circuito cuántico

Modelo de computación cuántica

Circuito que realiza la teletransportación de un qubit. ^[1] Este circuito consta tanto de puertas cuánticas como de medidas . La medición es un fenómeno cuántico que no ocurre en los circuitos clásicos .

En la teoría de la información cuántica , un circuito cuántico es un modelo para la computación cuántica , similar a los circuitos clásicos , en los que una computación es una secuencia de puertas cuánticas , mediciones , inicializaciones de qubits a valores conocidos y posiblemente otras acciones. El conjunto mínimo de acciones que un circuito necesita poder realizar sobre los qubits para permitir la computación cuántica se conoce como criterio de DiVincenzo .

Los circuitos están escritos de manera que el eje horizontal sea el tiempo, comenzando en el lado izquierdo y terminando en el derecho. Las líneas horizontales son qubits, las líneas duplicadas representan bits clásicos . Los elementos que están conectados por estas líneas son operaciones realizadas en los qubits, como mediciones o puertas. Estas líneas definen la secuencia de eventos y normalmente no son cables físicos. ^{[2] [3] [4]}

La representación gráfica de los elementos del circuito cuántico se describe utilizando una variante de la notación gráfica de Penrose . ^{[ cita necesaria ]} Richard Feynman utilizó una versión temprana de la notación de circuito cuántico en 1986. ^[5]

Puertas lógicas clásicas reversibles

La mayoría de las puertas lógicas elementales de una computadora clásica no son reversibles. Así, por ejemplo, para una puerta AND no siempre se pueden recuperar los dos bits de entrada del bit de salida; por ejemplo, si el bit de salida es 0, no podemos saber a partir de esto si los bits de entrada son 01, 10 o 00.

Sin embargo, las puertas reversibles de las computadoras clásicas se construyen fácilmente para cadenas de bits de cualquier longitud; además, en realidad son de interés práctico, ya que las puertas irreversibles siempre deben aumentar la entropía física . Una puerta reversible es una función reversible en datos de n bits que devuelve datos de n bits, donde un dato de n bits es una cadena de bits x ₁ , x ₂ , ..., x _n de longitud n . El conjunto de datos de n bits es el espacio {0,1} ⁿ , que consta de 2 ⁿ cadenas de 0 y 1.

Más precisamente: una puerta reversible de n bits es un mapeo biyectivo f del conjunto {0,1} ⁿ de datos de n bits sobre sí mismo. Un ejemplo de una puerta reversible f es un mapeo que aplica una permutación fija a sus entradas. Por razones de ingeniería práctica, normalmente se estudian puertas sólo para valores pequeños de n , por ejemplo, n =1, n =2 o n =3. Estas puertas se pueden describir fácilmente mediante tablas.

Puertas lógicas cuánticas

Las puertas lógicas cuánticas son transformaciones unitarias reversibles en al menos un qubit. Varios qubits en conjunto se denominan registros cuánticos . Para definir puertas cuánticas, primero debemos especificar el reemplazo cuántico de un dato de n bits. La versión cuantificada del espacio clásico de n bits {0,1} ⁿ es el espacio de Hilbert

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (n)}=\ell ^{2}(\{0,1\}^{n}).}$

Este es, por definición, el espacio de funciones de valores complejos en {0,1} ⁿ y, naturalmente, es un espacio de producto interno . significa que la función es una función integrable al cuadrado . También se puede considerar que este espacio consta de combinaciones lineales , o superposiciones , de cadenas de bits clásicas. Tenga en cuenta que H _{QB( n )} es un espacio vectorial sobre los números complejos de dimensión 2 ⁿ . Los elementos de este espacio vectorial son los posibles vectores de estado de n registros cuánticos de qubits . ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Usando la notación de Dirac ket , si x ₁ , x ₂ , ..., x _n es una cadena de bits clásica, entonces

${\displaystyle |x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle \quad }$

es un registro especial de n -qubit correspondiente a la función que asigna esta cadena de bits clásica a 1 y asigna todas las demás cadenas de bits a 0; Estos 2 ⁿ registros especiales de n -qubits se denominan estados básicos computacionales . Todos los registros de n -qubits son combinaciones lineales complejas de estos estados básicos computacionales.

Las puertas lógicas cuánticas, a diferencia de las puertas lógicas clásicas, siempre son reversibles. Se requiere un tipo especial de función reversible, a saber, una aplicación unitaria , es decir, una transformación lineal de un espacio de producto interno complejo que preserve el producto interno hermitiano . Una puerta cuántica de n -qubit (reversible) es un mapeo unitario U del espacio H _{QB( n )} de registros de n -qubit sobre sí mismo.

Normalmente, sólo nos interesan las puertas para valores pequeños de n .

Una puerta lógica clásica reversible de n bits da lugar a una puerta cuántica reversible de n bits de la siguiente manera: a cada puerta lógica reversible f de n bits corresponde una puerta cuántica W _f definida de la siguiente manera:

${\displaystyle W_{f}(|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle )=|f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\rangle .}$

Tenga en cuenta que W _f permuta los estados de base computacional.

De particular importancia es la puerta NOT controlada (también llamada puerta CNOT ) W _CNOT definida en 2 qubit cuantificados. Otros ejemplos de puertas de lógica cuántica derivadas de las clásicas son la puerta de Toffoli y la puerta de Fredkin .

Sin embargo, la estructura del espacio de Hilbert de los qubits permite muchas puertas cuánticas que no son inducidas por las clásicas. Por ejemplo, un cambio de fase relativo es una puerta de 1 qubit dada por la multiplicación por el operador de cambio de fase :

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}},}$

entonces

${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle \quad P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle .}$

Circuitos lógicos reversibles

Nuevamente, consideramos el primer cálculo clásico reversible . Conceptualmente, no hay diferencia entre un circuito reversible de n bits y una puerta lógica reversible de n bits: cualquiera de los dos es simplemente una función invertible en el espacio de datos de n bits. Sin embargo, como se mencionó en la sección anterior, por razones de ingeniería nos gustaría tener una pequeña cantidad de compuertas reversibles simples, que puedan ensamblarse para ensamblar cualquier circuito reversible.

Para explicar este proceso de ensamblaje, supongamos que tenemos una puerta f reversible de n bits y una puerta g reversible de m bits . Juntarlos significa producir un nuevo circuito conectando un conjunto de k salidas de f a algún conjunto de k entradas de g como se muestra en la siguiente figura. En esa figura, n =5, k =3 y m =7. El circuito resultante también es reversible y opera en n + m − k bits.

Nos referiremos a este esquema como un ensamblaje clásico (este concepto corresponde a una definición técnica del artículo pionero de Kitaev que se cita a continuación). Al componer estas máquinas reversibles, es importante asegurarse de que las máquinas intermedias también sean reversibles. Esta condición asegura que no se cree "basura" intermedia (el efecto físico neto sería aumentar la entropía, que es una de las motivaciones para realizar este ejercicio).

Tenga en cuenta que cada línea horizontal en la imagen de arriba representa 0 o 1, no estas probabilidades. Dado que los cálculos cuánticos son reversibles, en cada "paso" el número de líneas debe ser el mismo que el de líneas de entrada. Además, cada combinación de entrada debe asignarse a una única combinación en cada "paso". Esto significa que cada combinación intermedia en un circuito cuántico es una función biyectiva de la entrada. ^[6]

Ahora es posible demostrar que la puerta de Toffoli es una puerta universal. Esto significa que dado cualquier circuito h clásico reversible de n bits , podemos construir un conjunto clásico de puertas de Toffoli de la manera anterior para producir un circuito f de ( n + m ) bits tal que

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},\underbrace {0,\dots ,0} )=(y_{1},\ldots ,y_{n},\underbrace {0,\ldots ,0} )}$

donde hay m entradas puestas a cero apuntaladas y

${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})=h(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

Observe que el resultado siempre tiene una cadena de m ceros como bits auxiliares . Nunca se produce "basura", por lo que este cálculo, en un sentido físico, no genera entropía. Esta cuestión se analiza detenidamente en el artículo de Kitaev.

De manera más general, cualquier función f (biyectiva o no) puede simularse mediante un circuito de puertas de Toffoli. Obviamente, si el mapeo no logra ser inyectivo , en algún punto de la simulación (por ejemplo, como último paso) se debe producir algo de "basura".

Para los circuitos cuánticos se puede definir una composición similar de puertas qubit. Es decir, asociado a cualquier ensamblaje clásico como el anterior, podemos producir un circuito cuántico reversible cuando en lugar de f tenemos una puerta U de n -qubits y en lugar de g tenemos una puerta W de m -qubits . Vea la ilustración a continuación:

El hecho de que conectar puertas de esta manera dé lugar a un mapeo unitario en el espacio de qubits n + m − k es fácil de comprobar. En una computadora cuántica real, la conexión física entre las puertas es un desafío de ingeniería importante, ya que es uno de los lugares donde puede ocurrir la decoherencia .

También existen teoremas de universalidad para ciertos conjuntos de puertas conocidas; Tal teorema de universalidad existe, por ejemplo, para el par que consiste en la puerta de fase de un solo qubit U _{θ mencionada anteriormente (para un valor adecuado de θ), junto con la} puerta CNOT de 2 qubits W _CNOT . Sin embargo, el teorema de universalidad para el caso cuántico es algo más débil que el del caso clásico; sólo afirma que cualquier circuito reversible de n -qubit puede aproximarse arbitrariamente bien mediante circuitos ensamblados a partir de estas dos puertas elementales. Tenga en cuenta que hay innumerables puertas de fase de qubit único posibles, una para cada ángulo posible θ, por lo que no todas pueden representarse mediante un circuito finito construido a partir de { U _θ , W _CNOT }.

Cálculos cuánticos

Hasta ahora no hemos mostrado cómo se utilizan los circuitos cuánticos para realizar cálculos. Dado que muchos problemas numéricos importantes se reducen a calcular una transformación unitaria U en un espacio de dimensión finita (la célebre transformada discreta de Fourier es un excelente ejemplo) , se podría esperar que se pudiera diseñar algún circuito cuántico para llevar a cabo la transformación U. En principio, sólo es necesario preparar un estado ψ de n qubits como una superposición apropiada de estados base computacionales para la entrada y medir la salida U ψ. Desafortunadamente, hay dos problemas con esto:

• No se puede medir la fase de ψ en ningún estado de base computacional, por lo que no hay forma de leer la respuesta completa. Esto está en la naturaleza de la medición en la mecánica cuántica.
• No hay forma de preparar eficientemente el estado de entrada ψ.

Esto no impide que los circuitos cuánticos para la transformada discreta de Fourier se utilicen como pasos intermedios en otros circuitos cuánticos, pero el uso es más sutil. De hecho, los cálculos cuánticos son probabilísticos .

Ahora proporcionamos un modelo matemático de cómo los circuitos cuánticos pueden simular cálculos probabilísticos pero clásicos. Considere un circuito U de r -qubit con espacio de registro H _{QB( r )} . U es por tanto un mapa unitario

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (r)}\rightarrow H_{\operatorname {QB} (r)}.}$

Para asociar este circuito a un mapeo clásico en cadenas de bits, especificamos

• Un registro de entrada X = {0,1} ^m de m bits (clásicos).
• Un registro de salida Y = {0,1} ⁿ de n bits (clásicos).

El contenido x = x ₁ , ..., x _m del registro de entrada clásico se utiliza para inicializar el registro qubit de alguna manera. Idealmente, esto se haría con el estado base computacional

${\displaystyle |{\vec {x}},0\rangle =|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m},\underbrace {0,\dots ,0} \rangle ,}$

donde hay r - m entradas puestas a cero con refuerzo inferior. Sin embargo, esta inicialización perfecta es completamente irreal. Supongamos, por tanto, que la inicialización es un estado mixto dado por algún operador de densidad S que está cerca de la entrada idealizada en alguna métrica apropiada, por ejemplo

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |}\right)\leq \delta .}$

De manera similar, el espacio del registro de salida está relacionado con el registro del qubit, mediante un observable A con valor Y. Tenga en cuenta que los observables en mecánica cuántica generalmente se definen en términos de medidas valoradas por proyección en R ; si la variable resulta ser discreta, la medida valorada en proyección se reduce a una familia {E _λ } indexada en algún parámetro λ que abarca un conjunto contable. De manera similar, un observable con valor Y puede asociarse con una familia de proyecciones ortogonales por pares {E _y } indexadas por elementos de Y. tal que

${\displaystyle I=\sum _{y\in Y}\operatorname {E} _{y}.}$

Dado un estado mixto S , corresponde una medida de probabilidad en Y dada por

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{y}).}$

La función F : X → Y se calcula mediante un circuito U : H _{QB( r )} → H _{QB( r )} dentro de ε si y solo si para todas las cadenas de bits x de longitud m

${\displaystyle \left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle =\left\langle \operatorname {E} _{F(x)}U(|{\vec {x}},0\rangle ){\big |}U(|{\vec {x}},0\rangle )\right\rangle \geq 1-\epsilon .}$

Ahora

${\displaystyle \left|\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)-\left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle \right|\leq \operatorname {Tr} ({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |})\|U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U\|\leq \delta }$

de modo que

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)\geq 1-\epsilon -\delta .}$

Teorema . Si ε + δ < 1/2, entonces la distribución de probabilidad

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{y}U)}$

en Y se puede utilizar para determinar F ( x ) con una probabilidad de error arbitrariamente pequeña mediante muestreo mayoritario, para un tamaño de muestra suficientemente grande. Específicamente, tome k muestras independientes de la distribución de probabilidad Pr en Y y elija un valor en el que más de la mitad de las muestras estén de acuerdo. La probabilidad de que el valor F ( x ) se muestree más de k /2 veces es al menos

${\displaystyle 1-e^{-2\gamma ^{2}k},}$

donde γ = 1/2 - ε - δ.

Esto se sigue aplicando el límite de Chernoff .

Ver también

• Notación de índice abstracto
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• Complejidad del circuito y BQP.
• El estado del producto Matrix utiliza la notación gráfica de Penrose
• Registro cuántico
• Girar redes
• Diagrama de seguimiento

Referencias

1. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 26-28. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC  43641333.
2. Colin P. Williams (2011). Exploraciones en Computación Cuántica . Saltador . págs. 123-200. ISBN 978-1-84628-887-6.
3. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 171-215. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC  43641333.
4. Ömer, Bernhard (20 de enero de 2000). Programación cuántica en QCL (PDF) (Tesis). Instituto de Física Teórica, Universidad Tecnológica de Viena. págs. 37–38 . Consultado el 12 de octubre de 2021 .
5. Feynman, Richard P. (1986). "Computadoras mecánicas cuánticas". Fundamentos de la Física . Springer Science y Business Media LLC. 16 (6): 507–531. Código bibliográfico : 1986FoPh...16..507F. doi :10.1007/bf01886518. ISSN  0015-9018. S2CID  122076550.
6. "Introducción al modelo de circuito cuántico" (PDF) .

• Biham, Elí ; Brassard, Gilles ; Kenigsberg, Dan; Mor, Tal (2004), "Computación cuántica sin entrelazamiento", Ciencias de la Computación Teórica , 320 (1): 15–33, arXiv : quant-ph/0306182 , doi :10.1016/j.tcs.2004.03.041, MR  2060181, S2CID  295103.
• Freedman, Michael H .; Kitaev, Alexei ; Larsen, Michael J .; Wang, Zhenghan (2003), "Computación cuántica topológica", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 40 (1): 31–38, arXiv : quant-ph/0101025 , doi :10.1090/S0273-0979-02-00964-3 , señor  1943131.
• Hirvensalo, Mika (2001), Computación cuántica , Serie de Computación Natural, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-66783-0, SEÑOR  1931238.
• Kitaev, A. Yu. (1997), "Cálculos cuánticos: algoritmos y corrección de errores", Uspekhi Mat. Nauk (en ruso), 52 (6(318)): 53–112, Bibcode :1997RuMaS..52.1191K, doi :10.1070/RM1997v052n06ABEH002155, MR  1611329, S2CID  250816585.
• Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000), Computación cuántica e información cuántica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-63235-8, señor  1796805.

enlaces externos

• Q-circuit es un paquete macro para dibujar diagramas de circuitos cuánticos en LaTeX.
• Quantum Circuit Simulator (Davy Wybiral), un simulador y editor de diagramas de circuitos cuánticos basado en navegador.
• Quantum Computing Playground, un entorno de secuencias de comandos cuánticas basado en navegador.
• Quirk - Quantum Circuit Toy, un simulador y editor de diagramas de circuitos cuánticos basado en navegador.