Estimaciones de Schauder

Colección de resultados para ecuaciones diferenciales parciales

En matemáticas , y más precisamente, en análisis funcional y PDE , las estimaciones de Schauder son una colección de resultados debidos a Juliusz Schauder (1934, 1937) sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales  lineales y uniformemente elípticas . Las estimaciones dicen que cuando la ecuación tiene términos apropiadamente suaves y soluciones apropiadamente suaves, entonces la norma de Hölder de la solución se puede controlar en términos de las normas de Hölder para el coeficiente y los términos fuente. Dado que estas estimaciones suponen por hipótesis la existencia de una solución, se denominan estimaciones a priori .

Hay tanto un resultado interior , que da una condición de Hölder para la solución en dominios interiores alejados del límite, como un resultado en la frontera , que da la condición de Hölder para la solución en todo el dominio. El primer límite depende sólo de la dimensión espacial, la ecuación y la distancia al límite; esto último también depende de la suavidad del límite.

Las estimaciones de Schauder son una condición previa necesaria para utilizar el método de continuidad para demostrar la existencia y regularidad de soluciones al problema de Dirichlet para PDE elípticas. Este resultado dice que cuando los coeficientes de la ecuación y la naturaleza de las condiciones de contorno son suficientemente suaves, existe una solución clásica suave para la PDE.

Notación

Las estimaciones de Schauder se dan en términos de normas ponderadas de Hölder; la notación seguirá la dada en el texto de D. Gilbarg y Neil Trudinger  (1983).

La norma suprema de una función continua está dada por ${\displaystyle f\in C(\Omega )}$

${\displaystyle |f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|}$

Para una función que es Hölder continua con exponente , es decir , la seminorma habitual de Hölder viene dada por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f\in C^{0,\alpha }(\Omega )}$

${\displaystyle [f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

La suma de los dos es la norma completa de Hölder de f

${\displaystyle |f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Para funciones diferenciables u , es necesario considerar las normas de orden superior, que involucran derivadas. La norma en el espacio de funciones con k derivadas continuas, está dada por ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$

${\displaystyle |u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|}$

donde abarca todos los índices múltiples de órdenes apropiadas. Para funciones con derivadas de orden k que son continuas con exponente , la seminorma apropiada viene dada por ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle [u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

lo que da una norma completa de

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Para las estimaciones interiores, las normas están ponderadas por la distancia al límite.

${\displaystyle d_{x}=d(x,\partial \Omega )}$

elevado a la misma potencia que la derivada, y las seminormas están ponderadas por

${\displaystyle d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})}$

elevado al poder correspondiente. La norma interior ponderada resultante para una función está dada por

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

En ocasiones es necesario añadir potencias "extra" del peso, denotadas por

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Formulación

Las formulaciones de esta sección están tomadas del texto de D. Gilbarg y Neil Trudinger  (1983).

Estimaciones interiores

Considere una solución acotada en el dominio de la ecuación diferencial parcial elíptica de segundo orden ${\displaystyle u\in C^{2,\alpha }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}$

donde el término fuente satisface . Si existe una constante tal que sea estrictamente elíptica, ${\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle a_{i,j}}$

${\displaystyle \sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}}$para todos ${\displaystyle x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}}$

y los coeficientes de las normas relevantes están todos limitados por otra constante ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle |a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .}$

Entonces la norma ponderada de u está controlada por el supremo de u y la norma Holder de f : ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$

${\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).}$

Estimaciones de límites

Sea un dominio (es decir, alrededor de cualquier punto en el límite del dominio la hipersuperficie límite se puede realizar, después de una rotación apropiada de coordenadas, como una función), con datos de límite de Dirichlet que coinciden con una función que también es al menos . Luego, sujeto a condiciones análogas sobre los coeficientes como en el caso de la estimación interior, la norma Holder no ponderada de u está controlada por las normas no ponderadas del término fuente, los datos de frontera y la norma suprema de u : ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$ ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$

${\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).}$

Cuando la solución u satisface el principio del máximo , se puede eliminar el primer factor del lado derecho.

Fuentes

• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7
• Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (en alemán), vol. 38, núm. 1, Berlín, Alemania: Springer-Verlag, págs. 257–282, doi :10.1007/BF01170635, S2CID  120461752 Señor 1545448
• Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF) , Studia Mathematica (en alemán), vol. 5, Lwów, Polonia: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, págs. 34-42

Otras lecturas

• Courant, Ricardo ; Hilbert, David (1989), Métodos de física matemática , vol. 2 (1.ª edición en inglés), Nueva York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas , Nueva York: Instituto Courant de Ciencias Matemáticas , ISBN 0-9658703-0-8, OCLC  38168365 Señor 1669352