Retorcido

Modelo en dinámica de fluidos

Micronadador esférico en el flujo de Stokes

El squirmer es un modelo para un micronadador esférico que nada en el flujo de Stokes . El modelo del squirmer fue introducido por James Lighthill en 1952 y refinado y utilizado para modelar Paramecium por John Blake en 1971. ^{[1] [2]} Blake utilizó el modelo del squirmer para describir el flujo generado por una alfombra de filamentos cortos que golpean llamados cilios en la superficie de Paramecium. Hoy en día, el squirmer es un modelo estándar para el estudio de partículas autopropulsadas , como las partículas de Janus , en el flujo de Stokes. ^[3]

Campo de velocidad en el marco de partículas

Aquí damos el campo de flujo de un retorcido en el caso de un retorcido esférico axisimétrico no deformable (radio ). ^{[1] [2]} Estas expresiones se dan en un sistema de coordenadas esféricas . ${\displaystyle R}$

${\displaystyle u_{r}(r,\theta )={\frac {2}{3}}\left({\frac {R^{3}}{r^{3}}}-1\right)B_{1}P_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}-{\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}P_{n}(\cos \theta )\;,}$
${\displaystyle u_{\theta }(r,\theta )={\frac {2}{3}}\left({\frac {R^{3}}{2r^{3}}}+1\right)B_{1}V_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left(n{\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}+(2-n){\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}V_{n}(\cos \theta )\;.}$

Aquí hay coeficientes constantes, que son polinomios de Legendre y . Se encuentra . Las expresiones anteriores están en el marco de la partícula en movimiento. En la interfaz se encuentra y . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle V_{n}(\cos \theta )={\frac {-2}{n(n+1)}}\partial _{\theta }P_{n}(\cos \theta )}$
${\displaystyle P_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,P_{2}(\cos \theta )={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1),\dots ,V_{1}(\cos \theta )=\sin \theta ,V_{2}(\cos \theta )={\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta ,\dots }$
${\displaystyle u_{\theta }(R,\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}V_{n}}$ ${\displaystyle u_{r}(R,\theta )=0}$

Velocidad de natación y marco de laboratorio.

Utilizando el teorema recíproco de Lorentz , se obtiene el vector de velocidad de la partícula . El flujo en un marco de laboratorio fijo se obtiene mediante : ${\displaystyle \mathbf {U} =-{\tfrac {1}{2}}\int \mathbf {u} (R,\theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\tfrac {2}{3}}B_{1}\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{L}=\mathbf {u} +\mathbf {U} }$

${\displaystyle u_{r}^{L}(r,\theta )={\frac {R^{3}}{r^{3}}}UP_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}-{\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}P_{n}(\cos \theta )\;,}$
${\displaystyle u_{\theta }^{L}(r,\theta )={\frac {R^{3}}{2r^{3}}}UV_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left(n{\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}+(2-n){\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}V_{n}(\cos \theta )\;.}$

con velocidad de nado . Nótese que y . ${\displaystyle U=|\mathbf {U} |}$ ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }\mathbf {u} ^{L}=0}$ ${\displaystyle u_{r}^{L}(R,\theta )\neq 0}$

Estructura del parámetro de flujo y squirmer

Las series anteriores suelen truncarse en el estudio del flujo de campo lejano, . Dentro de esa aproximación, , con parámetro de squirmer . El primer modo caracteriza un dipolo de fuente hidrodinámico con decaimiento (y con ello la velocidad de nado ). El segundo modo corresponde a un dipolo de fuerza o estresante hidrodinámico con decaimiento . ^[4] Por lo tanto, da la relación de ambas contribuciones y la dirección del dipolo de fuerza. se utiliza para categorizar a los micronadadores en empujadores, tiradores y nadadores neutrales. ^[5] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle r\gg R}$ ${\displaystyle u_{\theta }(R,\theta )=B_{1}\sin \theta +{\tfrac {1}{2}}B_{2}\sin 2\theta }$ ${\displaystyle \beta =B_{2}/|B_{1}|}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \propto 1/r^{3}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \propto 1/r^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

Las figuras anteriores muestran el campo de velocidad en el marco de referencia del laboratorio y en el marco de referencia de partículas fijas. Los campos dipolares y cuadripolares hidrodinámicos del modelo Squirmer resultan de tensiones superficiales, debido al movimiento de los cilios en las bacterias, o reacciones químicas o desequilibrio térmico en las partículas Janus. El Squirmer no tiene fuerza. Por el contrario, el campo de velocidad de la partícula pasiva resulta de una fuerza externa, su campo lejano corresponde a un "stokeslet" o monopolo hidrodinámico. Una partícula pasiva sin fuerza no se mueve y no crea ningún campo de flujo.

Véase también

• Locomoción protista

Referencias

1. Lighthill, MJ (1952). "Sobre el movimiento de torsión de cuerpos deformables casi esféricos a través de líquidos con números de Reynolds muy pequeños". Communications on Pure and Applied Mathematics . 5 (2): 109–118. doi :10.1002/cpa.3160050201. ISSN  0010-3640.
2. Blake, JR (1971). "Un enfoque de envoltura esférica para la propulsión ciliar". Journal of Fluid Mechanics . 46 (1): 199–208. Bibcode :1971JFM....46..199B. doi :10.1017/S002211207100048X. ISSN  0022-1120. S2CID  122519123.
3. Bickel, Thomas; Majee, Arghya; Würger, Alois (2013). "Patrón de flujo en la vecindad de partículas Janus calientes autopropulsadas". Physical Review E . 88 (1): 012301. arXiv : 1401.7311 . Bibcode :2013PhRvE..88a2301B. doi :10.1103/PhysRevE.88.012301. ISSN  1539-3755. PMID  23944457. S2CID  36558271.
4. Happel, John; Brenner, Howard (1981). Hidrodinámica de bajo número de Reynolds . Mecánica de fluidos y procesos de transporte. Vol. 1. doi :10.1007/978-94-009-8352-6. ISBN 978-90-247-2877-0. ISSN  0921-3805.
5. Downton, Matthew T; Stark, Holger (2009). "Simulación de un modelo de micronadador". Journal of Physics: Condensed Matter . 21 (20): 204101. Bibcode :2009JPCM...21t4101D. doi :10.1088/0953-8984/21/20/204101. ISSN  0953-8984. PMID  21825510. S2CID  35850530.