Teorema de Schur-Zassenhaus

Theorem in group theory

El teorema de Schur-Zassenhaus es un teorema de la teoría de grupos que establece que si es un grupo finito y es un subgrupo normal cuyo orden es coprimo al orden del grupo cociente , entonces es un producto semidirecto (o extensión dividida) de y . Un enunciado alternativo del teorema es que cualquier subgrupo Hall normal de un grupo finito tiene un complemento en . Además, si o tiene solución, entonces el teorema de Schur-Zassenhaus también establece que todos los complementos de in son conjugados . La suposición de que o tiene solución puede descartarse, ya que siempre se cumple, pero todas las pruebas conocidas de esto requieren el uso del teorema de Feit-Thompson, mucho más difícil . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

El teorema de Schur-Zassenhaus responde al menos parcialmente a la pregunta: "En una serie de composición , ¿cómo podemos clasificar grupos con un determinado conjunto de factores de composición?" La otra parte, que es donde los factores de composición no tienen órdenes coprimos, se aborda en la teoría de la extensión .

Historia

El teorema de Schur-Zassenhaus fue introducido por Zassenhaus  (1937, 1958, Capítulo IV, sección 7). El teorema 25, que atribuye a Issai Schur , demuestra la existencia de un complemento, y el teorema 27 demuestra que todos los complementos son conjugados bajo el supuesto de que o tiene solución. No es fácil encontrar una declaración explícita de la existencia de un complemento en los trabajos publicados de Schur, aunque los resultados de Schur (1904, 1907) sobre el multiplicador de Schur implican la existencia de un complemento en el caso especial en el que el subgrupo normal está en el centro. Zassenhaus señaló que el teorema de Schur-Zassenhaus para grupos no solubles se seguiría si todos los grupos de orden impar fueran solubles, lo que fue demostrado más tarde por Feit y Thompson. Ernst Witt demostró que también se derivaría de la conjetura de Schreier (ver Witt (1998, p.277) para una nota inédita de Witt de 1937 sobre esto), pero la conjetura de Schreier sólo se ha demostrado utilizando la clasificación de grupos finitos simples, lo cual está lejos de serlo. más difícil que el teorema de Feit-Thompson. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Ejemplos

Si no imponemos la condición coprima, el teorema no es cierto: consideremos, por ejemplo, el grupo cíclico y su subgrupo normal . Entonces si fuera un producto semidirecto de y entonces tendría que contener dos elementos de orden 2, pero solo contiene uno. Otra forma de explicar esta imposibilidad de escindir (es decir, expresarla como un producto semidirecto) es observar que los automorfismos de son el grupo trivial , por lo que el único producto [semi]directo posible de consigo mismo es un producto directo (que da lugar a el grupo de cuatro de Klein , un grupo que no es isomorfo con ). ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{4}/C_{2}\cong C_{2}}$ ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{4}}$

Un ejemplo donde se aplica el teorema de Schur-Zassenhaus es el grupo simétrico de 3 símbolos, que tiene un subgrupo normal de orden 3 (isomorfo con ) que a su vez tiene índice 2 en (de acuerdo con el teorema de Lagrange ), entonces . Dado que 2 y 3 son primos relativos, se aplica el teorema de Schur-Zassenhaus y . Tenga en cuenta que el grupo de automorfismo de is y el automorfismo de utilizado en el producto semidirecto que da lugar a es el automorfismo no trivial que permuta los dos elementos no identitarios de . Además, los tres subgrupos de orden 2 in (cualquiera de los cuales puede servir como complemento de in ) están conjugados entre sí. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}/C_{3}\cong C_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}\cong C_{3}\rtimes C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

La no trivialidad de la conclusión de conjugación (adicional) se puede ilustrar con el grupo de cuatro de Klein como no ejemplo. Cualquiera de los tres subgrupos propios de (todos los cuales tienen orden 2) es normal en ; Al fijar uno de estos subgrupos, cualquiera de los otros dos subgrupos restantes (propios) lo complementa en , pero ninguno de estos tres subgrupos de es conjugado de ningún otro, porque es abeliano . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

El grupo cuaternión tiene subgrupos normales de orden 4 y 2 pero no es un producto [semi]directo. Los artículos de Schur de principios del siglo XX introdujeron la noción de extensión central para abordar ejemplos como y los cuaterniones. ${\displaystyle C_{4}}$

Prueba

La existencia de un complemento a un subgrupo H de Hall normal de un grupo finito G se puede demostrar mediante los siguientes pasos:

1. Por inducción del orden de G , podemos suponer que es cierto para cualquier grupo más pequeño.
2. Si H es abeliano, entonces la existencia de un complemento se sigue del hecho de que el grupo de cohomología H ² ( G / H , H ) desaparece (ya que H y G / H tienen órdenes coprimos) y el hecho de que todos los complementos son conjugados se sigue de la desaparición de H ¹ ( G / H , H ).
3. Si H tiene solución, tiene un subgrupo abeliano A no trivial que es característico en H y, por lo tanto , normal en G. La aplicación del teorema de Schur-Zassenhaus a G / A reduce la prueba al caso en el que H = A es abeliano, como se hizo en el paso anterior.
4. Si el normalizador N = N _G ( P ) de cada subgrupo P de p -Sylow de H es igual a G , entonces H es nilpotente y, en particular, tiene solución, por lo que el teorema sigue el paso anterior.
5. Si el normalizador N = N _G ( P ) de algún subgrupo P de p -Sylow de H es menor que G , entonces por inducción el teorema de Schur-Zassenhaus es válido para N , y un complemento de N ∩ H en N es un complemento de H en G porque G = NH .

Referencias

• Rotman, José J. (1995). Introducción a la teoría de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 148 (Cuarta ed.). Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-0-387-94285-8. SEÑOR  1307623.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (Tercera ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7. SEÑOR  2286236.
• Gaschütz, Wolfgang (1952), "Zur Erweiterungstheorie der endlichen Gruppen" , J. Reine Angew. Matemáticas. , 1952 (190): 93–107, doi :10.1515/crll.1952.190.93, SEÑOR  0051226, S2CID  116597116
• Rosa, John S. (1978). Un curso de teoría de grupos . Cambridge-Nueva York-Melbourne: Cambridge University Press. ISBN 0-521-21409-2. SEÑOR  0498810.
• Isaacs, I. Martín (2008). Teoría de grupos finitos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 92. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/gsm/092. ISBN 978-0-8218-4344-4. SEÑOR  2426855.
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004). La teoría de los grupos finitos: una introducción . Texto universitario. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/b97433. ISBN 0-387-40510-0. SEÑOR  2014408.
• Humphreys, James E. (1996). Un curso de teoría de grupos . Publicaciones científicas de Oxford. Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN 0-19-853459-0. SEÑOR  1420410.
• Schur, Issai (1904). "Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 127 : 20–50.
• Schur, Issai (1907). "Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 132 : 85-137.
• Witt, Ernst (1998), Kersten, Ina (ed.), Artículos recopilados. Gesammelte Abhandlungen , Springer Collected Works in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN 978-3-540-57061-5, señor  1643949
• Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie . Hamburguesa Mathematische Einzelschriften. vol. 21. Leipzig y Berlín: Teubner.. Traducción al inglés: Zassenhaus, Hans J. (1958) [1949], La teoría de los grupos. (2ª ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Company, MR  0091275