Estado del producto de la matriz

Notación gráfica de Penrose (notación de diagrama tensor) de un estado de producto matricial de cinco partículas.

Un estado de producto matricial ( MPS ) es un estado cuántico de muchas partículas (en N sitios), escrito de la siguiente forma:

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} \left[A_{1}^{(s_{1})}A_{2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}\right]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle ,}$

donde son matrices cuadradas complejas de orden (esta dimensión se llama dimensión local). Los índices abarcan los estados en la base computacional. Para los qubits , lo es . Para qudits (sistemas de nivel d), es . ${\displaystyle A_{i}^{(s_{i})}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1,\ldots ,d-1\}}$

Es particularmente útil para tratar con estados fundamentales de modelos de espín cuánticos unidimensionales (por ejemplo, el modelo de Heisenberg (cuántico) ). El parámetro está relacionado con el entrelazamiento entre partículas. En particular, si el estado es un estado de producto (es decir, no está enredado en absoluto), puede describirse como un estado de producto matricial con . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi =1}$

Para estados que son traslacionalmente simétricos, podemos elegir:

${\displaystyle A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.}$

En general, cada estado se puede escribir en forma MPS ( creciendo exponencialmente con el número de partículas N ). Sin embargo, los MPS son prácticos cuando son pequeños; por ejemplo, no dependen del número de partículas. Excepto en un pequeño número de casos específicos (algunos mencionados en la sección Ejemplos), tal cosa no es posible, aunque en muchos casos sirve como una buena aproximación. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

La descomposición MPS no es única. Para introducciones ver ^[1] y. ^[2] En el contexto de los autómatas finitos, ver. ^[3] Para ver el énfasis en el razonamiento gráfico de las redes tensoriales, consulte la introducción. ^[4]

Obtención de MPS

Un método para obtener una representación MPS de un estado cuántico es utilizar la descomposición de Schmidt N − 1 veces. Alternativamente, si se conoce el circuito cuántico que prepara los estados de muchos cuerpos, primero se podría intentar obtener una representación del operador del producto matricial del circuito. Los tensores locales en el operador del producto matricial serán cuatro tensores de índice. El tensor MPS local se obtiene contrayendo un índice físico del tensor MPO local con el estado que se inyecta en el circuito cuántico en ese sitio.

Ejemplos

Estado de Greenberger-Horne-Zeilinger

Estado de Greenberger-Horne-Zeilinger , que para N partículas se puede escribir como superposición de N ceros y N unos

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}}}}$

se puede expresar como un estado del producto de la matriz, hasta la normalización, con

${\displaystyle A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1)}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

o de manera equivalente, utilizando la notación de: ^[3]

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.}$

Esta notación utiliza matrices con entradas que son vectores de estado (en lugar de números complejos) y, al multiplicar matrices , utiliza el producto tensorial para sus entradas (en lugar del producto de dos números complejos). Dicha matriz se construye como

${\displaystyle A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.}$

Tenga en cuenta que el producto tensorial no es conmutativo .

En este ejemplo particular, un producto de dos matrices A es:

${\displaystyle AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.}$

estado W

Estado W , es decir, la superposición de todos los estados base computacional de peso uno de Hamming.

${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )}$

Aunque el estado es simétrico en términos de permutación, su representación MPS más simple no lo es. ^[1] Por ejemplo:

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\|0\rangle &|1\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{2}={\begin{bmatrix}|0\rangle &|1\rangle \\0&|0\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{3}={\begin{bmatrix}|1\rangle &0\\0&|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

modelo AKLT

La función de onda del estado fundamental de AKLT, que es el ejemplo histórico del enfoque MPS: ^[5] corresponde a la elección ^[6]

${\displaystyle A^{+}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2/3}}\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{0}={\frac {-1}{\sqrt {3}}}\ \sigma ^{z}={\begin{bmatrix}-1/{\sqrt {3}}&0\\0&1/{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\sqrt {2/3}}&0\end{bmatrix}}}$

donde son matrices de Pauli , o ${\displaystyle \sigma {\text{'s}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}-|0\rangle &{\sqrt {2}}|+\rangle \\-{\sqrt {2}}|-\rangle &|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

Modelo Majumdar-Ghosh

El estado fundamental de Majumdar-Ghosh se puede escribir como MPS con

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&\left|\uparrow \right\rangle &\left|\downarrow \right\rangle \\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left|\downarrow \right\rangle &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|\uparrow \right\rangle &0&0\end{bmatrix}}.}$

Ver también

• Grupo de renormalización de matriz de densidad.
• Método variacional (mecánica cuántica)
• Renormalización
• cadena de markov
• Red tensorial

Referencias

1. Pérez-García, D .; Verstraete, F.; Lobo, MM (2008). "Representaciones del estado del producto matricial". Inf. cuántica. Computación . 7 : 401. arXiv : quant-ph/0608197 .
2. Verstraete, F.; Murg, V.; Cirac, JI (2008). "Estados de productos de matrices, estados de pares entrelazados proyectados y métodos de grupos de renormalización variacional para sistemas de espín cuántico". Avances en Física . 57 (2): 143–224. arXiv : 0907.2796 . Código Bib : 2008AdPhy..57..143V. doi :10.1080/14789940801912366. S2CID  17208624.
3. Crosswhite, Gregory; Tocino, Dave (2008). "Autómatas finitos para almacenamiento en caché en algoritmos de productos matriciales". Revisión física A. 78 (1): 012356. arXiv : 0708.1221 . Código bibliográfico : 2008PhRvA..78a2356C. doi : 10.1103/PhysRevA.78.012356. S2CID  4879564.
4. Biamonte, Jacob; Bergholm, Ville (2017). "Redes tensoriales en pocas palabras". arXiv : 1708.00006 [cuántico-ph].
5. Affleck, Ian; Kennedy, Tom; Lieb, Elliott H.; Tasaki, Hal (1987). "Resultados rigurosos sobre los estados fundamentales de los enlaces de valencia en antiferromagnetos". Cartas de revisión física . 59 (7): 799–802. Código bibliográfico : 1987PhRvL..59..799A. doi :10.1103/PhysRevLett.59.799. PMID  10035874.
6. Schollwöck, Ulrich (2011). "El grupo de renormalización de matriz de densidad en la era de los estados de productos matriciales". Anales de Física . 326 (1): 96-192. arXiv : 1008.3477 . Código Bib : 2011AnPhy.326...96S. doi : 10.1016/j.aop.2010.09.012. S2CID  118735367.

enlaces externos

• Artículo de revisión de código abierto centrado en algoritmos, aplicaciones y software de redes tensoriales
• Estado de los estados del producto Matrix – Respuestas Aquí
• Una introducción práctica a las redes tensoriales: estados de productos matriciales y estados de pares entrelazados proyectados
• Danza interpretativa y agitación de manos: un curso introductorio a las redes tensoriales
• Redes tensoriales en pocas palabras: una introducción a las redes tensoriales