La regla de Ruffini

Método de cálculo de la división de polinomios

En matemáticas , la regla de Ruffini es un método para calcular la división euclidiana de un polinomio por un binomio de la forma x – r . Fue descrita por Paolo Ruffini en 1809. ^[1] La regla es un caso especial de división sintética en el que el divisor es un factor lineal.

Algoritmo

La regla establece un método para dividir el polinomio:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

por el binomio:

${\displaystyle Q(x)=x-r}$

Para obtener el polinomio cociente:

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}.}$

El algoritmo es de hecho la división larga de P ( x ) por Q ( x ).

Para dividir P ( x ) por Q ( x ):

1. Tome los coeficientes de P ( x ) y escríbalos en orden. Luego, escriba r en el borde inferior izquierdo, justo sobre la línea:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$

2. Pase el coeficiente más a la izquierda ( a _n ) hacia abajo, justo debajo de la línea.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

3. Multiplica el número más a la derecha debajo de la línea por r y escríbelo sobre la línea y una posición a la derecha.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

4. Agregue los dos valores recién colocados en la misma columna.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}$

5. Repita los pasos 3 y 4 hasta que no queden números.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante ( R ( x )), cuyo grado es uno menor que el de P ( x ). El valor final obtenido, s , es el resto. El teorema del resto del polinomio afirma que el resto es igual a P ( r ), el valor del polinomio en r .

Ejemplo

A continuación se muestra un ejemplo de división de polinomios como se describe arriba.

Dejar:

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$

${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$

P ( x ) se dividirá por Q ( x ) utilizando la regla de Ruffini. El problema principal es que Q ( x ) no es un binomio de la forma x − r , sino x + r . Q ( x ) debe reescribirse como

${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).\,\!}$

Ahora se aplica el algoritmo:

1. Escriba los coeficientes y r . Tenga en cuenta que, como P ( x ) no contenía un coeficiente para x , se escribe 0:

    | 2 3 0 | -4 | |  -1 | |  ----|--------------------|------- | |  | | 

2. Pase el primer coeficiente hacia abajo:

    | 2 3 0 | -4 | |  -1 | |  ----|--------------------|------- | 2 |  | | 

3. Multiplica el último valor obtenido por r :

    | 2 3 0 | -4 | |  -1 | -2 |  ----|--------------------|------- | 2 |  | | 

4. Añade los valores:

    | 2 3 0 | -4 | | -1 | -2 | ----|--------------------|------- | 2 1 | | | 

5. Repita los pasos 3 y 4 hasta terminar:

    | 2 3 0 | -4 | | -1 | -2 -1 | 1 ----|---------------------- | 2 1 -1 | -3 |{coeficientes de resultado}|{resto}

Entonces, si el número original = divisor × cociente + resto , entonces

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$, dónde

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$y ${\displaystyle s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3\!}$

Aplicación a la factorización de polinomios

La regla de Ruffini se puede utilizar cuando se necesita el cociente de un polinomio P por un binomio de la forma (cuando solo se necesita el resto, el teorema del resto polinomial proporciona un método más simple). ${\displaystyle x-r.}$

Un ejemplo típico, donde se necesita el cociente, es la factorización de un polinomio para el que se conoce una raíz r : ${\displaystyle p(x)}$

El resto de la división euclidiana de por r es 0 , y, si el cociente es , la división euclidiana se escribe como ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x),}$

${\displaystyle p(x)=q(x)\,(x-r).}$

Esto da una factorización (posiblemente parcial) que se puede calcular con la regla de Ruffini. Luego, se puede factorizar aún más mediante la factorización ${\displaystyle p(x),}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x).}$

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado positivo tiene al menos una raíz compleja . El proceso anterior demuestra que el teorema fundamental del álgebra implica que todo polinomio p ( x ) = a _n x ⁿ + a _{n −1} x ^{n −1} + ⋯ + a ₁ x + a ₀ se puede factorizar como

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

¿Dónde están los números complejos? ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

Historia

El método fue inventado por Paolo Ruffini , quien participó en un concurso organizado por la Sociedad Científica Italiana (de los Cuarenta). El desafío era idear un método para encontrar las raíces de cualquier polinomio. Se recibieron cinco propuestas. En 1804, Ruffini obtuvo el primer lugar y su método fue publicado. Más tarde publicó mejoras de su trabajo en 1807 y nuevamente en 1813.

Véase también

• El método de Lill , haciendo la división gráficamente
• El método de Horner

Referencias

1. Cajori, Florian (1911). "El método de aproximación de Horner anticipado por Ruffini" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 17 (8): 389–444. doi : 10.1090/s0002-9904-1911-02072-9 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Regla de Ruffini". MathWorld .
• Medios relacionados con el gobierno de Ruffini en Wikimedia Commons