÓN CON EL ÍNDICE VVIX DE CBOE" (PDF) . www.cboe.com . Consultado el 9 de agosto de 2019 .
9. Saxena, RK; Mathai, AM; Haubold, HJ (1 de septiembre de 2009). "Funciones de Mittag-Leffler y sus aplicaciones". arXiv : 0909.0230 [math.CA].
10. Barkai, E. (29 de marzo de 2001). "Ecuación de Fokker-Planck fraccionaria, solución y aplicación". Physical Review E . 63 (4): 046118. Bibcode :2001PhRvE..63d6118B. doi :10.1103/PhysRevE.63.046118. ISSN  1063-651X. PMID  11308923. S2CID  18112355.

Enlaces externos

• Paquete R 'stabledist' de Diethelm Wuertz, Martin Maechler y miembros del equipo central de Rmetrics. Calcula densidad estable, probabilidad, cuantiles y números aleatorios. Actualizado el 12 de septiembre de 2016.