Celosía oblicua

En álgebra abstracta , una red oblicua es una estructura algebraica que es una generalización no conmutativa de una red . Si bien el término red oblicua se puede utilizar para referirse a cualquier generalización no conmutativa de una red, desde 1989 se ha utilizado principalmente de la siguiente manera.

Definición

Una red oblicua es un conjunto S equipado con dos operaciones binarias asociativas , idempotentes y , llamadas encuentro y unión , que validan el siguiente par dual de leyes de absorción ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$

${\displaystyle x\wedge (x\vee y)=x=(y\vee x)\wedge x}$,

${\displaystyle x\vee (x\wedge y)=x=(y\wedge x)\vee x}$.

Dado que y son asociativos e idempotentes, estas identidades son equivalentes a validar el siguiente par dual de afirmaciones: ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle x\vee y=x}$si , ${\displaystyle x\wedge y=y}$

${\displaystyle x\wedge y=x}$si . ^[1] ${\displaystyle x\vee y=y}$

Antecedentes históricos

Durante más de 60 años, las variaciones no conmutativas de los retículos se han estudiado con diferentes motivaciones. Para algunos, la motivación ha sido el interés por los límites conceptuales de la teoría de retículos ; para otros, la búsqueda de formas no conmutativas de lógica y álgebra de Boole ; y para otros, el comportamiento de los idempotentes en anillos . Un retículo no conmutativo , en términos generales, es un álgebra donde y son operaciones binarias asociativas e idempotentes conectadas por identidades de absorción que garantizan que de alguna manera se dualiza . Las identidades precisas elegidas dependen de la motivación subyacente, y las diferentes elecciones producen distintas variedades de álgebras . ${\displaystyle (S;\wedge ,\vee )}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$

Pascual Jordan , motivado por cuestiones de lógica cuántica , inició un estudio de redes no conmutativas en su artículo de 1949, Über Nichtkommutative Verbände , ^[2] eligiendo las identidades de absorción

${\displaystyle x\wedge (y\vee x)=x=(x\wedge y)\vee x.}$

Se refirió a aquellas álgebras que las satisfacen como Schrägverbände . Al variar o aumentar estas identidades, Jordan y otros obtuvieron una serie de variedades de redes no conmutativas. Comenzando con el artículo de Jonathan Leech de 1989, Skew lattices in rings , ^[1] las redes oblicuas como se definieron anteriormente han sido los principales objetos de estudio. Esto fue ayudado por resultados previos sobre bandas . Este fue especialmente el caso para muchas de las propiedades básicas.

Propiedades básicas

Orden parcial natural y cuasiorden natural

En una red oblicua , el orden parcial natural se define por si , o dualmente, . El preorden natural en se da por si o dualmente . Mientras que y concuerdan en las redes, se refina adecuadamente en el caso no conmutativo. La equivalencia natural inducida se define por si , es decir, y o dualmente, y . Los bloques de la partición están ordenados en red por si y existen de manera que . Esto nos permite dibujar diagramas de Hasse de redes oblicuas como el siguiente par: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x\wedge y=y=y\wedge x}$ ${\displaystyle x\vee y=x=y\vee x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle y\wedge x\wedge y=y}$ ${\displaystyle x\vee y\vee x=x}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle xDy}$ ${\displaystyle x\preceq y\preceq x}$ ${\displaystyle x\wedge y\wedge x=x}$ ${\displaystyle y\wedge x\wedge y=y}$ ${\displaystyle x\vee y\vee x=x}$ ${\displaystyle y\vee x\vee y=y}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle A>B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a>b}$

Por ejemplo, en el diagrama de la izquierda, el hecho de que y estén relacionados se expresa mediante el segmento discontinuo. Las líneas inclinadas revelan el orden parcial natural entre los elementos de las distintas clases. Los elementos , y forman las clases singleton . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D}$

Celosías oblicuas rectangulares

Las redes oblicuas que consisten en una sola clase se denominan rectangulares . Se caracterizan por las identidades equivalentes: , y . Las redes oblicuas rectangulares son isomorfas a las redes oblicuas que tienen la siguiente construcción (y a la inversa): dados los conjuntos no vacíos y , en definen y . La partición de clase de una red oblicua , como se indica en los diagramas anteriores, es la única partición de en sus subálgebras rectangulares máximas, Además, es una congruencia con el álgebra del cociente inducido que es la imagen reticular máxima de , lo que hace que cada red oblicua sea una red de subálgebras rectangulares. Este es el teorema de Clifford-McLean para redes oblicuas, dado por primera vez para bandas por separado por Clifford y McLean. También se conoce como el primer teorema de descomposición para redes oblicuas . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\wedge y\wedge x=x}$ ${\displaystyle y\vee x\vee y=y}$ ${\displaystyle x\vee y=y\wedge x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\times R}$ ${\displaystyle (x,y)\vee (z,w)=(z,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\wedge (z,w)=(x,w)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Redes oblicuas de mano derecha (mano izquierda) y factorización de Kimura

Una red oblicua es dextrógira si satisface la identidad o dualmente, . Estas identidades esencialmente afirman que y en cada clase . Cada red oblicua tiene una imagen máxima dextrógira única donde la congruencia está definida por si y (o dualmente, y ). Asimismo, una red oblicua es zurda si y en cada clase . Nuevamente, la imagen máxima zurda de una red oblicua es la imagen donde la congruencia está definida de manera dual como . Muchos ejemplos de redes oblicuas son dextrógiros o zurdos. En la red de congruencias, y es la congruencia identidad . El epimorfismo inducido se factoriza a través de epimorfismos inducidos y . Al establecer , el homomorfismo definido por , induce un isomorfismo . Esta es la factorización de Kimura de en un producto fibroso de sus imágenes máximas dextrógiras e zurdas. ${\displaystyle x\wedge y\wedge x=y\wedge x}$ ${\displaystyle x\vee y\vee x=x\vee y}$ ${\displaystyle x\wedge y=y}$ ${\displaystyle x\vee y=x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle xLy}$ ${\displaystyle x\wedge y=x}$ ${\displaystyle y\wedge x=y}$ ${\displaystyle x\vee y=y}$ ${\displaystyle y\vee x=x}$ ${\displaystyle x\wedge y=x}$ ${\displaystyle x\vee y=y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R\vee L=D}$ ${\displaystyle R\cap L}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S\rightarrow S/D}$ ${\displaystyle S\rightarrow S/L}$ ${\displaystyle S\rightarrow S/R}$ ${\displaystyle T=S/D}$ ${\displaystyle k:S\rightarrow S/L\times S/R}$ ${\displaystyle k(x)=(L_{x},R_{x})}$ ${\displaystyle k*:S\sim S/L\times _{T}S/R}$ ${\displaystyle S}$

Al igual que el teorema de Clifford-McLean, la factorización de Kimura (o el segundo teorema de descomposición para redes oblicuas ) se dio por primera vez para bandas regulares (bandas que satisfacen la identidad de absorción media, ). De hecho, tanto y son operaciones de banda regulares. Los símbolos anteriores , y provienen, por supuesto, de la teoría básica de semigrupos. ^{[1] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]} ${\displaystyle xyxzx=xyzx}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$

Subvariedades de redes oblicuas

Las redes oblicuas forman una variedad. Las redes oblicuas rectangulares, las redes oblicuas levógiras y las redes oblicuas diestras forman subvariedades que son fundamentales para la teoría de la estructura básica de las redes oblicuas. A continuación se muestran varias más.

Redes oblicuas simétricas

Una red oblicua S es simétrica si para cualquier , si . Las ocurrencias de conmutación son, por lo tanto, inequívocas para tales redes oblicuas, con subconjuntos de elementos conmutativos por pares que generan subálgebras conmutativas, es decir, subredes. (Esto no es cierto para las redes oblicuas en general). Las bases ecuacionales para esta subvariedad, dadas por primera vez por Spinks ^[10] son: y . Una sección de red de una red oblicua es una subred de que cumple cada clase de en un solo elemento. es, por lo tanto, una copia interna de la red con la composición siendo un isomorfismo. Todas las redes oblicuas simétricas para las que admiten una sección de red. ^[9] Simétrica o no, tener una sección de red garantiza que también tiene copias internas de y dadas respectivamente por y , donde y son las clases de congruencia y de en . Por lo tanto , y son isomorfismos. ^[7] Esto conduce a un diagrama conmutativo de incrustación que dualiza el diagrama de Kimura precedente. ${\displaystyle x,y\in S}$ ${\displaystyle x\wedge y=y\wedge x}$ ${\displaystyle x\vee y=y\vee x}$ ${\displaystyle x\vee y\vee (x\wedge y)=(y\wedge x)\vee y\vee x}$ ${\displaystyle x\wedge y\wedge (x\vee y)=(y\vee x)\wedge y\wedge x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle T\subseteq S\rightarrow S/D}$ ${\displaystyle |S/D|\leq \aleph _{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/L}$ ${\displaystyle S/R}$ ${\displaystyle T[R]=\bigcup _{t\in T}R_{t}}$ ${\displaystyle T[L]=\bigcup _{t\in T}L_{t}}$ ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle Lt}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T[R]\subseteq S\rightarrow S/L}$ ${\displaystyle T[L]\subseteq S\rightarrow S/R}$

Redes oblicuas cancelativas

Una red oblicua es cancelativa si y implica y, del mismo modo, y implica . Las redes oblicuas cancelativas son simétricas y se puede demostrar que forman una variedad. A diferencia de las redes, no necesitan ser distributivas, y viceversa. ${\displaystyle x\vee y=x\vee z}$ ${\displaystyle x\wedge y=x\wedge z}$ ${\displaystyle y=z}$ ${\displaystyle x\vee z=y\vee z}$ ${\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}$ ${\displaystyle x=y}$

Redes oblicuas distributivas

Las redes sesgadas distributivas están determinadas por las identidades:

${\displaystyle x\wedge (y\vee z)\wedge x=(x\wedge y\wedge x)\vee (x\wedge z\wedge x)}$ (D1)

${\displaystyle x\vee (y\wedge z)\vee x=(x\vee y\vee x)\wedge (x\vee z\vee x).}$(D'1)

A diferencia de las redes, (D1) y (D'1) no son equivalentes en general para redes oblicuas, pero sí lo son para redes oblicuas simétricas. ^{[8] [11] [12]} La condición (D1) se puede reforzar a

${\displaystyle x\wedge (y\vee z)\wedge w=(x\wedge y\wedge w)\vee (x\wedge z\wedge w)}$(D2)

en cuyo caso (D'1) es una consecuencia. Una red oblicua satisface tanto (D2) como su dual, , si y solo si se factoriza como el producto de una red distributiva y una red oblicua rectangular. En este último caso (D2) puede reforzarse a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\vee (y\wedge z)\vee w=(x\vee y\vee w)\wedge (x\vee z\vee w)}$

${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$y . (D3) ${\displaystyle (y\vee z)\wedge w=(y\wedge w)\vee (z\wedge w)}$

Por sí solo, (D3) es equivalente a (D2) cuando se agrega simetría. ^[1] Por lo tanto, tenemos seis subvariedades de redes oblicuas determinadas respectivamente por (D1), (D2), (D3) y sus duales.

Redes oblicuas normales

Como se ve arriba, y satisfacen la identidad . Las bandas que satisfacen la identidad más fuerte, , se denominan normales. Una red oblicua es oblicua normal si satisface ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle xyxzx=xyzx}$ ${\displaystyle xyzx=xzyx}$

${\displaystyle x\wedge y\wedge z\wedge x=x\wedge z\wedge y\wedge x.(N)}$

Para cada elemento a en una red oblicua normal , el conjunto definido por { } o equivalentemente { } es una subred de , y a la inversa. (Por lo tanto, las redes oblicuas normales también se han llamado redes locales). Cuando tanto y son normales, se divide isomorfamente en un producto de una red y una red oblicua rectangular , y a la inversa. Por lo tanto, tanto las redes oblicuas normales como las redes oblicuas divididas forman variedades. Volviendo a la distribución, de modo que caracteriza la variedad de redes oblicuas normales distributivas, y (D3) caracteriza la variedad de redes oblicuas normales distributivas simétricas. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\wedge S\wedge a}$ ${\displaystyle a\wedge x\wedge a|x\in S}$ ${\displaystyle x\in S|x\leq a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\times D}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (D2)=(D1)+(N)}$ ${\displaystyle (D2)}$

Redes sesgadas categóricas

Un retículo oblicuo es categórico si los compuestos no vacíos de biyecciones de coconjuntos son biyecciones de coconjuntos. Los retículos oblicuos categóricos forman una variedad. Los retículos oblicuos en anillos y los retículos oblicuos normales son ejemplos de álgebras de esta variedad. ^[3] Sea con , y , la biyección de coconjuntos de a tomando a , la biyección de coconjuntos de a tomando a y finalmente la biyección de coconjuntos de a tomando a . Un retículo oblicuo es categórico si siempre se tiene la igualdad , es decir , si la biyección parcial compuesta si no está vacía es una biyección de coconjuntos de un -coconjunto de a un -coconjunto de . Es decir . Todos los retículos oblicuos distributivos son categóricos. Aunque los retículos oblicuos simétricos podrían no serlo. En cierto sentido, revelan la independencia entre las propiedades de simetría y distributividad. ^{[1] [3] [5] [8] [9] [10] [12] [13]} ${\displaystyle a>b>c}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\chi }$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A\wedge b\wedge A)\cap (C\vee b\vee C)=(C\vee a\vee C)\wedge b\wedge (C\vee a\vee C)=(A\wedge c\wedge A)\vee b\vee (A\wedge c\wedge A)}$

Álgebras booleanas sesgadas

Un elemento cero en una red oblicua S es un elemento 0 de S tal que para todo o, dualmente, (0) ${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle 0\wedge x=0=x\wedge 0}$ ${\displaystyle 0\vee x=x=x\vee 0.}$

Una red oblicua booleana es una red oblicua normal distributiva simétrica con 0, tal que es una red booleana para cada Dada dicha red oblicua S , un operador de diferencia \ se define por x \ y = donde este último se evalúa en la red booleana ^[1] En presencia de (D3) y (0), \ se caracteriza por las identidades: ${\displaystyle (S;\vee ,\wedge ,0),}$ ${\displaystyle a\wedge S\wedge a}$ ${\displaystyle a\in S.}$ ${\displaystyle x-x\wedge y\wedge x}$ ${\displaystyle x\wedge S\wedge x.}$

${\displaystyle y\wedge x\setminus y=0=x\setminus y\wedge y}$y (SB) ${\displaystyle (x\wedge y\wedge x)\vee x\setminus y=x=x\setminus y\vee (x\wedge y\wedge x).}$

De este modo, se tiene una variedad de álgebras booleanas sesgadas caracterizadas por identidades (D3), (0) y (SB). Una álgebra booleana sesgada primitiva consta de 0 y una única clase D distinta de 0. Por lo tanto, es el resultado de adjuntar un 0 a una red sesgada rectangular D mediante (0) con , si y en caso contrario. Toda álgebra booleana sesgada es un producto subdirecto de álgebras primitivas. Las álgebras booleanas sesgadas desempeñan un papel importante en el estudio de las variedades de discriminadores y otras generalizaciones en el álgebra universal del comportamiento booleano. ^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24]} ${\displaystyle (S;\vee ,\wedge ,\,0)}$ ${\displaystyle x\setminus y=x}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle 0}$

Rejillas oblicuas en anillos

Sea un anillo y sea el conjunto de todos los idempotentes en . Para todo conjunto y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle x\wedge y=xy}$ ${\displaystyle x\vee y=x+y-xy}$

Claramente pero también es asociativo . Si un subconjunto está cerrado bajo y , entonces es un retículo oblicuo distributivo, cancelatorio. Para encontrar tales retículos oblicuos en uno mira las bandas en , especialmente las que son máximas con respecto a alguna restricción. De hecho, cada banda multiplicativa en que es máxima con respecto a ser regular derecha (= ) también está cerrada bajo y por lo tanto forma un retículo oblicuo dextrógiro. En general, cada banda regular derecha en genera un retículo oblicuo dextrógiro en . Las observaciones duales también son válidas para las bandas regulares izquierdas (bandas que satisfacen la identidad ) en . Las bandas regulares máximas no necesitan estar cerradas bajo como se define; los contraejemplos se encuentran fácilmente usando bandas rectangulares multiplicativas. Estos casos están cerrados, sin embargo, bajo la variante cúbica de definida por ya que en estos casos se reduce a para dar la banda rectangular dual. Al reemplazar la condición de regularidad por normalidad , cada banda multiplicativa normal máxima en también está cerrada bajo con , donde , forma una red oblicua booleana. Cuando ella misma está cerrada bajo la multiplicación, entonces es una banda normal y por lo tanto forma una red oblicua booleana. De hecho, cualquier álgebra booleana oblicua puede ser incorporada a tal álgebra. ^[25] Cuando A tiene una identidad multiplicativa , es bien sabido que la condición de que esté multiplicativamente cerrada implica que forma un álgebra booleana. Las redes oblicuas en anillos continúan siendo una buena fuente de ejemplos y motivación. ^{[22] [26] [27] [28] [29]} ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle S\subseteq E(A)}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle (S,\wedge ,\vee )}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle ()}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle xyx=xy}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle x\nabla y=x+y+yx-xyx-yxy}$ ${\displaystyle x\nabla y}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle (xyzw=xzyw)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (S;\wedge ,\vee ,/,0)}$ ${\displaystyle x/y=x-xyx}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle E(A)}$

Redes oblicuas primitivas

Las redes oblicuas que constan de exactamente dos clases D se denominan redes oblicuas primitivas. Dado un retículo oblicuo de este tipo con clases en , entonces para cualquier y , los subconjuntos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A>B}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle A\wedge b\wedge A=}${ } y { } ${\displaystyle u\wedge b\wedge u:u\in A}$ ${\displaystyle \subseteq B}$ ${\displaystyle B\vee a\vee B=}$ ${\displaystyle v\vee a\vee v:v\in B}$ ${\displaystyle \subseteq A}$

se denominan, respectivamente, clases laterales de A en B y clases laterales de B en A . Estas clases laterales dividen B y A con y . Las clases laterales son siempre subálgebras rectangulares en sus clases . Además, el orden parcial induce una biyección de clases laterales definida por: ${\displaystyle b\in A\wedge b\wedge A}$ ${\displaystyle a\in B\wedge a\wedge B}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \varphi :B\vee a\vee B\rightarrow A\wedge b\wedge A}$

${\displaystyle \phi (x)=y}$ si y solo si , para y . ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x\in B\vee a\vee B}$ ${\displaystyle y\in A\wedge b\wedge A}$

En conjunto, las biyecciones de clases laterales describen entre los subconjuntos y . También determinan y para pares de elementos de clases distintas. De hecho, dados y , sea la biyección de costo entre las clases laterales en y en . Entonces: ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle B\vee a\vee B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\wedge b\wedge A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle a\vee b=a\vee \varphi -1(b),b\vee a=\varphi -1(b)\vee a}$ y . ${\displaystyle a\wedge b=\varphi (a)\wedge b,b\wedge a=b\wedge \varphi (a)}$

En general, dados y con y , entonces pertenecen a un -conjunto común en y pertenecen a un -conjunto común en si y solo si . Por lo tanto, cada biyección de clase lateral es, en cierto sentido, una colección máxima de pares mutuamente paralelos . ${\displaystyle a,c\in A}$ ${\displaystyle b,d\in B}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle c>d}$ ${\displaystyle a,c}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b,d}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a>b//c>d}$ ${\displaystyle a>b}$

Cada red oblicua primitiva se factoriza como el producto fibroso de sus imágenes primitivas máximas de mano izquierda y mano derecha . Las redes oblicuas primitivas de mano derecha se construyen de la siguiente manera. Sean y particiones de conjuntos no vacíos disjuntos y , donde todos y comparten un tamaño común. Para cada par, elija una biyección fija de sobre . Sobre y conjunto por separado y ; pero dado y , conjunto ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/R\times _{2}S/L}$ ${\displaystyle A=\cup _{i}A_{i}}$ ${\displaystyle B=\cup _{j}B_{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \varphi _{i},j}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\wedge y=y}$ ${\displaystyle x\vee y=x}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle a\vee b=a,b\vee a=a',a\wedge b=b}$y ${\displaystyle b\wedge a=b'}$

donde y con perteneciente a la celda de y perteneciente a la celda de . Las diversas son las biyecciones de clase lateral. Esto se ilustra en el siguiente diagrama parcial de Hasse donde y las flechas indican las salidas y de y . ${\displaystyle \varphi _{i,j}(a')=b}$ ${\displaystyle \varphi _{i,j}(a)=b'}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varphi i,j}$ ${\displaystyle |A_{i}|=|B_{j}|=2}$ ${\displaystyle \varphi _{i,j}}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Se construyen redes oblicuas primitivas zurdas de manera dual. Todas las redes oblicuas primitivas zurdas se pueden construir de esta manera. ^[1]

La estructura de clases laterales de redes oblicuas

Una red oblicua no rectangular está cubierta por sus redes oblicuas primitivas máximas: dadas clases comparables en , forma una subálgebra primitiva máxima de y cada clase en se encuentra en dicha subálgebra. Las estructuras de clases laterales en estas subálgebras primitivas se combinan para determinar los resultados y al menos cuando y son comparables bajo . Resulta que y están determinados en general por clases laterales y sus biyecciones, aunque de una manera ligeramente menos directa que el caso comparable. En particular, dadas dos clases D incomparables A y B con la clase D de unión J y la clase D de encuentro en , surgen conexiones interesantes entre las dos descomposiciones de clases laterales de J (o M) con respecto a A y B. ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A>B}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle x\wedge y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle x\wedge y}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S/D}$

Por lo tanto, una red oblicua puede verse como un atlas de clases laterales de redes oblicuas rectangulares colocadas en los vértices de una red y biyecciones de clases laterales entre ellas, estas últimas vistas como isomorfismos parciales entre las álgebras rectangulares con cada biyección de clase lateral determinando un par correspondiente de clases laterales. Esta perspectiva da, en esencia, el diagrama de Hasse de la red oblicua, que se dibuja fácilmente en casos de orden relativamente pequeño. (Véanse los diagramas en la Sección 3 anterior). Dada una cadena de D -clases en , uno tiene tres conjuntos de biyecciones de clases laterales: de A a B, de B a C y de A a C. En general, dadas biyecciones de clases laterales y , la composición de biyecciones parciales podría estar vacía. Si no lo está, entonces existe una biyección de clases laterales única tal que . (De nuevo, es una biyección entre un par de clases laterales en y ). Esta inclusión puede ser estricta. Siempre es una igualdad (dada ) en una red oblicua dada S precisamente cuando S es categórica. En este caso, al incluir las funciones identidad en cada D -clase rectangular y biyecciones vacías adyacentes entre D -clases adecuadamente comparables , se tiene una categoría de álgebras rectangulares y biyecciones de clases laterales entre ellas. Los ejemplos simples en la Sección 3 son categóricos. ${\displaystyle A>B>C}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \psi :B\rightarrow C}$ ${\displaystyle \psi \varphi }$ ${\displaystyle \chi :A\rightarrow C}$ ${\displaystyle \psi \varphi \subseteq \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi \varphi \neq \emptyset }$

Véase también

• Teoría de semigrupos
• Teoría de celosía

Referencias

1. Leech, J, Sesgar celosías en anillos, Algebra Universalis, 26 (1989), 48-72
2. Jordan, P. Uber Nichtkommutative Verbände, Arq. Matemáticas. 2 (1949), 56–59.
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4. Leech, J, Cuadrados mágicos, planos finitos y cuasirretículos simples, Ars Combinatoria 77(2005), 75-96.
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