Teorema del núcleo de Schwartz

Teorema

En matemáticas , el teorema del núcleo de Schwartz es un resultado fundacional de la teoría de funciones generalizadas , publicada por Laurent Schwartz en 1952. Afirma, en términos generales, que las funciones generalizadas introducidas por Schwartz ( distribuciones de Schwartz ) tienen una teoría de dos variables que incluye todas las formas bilineales razonables en el espacio de funciones de prueba . El espacio en sí consiste en funciones suaves de soporte compacto . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Enunciado del teorema

Sean y conjuntos abiertos en . Toda distribución define una función lineal continua tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$ ${\displaystyle K\colon {\mathcal {D}}(Y)\to {\mathcal {D}}'(X)}$

para cada . Por el contrario, para cada una de estas funciones lineales continuas existe una y sólo una distribución tal que ( 1 ) se cumple. La distribución es el núcleo de la función . ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(X),v\in {\mathcal {D}}(Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$

Nota

Dada una distribución siempre se puede escribir la función lineal K informalmente como ${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$

${\displaystyle Kv=\int _{Y}k(\cdot ,y)v(y)dy}$

de modo que

${\displaystyle \langle Kv,u\rangle =\int _{X}\int _{Y}k(x,y)v(y)u(x)dydx}$.

Núcleos integrales

Las funciones tradicionales de núcleo de dos variables de la teoría de operadores integrales se han ampliado en su alcance para incluir sus análogos de funciones generalizadas, a las que se les permite ser más singulares de una manera seria, y se puede construir una gran clase de operadores a partir de su espacio dual de distribuciones. El objetivo del teorema es afirmar que la clase extendida de operadores se puede caracterizar de manera abstracta, como si contuviera a todos los operadores sujetos a una condición de continuidad mínima. Una forma bilineal de surge al emparejar la distribución de imagen con una función de prueba. ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Un ejemplo simple es que la incrustación natural del espacio de funciones de prueba en (enviar cada función de prueba a la distribución correspondiente ) corresponde a la distribución delta. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [f]}$

${\displaystyle \delta (x-y)}$

concentrado en la diagonal del espacio euclidiano subrayado, en términos de la función delta de Dirac . Si bien esto es, como mucho, una observación, muestra cómo la teoría de la distribución aumenta el alcance. Los operadores integrales no son tan "singulares"; otra forma de decirlo es que para un núcleo continuo, solo se crean operadores compactos en un espacio como las funciones continuas en . El operador está lejos de ser compacto, y su núcleo se aproxima intuitivamente hablando por funciones en con un pico a lo largo de la diagonal y que se desvanece en el resto. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle x=y}$

Este resultado implica que la formación de distribuciones tiene una propiedad importante de 'clausura' dentro del dominio tradicional del análisis funcional . Fue interpretado (comentario de Jean Dieudonné ) como una fuerte verificación de la idoneidad de la teoría de distribuciones de Schwartz para el análisis matemático más ampliamente visto. En su Éléments d'analyse volumen 7, p. 3, señala que el teorema incluye operadores diferenciales en el mismo pie de igualdad que los operadores integrales, y concluye que es quizás el resultado moderno más importante del análisis funcional. Continúa inmediatamente para calificar esa afirmación, diciendo que el entorno es demasiado 'vasto' para los operadores diferenciales, debido a la propiedad de monotonía con respecto al soporte de una función , que es evidente para la diferenciación. Incluso la monotonía con respecto al soporte singular no es característica del caso general; su consideración conduce en la dirección de la teoría contemporánea de operadores pseudodiferenciales .

Colectores lisos

Dieudonné prueba una versión del resultado de Schwartz válida para variedades suaves , y resultados de apoyo adicionales, en las secciones 23.9 a 23.12 de ese libro .

Generalización a espacios nucleares

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en Grothendieck 1955. Tenemos la siguiente generalización del teorema.

Teorema del núcleo de Schwartz : ^[1] Supóngase que X es nuclear , Y es localmente convexo y v es una forma bilineal continua en . Entonces v se origina a partir de un espacio de la forma donde y son subconjuntos equicontinuos adecuados de y . De manera equivalente, v tiene la forma, ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$

${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle }$a pesar de ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

donde y cada uno de y son equicontinuos. Además, estas secuencias pueden tomarse como secuencias nulas (es decir, que convergen a 0) en y , respectivamente. ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in l^{1}}$ ${\displaystyle \{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \}}$ ${\displaystyle \{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \}}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$

Véase también

• Núcleo de Fredholm  : tipo de núcleo en un espacio de BanachPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial inyectivo
• Operador nuclear  – Operador lineal relacionado con los espacios vectoriales topológicos
• Espacio nuclear  : una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de Hilbert manipulado  : construcción que vincula el estudio de los valores propios "acotados" y continuos en el análisis funcional
• Clase Trace  : operador compacto para el cual se puede definir una traza finita

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, pág. 172.

Bibliografía

• Grothendieck, Alexander (1955). "Productos tensoriales topológicos y espacios nucleares". Memorias de la serie American Mathematical Society (en francés). 16 . Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1216-7. Sr.  0075539. OCLC  1315788.
• Hörmander, L. (1983). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I. Grundl. Matemáticas. Wissenschaft. vol. 256. Saltador. doi :10.1007/978-3-642-96750-4. ISBN 3-540-12104-8.Sr. 0717035  ..
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wong, Yau-Chuen (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6.OCLC 5126158  .

Enlaces externos

• GL Litvinov (2001) [1994], "Forma bilineal nuclear", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press