Matemáticas inversas: pruebas desde adentro hacia afuera es un libro de John Stillwell sobre matemáticas inversas , el proceso de examinar pruebas en matemáticas para determinar qué axiomas son necesarios para la prueba. Fue publicado en 2018 por Princeton University Press . [1] [2] [3] [4] [5] [6]
El libro comienza con una revisión histórica de las largas luchas con el postulado de las paralelas en la geometría euclidiana , [3] y de la crisis fundacional de finales del siglo XIX y principios del XX, [6] Luego, después de revisar el material de fondo en análisis real y teoría de la computabilidad , [1] el libro se concentra en las matemáticas inversas de los teoremas en análisis real, [3] incluyendo el teorema de Bolzano-Weierstrass , el teorema de Heine-Borel , el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo , el teorema de Heine-Cantor sobre continuidad uniforme , [6] el teorema de Hahn-Banach y el teorema de mapeo de Riemann . [5] Estos teoremas se analizan con respecto a tres de los "cinco grandes" subsistemas de la aritmética de segundo orden , a saber, la comprensión aritmética, la comprensión recursiva y el lema débil de Kőnig. [1]
El libro está dirigido a un "público matemático general" [1], incluidos estudiantes de matemáticas de grado con una formación introductoria en análisis real. [2] Su objetivo es entusiasmar a los matemáticos, físicos y científicos informáticos sobre los problemas fundamentales de sus campos [6] y proporcionar una introducción accesible al tema. Sin embargo, no es un libro de texto; [3] [4] por ejemplo, no tiene ejercicios. Un tema del libro es que muchos teoremas en esta área requieren axiomas en aritmética de segundo orden que abarcan procesos infinitos y funciones no computables . [3]
Jeffry Hirst critica el libro, escribiendo que "si uno no es demasiado obsesivo con los detalles, Proofs from the Inside Out es una introducción interesante", al tiempo que encuentra detalles que preferiría que se trataran de manera diferente, en un tema para el cual los detalles son importantes. En particular, en esta área, hay múltiples opciones sobre cómo construir la aritmética en números reales a partir de tipos de datos más simples como los números naturales , y mientras Stillwell analiza tres de ellos ( números decimales , cortes de Dedekind e intervalos anidados), la conversión entre ellos en sí requiere suposiciones axiomáticas no triviales. [2]
Sin embargo, James Case dice que el libro es "muy legible", [6] y Roman Kossak lo llama "un ejemplo estelar de escritura expositiva sobre matemáticas". [5] Varios otros revisores coinciden en que este libro podría ser útil como una forma no técnica de crear interés en este tema en los matemáticos que aún no están familiarizados con él, y conducirlos a material más profundo en esta área. [1] [2] [3]
Como lectura adicional sobre matemáticas inversas en combinatoria , Hirst sugiere Slicing the Truth de Denis Hirschfeldt. [2] Otro libro sugerido por el crítico Reinhard Kahle es Subsystems of Second Order Arithmetic de Stephen G. Simpson . [1]