Respuesta ante colisiones

Modelos y algoritmos para simular colisiones y reacciones

En el contexto de las simulaciones de mecánica clásica y los motores de física empleados en los videojuegos , la respuesta a colisiones se ocupa de modelos y algoritmos para simular los cambios en el movimiento de dos cuerpos sólidos después de una colisión y otras formas de contacto.

Contacto corporal rígido

Las fases de compresión y expansión de una colisión entre dos cuerpos sólidos

Dos cuerpos rígidos en movimiento sin restricciones, potencialmente bajo la acción de fuerzas, pueden modelarse resolviendo sus ecuaciones de movimiento mediante técnicas de integración numérica . En caso de colisión, las propiedades cinéticas de dos de esos cuerpos parecen sufrir un cambio instantáneo, que generalmente da como resultado que los cuerpos reboten uno contra el otro, se deslicen o se asienten en un contacto estático relativo, dependiendo de la elasticidad de los materiales y la configuración de la colisión.

Fuerzas de contacto

El origen del fenómeno de rebote, o reacción , se puede rastrear hasta el comportamiento de los cuerpos reales que, a diferencia de sus contrapartes idealizadas perfectamente rígidas, experimentan una compresión menor al colisionar, seguida de una expansión, antes de separarse. La fase de compresión convierte la energía cinética de los cuerpos en energía potencial y, en cierta medida, en calor. La fase de expansión convierte la energía potencial nuevamente en energía cinética.

Durante las fases de compresión y expansión de dos cuerpos en colisión, cada cuerpo genera fuerzas reactivas sobre el otro en los puntos de contacto, de modo que la suma de las fuerzas de reacción de un cuerpo es igual en magnitud pero de dirección opuesta a las fuerzas del otro, según el principio newtoniano de acción y reacción. Si se ignoran los efectos de la fricción, se considera que una colisión afecta solo al componente de las velocidades que se dirigen a lo largo de la normal de contacto y que no afecta a los componentes tangenciales.

Reacción

El grado de energía cinética relativa retenida después de una colisión, denominada restitución , depende de la elasticidad de los materiales de los cuerpos. El coeficiente de restitución entre dos materiales dados se modela como la relación entre la velocidad relativa posterior a la colisión de un punto de contacto a lo largo de la normal de contacto, con respecto a la velocidad relativa anterior a la colisión del mismo punto a lo largo de la misma normal. Estos coeficientes se determinan típicamente de forma empírica para diferentes pares de materiales, como madera contra hormigón o caucho contra madera. Los valores de cerca de cero indican colisiones inelásticas , como un trozo de arcilla blanda que golpea el suelo, mientras que los valores cercanos a uno representan colisiones altamente elásticas, como una pelota de goma que rebota en una pared. La pérdida de energía cinética es relativa a un cuerpo con respecto al otro. Por lo tanto, el momento total de ambos cuerpos con respecto a alguna referencia común no cambia después de la colisión, de acuerdo con el principio de conservación del momento . ${\displaystyle e\in [0..1]}$ ${\displaystyle e}$

Fricción

Fricción debido a imperfecciones de la microestructura de la superficie

Otro fenómeno de contacto importante es la fricción entre superficies, una fuerza que impide el movimiento relativo de dos superficies en contacto, o el de un cuerpo en un fluido. En esta sección analizamos la fricción entre superficies de dos cuerpos en contacto estático relativo o contacto deslizante. En el mundo real, la fricción se debe a la microestructura imperfecta de las superficies cuyas protuberancias se entrelazan entre sí, generando fuerzas reactivas tangenciales a las superficies.

Para superar la fricción entre dos cuerpos en contacto estático, las superficies deben separarse de alguna manera. Una vez en movimiento, el grado de afinidad entre las superficies se reduce y, por lo tanto, los cuerpos en movimiento deslizante tienden a ofrecer una menor resistencia al movimiento. Estas dos categorías de fricción se denominan respectivamente fricción estática y fricción dinámica .

Fuerza aplicada

Es una fuerza que se aplica a un objeto por otro objeto o por una persona. La dirección de la fuerza aplicada depende de cómo se aplica la fuerza.

Fuerza normal

Es la fuerza de apoyo que se ejerce sobre un objeto que está en contacto con otro objeto estable. La fuerza normal a veces se denomina fuerza de presión, ya que su acción presiona las superficies entre sí. La fuerza normal siempre se dirige hacia el objeto y actúa perpendicularmente a la fuerza aplicada.

Fuerza de fricción

Es la fuerza que ejerce una superficie cuando un objeto se mueve sobre ella o hace un esfuerzo para moverse sobre ella. La fuerza de fricción se opone al movimiento del objeto. La fricción se produce cuando dos superficies se presionan entre sí, lo que provoca fuerzas intermoleculares atractivas entre las moléculas de las dos superficies diferentes. Por tanto, la fricción depende de la naturaleza de las dos superficies y del grado en que se presionan entre sí. La fricción siempre actúa en paralelo a la superficie en contacto y en sentido opuesto a la dirección del movimiento. La fuerza de fricción se puede calcular mediante la ecuación.

Modelo de contacto basado en impulsos

Una fuerza , que depende del tiempo , que actúa sobre un cuerpo cuya masa se supone constante durante un intervalo de tiempo genera un cambio en el momento del cuerpo , donde es el cambio resultante en la velocidad. El cambio en el momento, denominado impulso y denotado por se calcula así: ${\displaystyle \mathbf {f} (t)\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lbrack t_{0},t_{1}\rbrack }$ ${\displaystyle \mathbf {p} (t)=m\mathbf {v} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {j} \in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {j} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {f} dt}$

Para un impulso fijo , la ecuación sugiere que , es decir, un intervalo de tiempo más pequeño debe compensarse con una fuerza de reacción más fuerte para lograr el mismo impulso. Al modelar una colisión entre cuerpos rígidos idealizados, no es práctico simular las fases de compresión y expansión de la geometría del cuerpo durante el intervalo de tiempo de colisión. Sin embargo, al suponer que se puede encontrar una fuerza que sea igual a en todas partes excepto en , y tal que el límite ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle t_{1}\rightarrow t_{0}\Rightarrow \left|\mathbf {f} \right|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle \lim _{t_{1}\rightarrow t_{0}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {f} dt}$

existe y es igual a , se puede introducir la noción de impulsos instantáneos para simular un cambio instantáneo en la velocidad después de una colisión. ${\displaystyle \mathbf {j} }$

Modelo de reacción basado en impulsos

La aplicación de impulsos en el punto de colisión.

El efecto de la fuerza de reacción durante el intervalo de colisión puede, por tanto, representarse mediante un impulso de reacción instantáneo , calculado como ${\displaystyle \mathbf {f} _{r}(t)\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}(t)\in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{r}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {f} _{r}dt}$

Por deducción del principio de acción y reacción, si el impulso de colisión aplicado por el primer cuerpo sobre el segundo cuerpo en un punto de contacto es , el impulso contrario aplicado por el segundo cuerpo sobre el primero es . La descomposición en la magnitud y dirección del impulso a lo largo de la normal de contacto y su negación permite la derivación de una fórmula para calcular el cambio en las velocidades lineales y angulares de los cuerpos resultantes de los impulsos de colisión. En las fórmulas subsiguientes, siempre se supone que apunta lejos del cuerpo 1 y hacia el cuerpo 2 en el punto de contacto. ${\displaystyle \mathbf {p} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}}$ ${\displaystyle -\mathbf {j} _{r}}$ ${\displaystyle \pm \mathbf {j} _{r}=\pm j_{r}\mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle j_{r}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle -\mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Suponiendo que se da la magnitud del impulso de colisión y utilizando las leyes de movimiento de Newton, la relación entre las velocidades pre y post lineales de los cuerpos es la siguiente ${\displaystyle j_{r}}$

donde, para el cuerpo n, es la velocidad lineal previa a la colisión, es la velocidad lineal posterior a la colisión. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v'} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$

Lo mismo ocurre con las velocidades angulares.

donde, para el cuerpo n, es la velocidad angular previa a la colisión, es la velocidad angular posterior a la colisión, es el tensor de inercia en el marco de referencia mundial, y está desplazado del punto de contacto compartido desde el centro de masa. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\omega }_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\omega '}_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{i}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Las velocidades de los cuerpos en el punto de contacto se pueden calcular en términos de las respectivas velocidades lineales y angulares, utilizando ${\displaystyle v_{p1},v_{p2}\in \mathbb {R} ^{3}}$

para . El coeficiente de restitución relaciona la velocidad relativa previa a la colisión del punto de contacto con la velocidad relativa posterior a la colisión a lo largo de la normal de contacto de la siguiente manera ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{r}=\mathbf {v} _{p2}-\mathbf {v} _{p1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v'} _{r}=\mathbf {v'} _{p2}-\mathbf {v'} _{p1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Sustituyendo las ecuaciones (1a), (1b), (2a), (2b) y (3) en la ecuación (4) y despejando la magnitud del impulso de reacción se obtiene ^[1] ${\displaystyle j_{r}}$

Cálculo de la reacción basada en impulsos

Así, el procedimiento para calcular las velocidades lineales y angulares posteriores a la colisión es el siguiente: ${\displaystyle \mathbf {v'} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\omega '} _{i}}$

1. Calcule la magnitud del impulso de reacción en términos de , , , , , , , y utilizando la ecuación (5) ${\displaystyle j_{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{r}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle e}$
2. Calcule el vector de impulso de reacción en términos de su magnitud y normal de contacto utilizando . ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}}$ ${\displaystyle j_{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}=j_{r}\mathbf {\hat {n}} }$
3. Calcular nuevas velocidades lineales en términos de las antiguas velocidades , masas y vector de impulso de reacción utilizando las ecuaciones (1a) y (1b) ${\displaystyle \mathbf {v'} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}}$
4. Calcular nuevas velocidades angulares en términos de antiguas velocidades angulares , tensores de inercia e impulso de reacción utilizando las ecuaciones (2a) y (2b) ${\displaystyle \mathbf {\omega '} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\omega } _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{i}}$ ${\displaystyle j_{r}}$

Modelo de fricción basado en impulsos

Modelo de fricción de Coulomb: cono de fricción

Uno de los modelos más populares para describir la fricción es el modelo de fricción de Coulomb . Este modelo define coeficientes de fricción estática y fricción dinámica tales que . Estos coeficientes describen los dos tipos de fuerzas de fricción en términos de las fuerzas de reacción que actúan sobre los cuerpos. Más específicamente, las magnitudes de fuerza de fricción estática y dinámica se calculan en términos de la magnitud de la fuerza de reacción de la siguiente manera ${\displaystyle {\mu }_{s}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mu }_{d}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mu }_{s}>{\mu }_{d}}$ ${\displaystyle f_{s},f_{d}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{r}=|\mathbf {f} _{r}|}$

El valor define una magnitud máxima para la fuerza de fricción necesaria para contrarrestar el componente tangencial de cualquier fuerza externa total aplicada sobre un cuerpo relativamente estático, de modo que permanezca estático. Por lo tanto, si la fuerza externa es lo suficientemente grande, la fricción estática no puede contrarrestar completamente esta fuerza, en cuyo punto el cuerpo gana velocidad y queda sujeto a una fricción dinámica de magnitud que actúa en contra de la velocidad de deslizamiento. ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{d}}$

El modelo de fricción de Coulomb define efectivamente un cono de fricción dentro del cual el componente tangencial de una fuerza ejercida por un cuerpo sobre la superficie de otro en contacto estático es contrarrestado por una fuerza igual y opuesta de modo que se mantiene la configuración estática. Por el contrario, si la fuerza cae fuera del cono, la fricción estática da paso a la fricción dinámica.

Dada la normal de contacto y la velocidad relativa del punto de contacto, se puede definir un vector tangente , ortogonal a , tal que ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

donde es la suma de todas las fuerzas externas sobre el cuerpo. La definición de múltiples casos de es necesaria para calcular de manera robusta la fuerza de fricción real tanto para los estados de contacto generales como particulares. De manera informal, el primer caso calcula el vector tangente a lo largo del componente de velocidad relativa perpendicular a la normal de contacto . Si este componente es cero, el segundo caso se deriva en términos del componente tangente de la fuerza externa . Si no hay velocidad tangencial ni fuerzas externas, entonces se supone que no hay fricción y se puede establecer en el vector cero. Por lo tanto, se calcula como ${\displaystyle \mathbf {f} _{e}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{e}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$

Las ecuaciones (6a), (6b), (7) y (8) describen el modelo de fricción de Coulomb en términos de fuerzas. Adaptando el argumento para los impulsos instantáneos, se puede derivar una versión basada en impulsos del modelo de fricción de Coulomb, relacionando un impulso de fricción , que actúa a lo largo de la tangente , con el impulso de reacción . Integrando (6a) y (6b) sobre el intervalo de tiempo de colisión se obtiene ${\displaystyle \mathbf {j} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [t_{0}..t_{1}]}$

donde es la magnitud del impulso de reacción que actúa a lo largo de la normal de contacto . De manera similar, al suponer que es constante durante todo el intervalo de tiempo, la integración de (8) da como resultado ${\displaystyle j_{r}=|\mathbf {j} _{r}|}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$

Las ecuaciones (5) y (10) definen un modelo de contacto basado en impulsos que es ideal para simulaciones basadas en impulsos. Al utilizar este modelo, se debe tener cuidado en la elección de y, ya que los valores más altos pueden introducir energía cinética adicional en el sistema. ${\displaystyle {\mu }_{s}}$ ${\displaystyle {\mu }_{d}}$

Véase también

• Detección de colisiones

Notas

1. Introducción al modelado basado en la física (David Baraff Robotics Institute Carnegie Mellon University)

Referencias

• C. Vella, "Gravitas: Un marco de motor de física extensible que utiliza principios de arquitectura de software orientados a objetos y basados ​​en patrones de diseño", Tesis de Maestría en Tecnología de la Información, Universidad de Malta, Msida, 2008.