Métodos de simetrización

Algoritmos matemáticos

En matemáticas, los métodos de simetrización son algoritmos para transformar un conjunto en una bola con el mismo volumen y centrada en el origen. B se denomina la versión simetrizada de A , generalmente denotada como . Estos algoritmos aparecen al resolver el problema clásico de desigualdad isoperimétrica , que pregunta: Dadas todas las formas bidimensionales de un área dada, ¿cuál de ellas tiene el perímetro mínimo (para más detalles, consulte Desigualdad isoperimétrica ). La respuesta conjeturada era el disco y Steiner en 1838 demostró que esto era cierto utilizando el método de simetrización de Steiner (descrito a continuación). De esto surgieron muchos otros problemas isoperimétricos y otros algoritmos de simetrización. Por ejemplo, la conjetura de Rayleigh es que el primer valor propio del problema de Dirichlet se minimiza para la bola (consulte la desigualdad de Rayleigh-Faber-Krahn para más detalles). Otro problema es que la capacidad newtoniana de un conjunto A se minimiza y esto fue demostrado por Polya y G. Szego (1951) usando simetrización circular (descrita a continuación). ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (A)}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}}$

Simetrización

Si es medible, entonces se denota por la versión simetrizada de ie una pelota tal que . Denotamos por el reordenamiento decreciente simétrico de la función medible no negativa f y la definimos como , donde es la versión simetrizada del conjunto de preimagen . Se ha demostrado que los métodos descritos a continuación transforman en ie dada una secuencia de transformaciones de simetrización hay , donde es la distancia de Hausdorff (para discusión y demostraciones, consulte Burchard (2009)) ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega ^{*}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{*}:=B_{r}(0)\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (\Omega ^{*})=\operatorname {vol} (\Omega )}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f^{*}(x):=\int _{0}^{\infty }1_{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)\,dt}$ ${\displaystyle \{y:f(y)>t\}^{*}}$ ${\displaystyle \{y:f(y)>t\}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{*}}$ ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ ${\displaystyle \lim \limits _{k\to \infty }d_{Ha}(\Omega ^{*},T_{k}(K))=0}$ ${\displaystyle d_{Ha}}$

Simetrización de Steiner

Simetrización de Steiner de conjuntos ${\displaystyle \Omega }$

La simetrización de Steiner fue introducida por Steiner (1838) para resolver el teorema isoperimétrico enunciado anteriormente. Sea un hiperplano que pasa por el origen. Rotamos el espacio de modo que sea el ( es la n -ésima coordenada en ) hiperplano. Para cada sea la línea perpendicular que pasa por . Luego, al reemplazar cada por una línea centrada en H y con longitud obtenemos la versión simetrizada de Steiner. ${\displaystyle H\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x_{n}=0}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle L_{x}=\{x+ye_{n}:y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \Omega \cap L_{x}}$ ${\displaystyle |\Omega \cap L_{x}|}$

${\displaystyle \operatorname {St} (\Omega ):=\{x+ye_{n}:x+ze_{n}\in \Omega {\text{ for some }}z{\text{ and }}|y|\leq {\frac {1}{2}}|\Omega \cap L_{x}|\}.}$

Se denota por la simetrización de Steiner con respecto al hiperplano de función medible no negativa y para fijo lo definimos como ${\displaystyle \operatorname {St} (f)}$ ${\displaystyle x_{n}=0}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1}}$

${\displaystyle St:f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},\cdot )\mapsto (f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},\cdot ))^{*}.}$

Propiedades

• Conserva la convexidad: si es convexo, entonces también es convexo. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle St(\Omega )}$
• Es lineal: . ${\displaystyle St(x+\lambda \Omega )=St(x)+\lambda St(\Omega )}$
• Superaditivo: . ${\displaystyle St(K)+St(U)\subset St(K+U)}$

Simetrización circular

Simetrización circular del conjunto ${\displaystyle \Omega }$

Un método popular para la simetrización en el plano es la simetrización circular de Polya. A continuación, se describirá su generalización a dimensiones superiores. Sea un dominio; entonces su simetrización circular con respecto al eje real positivo se define de la siguiente manera: Sea ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Circ} (\Omega )}$

${\displaystyle \Omega _{t}:=\{\theta \in [0,2\pi ]:te^{i\theta }\in \Omega \}}$

es decir, contienen los arcos de radio t contenidos en . Por lo tanto, se define ${\displaystyle \Omega }$

• Si es el círculo completo, entonces . ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle \operatorname {Circ} (\Omega )\cap \{|z|=t\}:=\{|z|=t\}}$
• Si la longitud es , entonces . ${\displaystyle m(\Omega _{t})=\alpha }$ ${\displaystyle \operatorname {Circ} (\Omega )\cap \{|z|=t\}:=\{te^{i\theta }:|\theta |<{\frac {\alpha }{2}}\}}$
• ${\displaystyle 0,\infty \in \operatorname {Circ} (\Omega )}$si y solo si . ${\displaystyle 0,\infty \in \Omega }$

En dimensiones superiores , su simetrización esférica respecto del eje positivo de se define de la siguiente manera: Sea ie el que contiene las tapas de radio r contenidas en . Además, para la primera coordenada sea if . Por lo tanto, como se indicó anteriormente ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Sp^{n}(\Omega )}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{r}:=\{x\in \mathbb {S} ^{n-1}:rx\in \Omega \}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \operatorname {angle} (x_{1}):=\theta }$ ${\displaystyle x_{1}=rcos\theta }$

• Si es la tapa completa, entonces . ${\displaystyle \Omega _{r}}$ ${\displaystyle Sp^{n}(\Omega )\cap \{|z|=r\}:=\{|z|=r\}}$
• Si el área de la superficie es , entonces y donde se elige de modo que su área de superficie sea . En palabras, es una tapa simétrica alrededor del eje positivo con la misma área que la intersección . ${\displaystyle m_{s}(\Omega _{t})=\alpha }$ ${\displaystyle Sp^{n}(\Omega )\cap \{|z|=r\}:=\{x:|x|=r}$ ${\displaystyle 0\leq \operatorname {angle} (x_{1})\leq \theta _{\alpha }\}=:C(\theta _{\alpha })}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }}$ ${\displaystyle m_{s}(C(\theta _{\alpha })=\alpha }$ ${\displaystyle C(\theta _{\alpha })}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \Omega \cap \{|z|=r\}}$
• ${\displaystyle 0,\infty \in Sp^{n}(\Omega )}$si y solo si . ${\displaystyle 0,\infty \in \Omega }$

Polarización

Polarización del conjunto ${\displaystyle \Omega }$

Sea un dominio y un hiperplano que pasa por el origen. Denotemos la reflexión a través de ese plano hacia el semiespacio positivo como o simplemente cuando sea claro a partir del contexto. Además, la reflejada a través del hiperplano H se define como . Entonces, la polarizada se denota como y se define de la siguiente manera ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{+}}$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \sigma \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{\sigma }}$

• Si , entonces . ${\displaystyle x\in \Omega \cap \mathbb {H} ^{+}}$ ${\displaystyle x\in \Omega ^{\sigma }}$
• Si , entonces . ${\displaystyle x\in \Omega \cap \sigma (\Omega )\cap \mathbb {H} ^{-}}$ ${\displaystyle x\in \Omega ^{\sigma }}$
• Si , entonces . ${\displaystyle x\in (\Omega \setminus \sigma (\Omega ))\cap \mathbb {H} ^{-}}$ ${\displaystyle \sigma x\in \Omega ^{\sigma }}$

En otras palabras, se refleja simplemente en el semiespacio . Resulta que esta transformación puede aproximarse a las anteriores (en la distancia de Hausdorff ) (véase Brock y Solynin (2000)). ${\displaystyle (\Omega \setminus \sigma (\Omega ))\cap \mathbb {H} ^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{+}}$

Referencias

• Burchard, Almut (2009). "Un breve curso sobre desigualdades de reordenamiento" (PDF) . Consultado el 1 de noviembre de 2015 .
• Brock, Friedemann; Solynin, Alexander (2000), "Un enfoque a la simetrización a través de la polarización.", Transactions of the American Mathematical Society , 352 (4): 1759–1796, doi : 10.1090/S0002-9947-99-02558-1 , MR  1695019
• Kojar, Tomas (2015). "Movimiento browniano y simetrización". arXiv : 1505.01868 [math.PR].
• Morgan, Frank (2009). "Symmetrization" . Consultado el 1 de noviembre de 2015 .