Teorema de Amitsur-Levitzki

States that the algebra of n by n matrices satisfies a certain identity of degree 2n

En álgebra , el teorema de Amitsur-Levitzki establece que el álgebra de matrices n  ×  n sobre un anillo conmutativo satisface una cierta identidad de grado 2 n . Así lo demostraron Amitsur y Levitsky ( 1950 )  . En particular, los anillos matriciales son anillos de identidad polinómica tales que la identidad más pequeña que satisfacen tiene un grado exactamente 2 n .

Declaración

El polinomio estándar de grado n es

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn}}(\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}}$

en variables no conmutantes x ₁ , ..., x _n , donde la suma se toma sobre todos los n ! elementos del grupo simétrico S _n .

El teorema de Amitsur-Levitzki establece que para n  ×  n matrices A ₁ , ..., A _{2 n} cuyas entradas se toman de un anillo conmutativo entonces

${\displaystyle S_{2n}(A_{1},\dots ,A_{2n})=0.}$

Pruebas

Amitsur y Levitzki (1950) dieron la primera prueba.

Kostant (1958) dedujo el teorema de Amitsur-Levitzki del teorema de Koszul-Samelson sobre la cohomología primitiva de las álgebras de Lie .

Swan (1963) y Swan (1969) dieron una prueba combinatoria simple como sigue. Por linealidad, es suficiente demostrar el teorema cuando cada matriz tiene solo una entrada distinta de cero, que es 1. En este caso, cada matriz se puede codificar como un borde dirigido de un gráfico con n vértices. Entonces, todas las matrices juntas dan una gráfica en n vértices con 2 n aristas dirigidas. La identidad se mantiene siempre que para dos vértices cualesquiera A y B del gráfico, el número de caminos eulerianos impares de A a B sea el mismo que el número de pares. (Aquí un camino se llama par o impar dependiendo de si sus aristas tomadas en orden dan una permutación par o impar de las 2 n aristas). Swan demostró que este era el caso siempre que el número de aristas en el gráfico fuera al menos 2 n. , demostrando así el teorema de Amitsur-Levitzki.

Razmyslov (1974) dio una demostración relacionada con el teorema de Cayley-Hamilton .

Rosset (1976) dio una breve prueba utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial de dimensión 2 n .

Procesi (2015) dio otra prueba, mostrando que el teorema de Amitsur-Levitzki es la identidad de Cayley-Hamilton para la matriz genérica de Grassman.

Referencias

• Amitsur, AS ; Levitzki, Jakob (1950), "Identidades mínimas para álgebras" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 1 (4): 449–463, doi : 10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9 , ISSN  0002- 9939, JSTOR  2032312, SEÑOR  0036751
• Amitsur, AS; Levitzki, Jakob (1951), "Observaciones sobre identidades mínimas para álgebras" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 2 (2): 320–327, doi : 10.2307/2032509 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2032509
• Formanek, E. (2001) [1994], "Teorema de Amitsur-Levitzki", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Formanek, Edward (1991), Las identidades polinómicas y las invariantes de matrices n × n , Serie de conferencias regionales sobre matemáticas, vol. 78, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-0730-7, Zbl  0714.16001
• Kostant, Bertram (1958), "Un teorema de Frobenius, un teorema de Amitsur-Levitski y la teoría de la cohomología", J. Math. Mec. , 7 (2): 237–264, doi : 10.1512/iumj.1958.7.07019 , SEÑOR  0092755
• Razmyslov, Ju. P. (1974), "Identidades con traza en álgebras matriciales completas sobre un campo de característica cero", Matemáticas de la URSS-Izvestiya , 8 (4): 727, doi :10.1070/IM1974v008n04ABEH002126, ISSN  0373-2436, MR  0506414
• Rosset, Shmuel (1976), "Una nueva prueba de la identidad Amitsur-Levitski", Israel Journal of Mathematics , 23 (2): 187–188, doi : 10.1007/BF02756797 , ISSN  0021-2172, MR  0401804, S2CID  121625182
• Swan, Richard G. (1963), "Una aplicación de la teoría de grafos al álgebra" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 14 (3): 367–373, doi : 10.2307/2033801 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2033801, señor  0149468
• Swan, Richard G. (1969), "Corrección de" Una aplicación de la teoría de grafos al álgebra "" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 21 (2): 379–380, doi :10.2307/2037008, ISSN  0002 -9939, JSTOR  2037008, SEÑOR  0255439
• Procesi, Claudio (2015), "Sobre el teorema de Amitsur—Levitzki", Israel Journal of Mathematics , 207 : 151–154, arXiv : 1308.2421 , Bibcode : 2013arXiv1308.2421P, doi : 10.1007/s11856-014-1118-8