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Subgrupo

En teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un subconjunto de un grupo G es un subgrupo de G si los miembros de ese subconjunto forman un grupo con respecto a la operación de grupo en G.

Formalmente, dado un grupo G bajo una operación binaria  ∗, un subconjunto H de G se denomina subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación ∗. Más precisamente, H es un subgrupo de G si la restricción de ∗ a H × H es una operación de grupo sobre H . Esto se denota a menudo como HG , que se lee como " H es un subgrupo de G ".

El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo { e } que consiste únicamente en el elemento identidad. [1]

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir, HG ). Esto se representa a menudo mediante notación por H < G , que se lee como " H es un subgrupo propio de G ". Algunos autores también excluyen al grupo trivial de ser propio (es decir, H ≠ { e }​ ). [2] [3]

Si H es un subgrupo de G , entonces a veces a G se le llama sobregrupo de H .

Las mismas definiciones se aplican de forma más general cuando G es un semigrupo arbitrario , pero este artículo solo tratará con subgrupos de grupos.

Pruebas de subgrupos

Supongamos que G es un grupo y H es un subconjunto de G. Por ahora, supongamos que la operación de grupo de G se escribe multiplicativamente, denotándose por yuxtaposición.

Si la operación de grupo se denota en cambio por adición, entonces cerrado bajo productos debe reemplazarse por cerrado bajo adición , que es la condición de que para cada a y b en H , la suma a + b está en H , y cerrado bajo inversas debe editarse para decir que para cada a en H , la inversa a está en H.

Propiedades básicas de los subgrupos

G es el grupo de los números enteros módulo 8 bajo la adición. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo a Hay cuatro clases laterales izquierdas de H : H mismo, 1 + H , 2 + H y 3 + H (escrito usando notación aditiva ya que este es un grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño, no superpuestos. El índice [ G  : H ] es 4.

Clases laterales y teorema de Lagrange

Dado un subgrupo H y algún a en G , definimos la clase lateral izquierda aH = { ah  : h en H }. Como a es invertible, la función φ : HaH dada por φ( h ) = ah es una biyección . Además, cada elemento de G está contenido en precisamente una clase lateral izquierda de H ; las clases laterales izquierdas son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia a 1 ~ a 2 si y solo si ⁠ ⁠ está en H . El número de clases laterales izquierdas de H se llama índice de H en G y se denota por [ G  : H ] .

El teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G y un subgrupo H ,

donde | G | y | H | denotan los órdenes de G y H , respectivamente. En particular, el orden de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G ) debe ser un divisor de | G | . [7] [8]

Las clases laterales derechas se definen de forma análoga: Ha = { ha  : h en H }. También son las clases de equivalencia para una relación de equivalencia adecuada y su número es igual a [ G  : H ] .

Si aH = Ha para cada a en G , entonces se dice que H es un subgrupo normal . Todo subgrupo de índice 2 es normal: las clases laterales izquierdas, y también las clases laterales derechas, son simplemente el subgrupo y su complemento. De manera más general, si p es el primo más pequeño que divide el orden de un grupo finito G , entonces cualquier subgrupo de índice p (si existe) es normal.

Ejemplo: Subgrupos de Z8

Sea G el grupo cíclico Z 8 cuyos elementos son

y cuya operación de grupo es la suma módulo 8. Su tabla de Cayley es

Este grupo tiene dos subgrupos no triviales: J = {0, 4} y H = {0, 4, 2, 6} , donde J es también un subgrupo de H . La tabla de Cayley para H es el cuadrante superior izquierdo de la tabla de Cayley para G ; La tabla de Cayley para J es el cuadrante superior izquierdo de la tabla de Cayley para H . El grupo G es cíclico , y también lo son sus subgrupos. En general, los subgrupos de los grupos cíclicos también son cíclicos. [9]

Ejemplo: Subgrupos de S4

S 4 es el grupo simétrico cuyos elementos corresponden a las permutaciones de 4 elementos.
A continuación se muestran todos sus subgrupos, ordenados por cardinalidad.
Cada grupo (excepto los de cardinalidad 1 y 2) está representado por su tabla de Cayley .

24 elementos

Como cada grupo, S 4 es un subgrupo de sí mismo.

12 elementos

El grupo alternante contiene únicamente las permutaciones pares .
Es uno de los dos subgrupos normales propios no triviales de S 4 . (El otro es su subgrupo de Klein).

Grupo alterno A 4

Subgrupos:

8 elementos

6 elementos

4 elementos

3 elementos

2 elementos

Cada permutación p de orden 2 genera un subgrupo {1, p }. Estas son las permutaciones que tienen solo 2 ciclos:

1 elemento

El subgrupo trivial es el único subgrupo de orden 1.

Otros ejemplos

Véase también

Notas

  1. ^ Gallian 2013, pág. 61.
  2. ^ Hungerford 1974, pág. 32.
  3. ^ Artin 2011, pág. 43.
  4. ^ ab Kurzweil y Stellmacher 1998, pág. 4.
  5. ^ Jacobson 2009, pág. 41.
  6. ^ Ceniza 2002.
  7. ^ Vea una prueba didáctica en este vídeo.
  8. ^ Dummit y Foote 2004, pág. 90.
  9. ^ Gallian 2013, pág. 81.

Referencias