Teorema de Sard

Teorema en el análisis matemático

En matemáticas , el teorema de Sard , también conocido como lema de Sard o teorema de Morse-Sard , es un resultado del análisis matemático que afirma que el conjunto de valores críticos (es decir, la imagen del conjunto de puntos críticos ) de una función suave f de un espacio o variedad euclidiana a otra es un conjunto nulo , es decir, tiene medida de Lebesgue 0. Esto hace que el conjunto de valores críticos sea "pequeño" en el sentido de una propiedad genérica . El teorema lleva el nombre de Anthony Morse y Arthur Sard .

Declaración

Más explícitamente, ^[1] sea

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

sea ​​, (es decir, continuamente diferenciable por ), donde . Sea el conjunto crítico de que es el conjunto de puntos en los que la matriz jacobiana de tiene rango . Entonces la imagen tiene medida de Lebesgue 0 en . ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle <m}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Intuitivamente hablando, esto significa que, aunque puede ser grande, su imagen debe ser pequeña en el sentido de la medida de Lebesgue: aunque puede tener muchos puntos críticos en el dominio , debe tener pocos valores críticos en la imagen . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

De manera más general, el resultado también es válido para aplicaciones entre variedades diferenciables y de dimensiones y , respectivamente. El conjunto crítico de una función ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

consiste en aquellos puntos en los que el diferencial

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

tiene rango menor que como transformación lineal. Si , entonces el teorema de Sard afirma que la imagen de tiene medida cero como un subconjunto de . Esta formulación del resultado se sigue de la versión para espacios euclidianos tomando un conjunto numerable de parches de coordenadas. La conclusión del teorema es una afirmación local, ya que una unión numerable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, y la propiedad de un subconjunto de un parche de coordenadas que tiene medida cero es invariante bajo difeomorfismo . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

Variantes

Existen muchas variantes de este lema, que desempeña un papel fundamental en la teoría de la singularidad, entre otros campos. El caso fue demostrado por Anthony P. Morse en 1939 ^[2] y el caso general por Arthur Sard en 1942 ^[1]. ${\displaystyle m=1}$

Stephen Smale demostró una versión para variedades de Banach de dimensión infinita . ^[3]

La afirmación es bastante contundente y su demostración implica análisis. En topología se la cita a menudo (como en el teorema del punto fijo de Brouwer y algunas aplicaciones de la teoría de Morse ) para demostrar el corolario más débil de que “una función suave no constante tiene al menos un valor regular”.

En 1965, Sard generalizó aún más su teorema para afirmar que si es para y si es el conjunto de puntos tales que tiene rango estrictamente menor que , entonces la medida de Hausdorff r -dimensional de es cero. ^[4] En particular, la dimensión de Hausdorff de es como máximo r . Advertencia: La dimensión de Hausdorff de puede ser arbitrariamente cercana a r . ^[5] ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ ${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$ ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle df_{x}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(A_{r})}$ ${\displaystyle f(A_{r})}$ ${\displaystyle f(A_{r})}$

Véase también

• Propiedad genérica

Referencias

1. Sard, Arthur (1942), "La medida de los valores críticos de los mapas diferenciables", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 48 (12): 883–890, doi : 10.1090/S0002-9904-1942-07811-6 , MR  0007523, Zbl  0063.06720.
2. Morse, Anthony P. (enero de 1939), "El comportamiento de una función en su conjunto crítico", Annals of Mathematics , 40 (1): 62–70, Bibcode :1939AnMat..40...62M, doi :10.2307/1968544, JSTOR  1968544, MR  1503449.
3. Smale, Stephen (1965), "Una versión de dimensión infinita del teorema de Sard", American Journal of Mathematics , 87 (4): 861–866, doi :10.2307/2373250, JSTOR  2373250, MR  0185604, Zbl  0143.35301.
4. Sard, Arthur (1965), "Medida de Hausdorff de imágenes críticas en variedades de Banach", American Journal of Mathematics , 87 (1): 158–174, doi :10.2307/2373229, JSTOR  2373229, MR  0173748, Zbl  0137.42501y también Sard, Arthur (1965), "Fe de erratas de las medidas de Hausdorff de imágenes críticas en variedades de Banach ", American Journal of Mathematics , 87 (3): 158–174, doi :10.2307/2373229, JSTOR  2373074, MR  0180649, Zbl  0137.42501.
5. "Muestra que f(C) tiene dimensión de Hausdorff como máximo cero", Stack Exchange , 18 de julio de 2013

Lectura adicional

• Hirsch, Morris W. (1976), Topología diferencial , Nueva York: Springer, págs. 67–84, ISBN 0-387-90148-5.
• Sternberg, Shlomo (1964), Conferencias sobre geometría diferencial , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall , MR  0193578, Zbl  0129.13102.