En matemáticas, la conjetura de Sendov , a veces también llamada conjetura de Ilieff , se refiere a la relación entre las posiciones de las raíces y los puntos críticos de una función polinómica de variable compleja . Recibe su nombre en honor a Blagovest Sendov .
La conjetura establece que para un polinomio
con todas las raíces r 1 , ..., r n dentro del disco unitario cerrado | z | ≤ 1, cada una de las n raíces está a una distancia no mayor que 1 de al menos un punto crítico.
El teorema de Gauss-Lucas dice que todos los puntos críticos se encuentran dentro de la envoltura convexa de las raíces. De ello se deduce que los puntos críticos deben estar dentro del disco unitario, ya que las raíces lo están.
La conjetura ha sido demostrada para n < 9 por Brown-Xiang y para n suficientemente grande por Tao . [1] [2]
La conjetura fue propuesta por primera vez por Blagovest Sendov en 1959; él describió la conjetura a su colega Nikola Obreshkov . En 1967, Walter Hayman atribuyó erróneamente la conjetura [3] a Ljubomir Iliev . [4] En 1969, Meir y Sharma demostraron la conjetura para polinomios con n < 6. En 1991, Brown demostró la conjetura para n < 7. Borcea extendió la prueba a n < 8 en 1996. Brown y Xiang [5] demostraron la conjetura para n < 9 en 1999. Terence Tao demostró la conjetura para n suficientemente grande en 2020.
