Teoría de Regge

Estudio de las propiedades analíticas de las amplitudes de dispersión.

En física cuántica , la teoría de Regge ( / ˈrɛdʒeɪ / REJ -ay , italiano: [ ˈrɛddʒe] ) es el estudio de las propiedades analíticas de la dispersión en función del momento angular , donde el momento angular no está restringido a ser un múltiplo entero de ħ sino que se le permite tomar cualquier valor complejo . La teoría no relativista fue desarrollada por Tullio Regge en 1959. ^[1]

Detalles

Gráfico de Chew-Frautschi que muestra trayectorias lineales de Regge.

El ejemplo más simple de polos de Regge lo proporciona el tratamiento mecánico cuántico del potencial de Coulomb o, dicho de otra manera, el tratamiento mecánico cuántico de la unión o dispersión de un electrón de masa y carga eléctrica de un protón de masa y carga . La energía de la unión del electrón al protón es negativa, mientras que para la dispersión la energía es positiva. La fórmula para la energía de enlace es la expresión ${\displaystyle V(r)=-e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}r)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle +e}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle E\rightarrow E_{N}=-{\frac {2m'\pi ^{2}e^{4}}{h^{2}N^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}=-{\frac {13.6\,\mathrm {eV} }{N^{2}}},\;\;\;m^{'}={\frac {mM}{M+m}},}$

donde , es la constante de Planck, y es la permitividad del vacío. El número cuántico principal se encuentra en mecánica cuántica (mediante la solución de la ecuación radial de Schrödinger ) dado por , donde es el número cuántico radial y el número cuántico del momento angular orbital. Resolviendo la ecuación anterior para , se obtiene la ecuación ${\displaystyle N=1,2,3,...}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=n+l+1}$ ${\displaystyle n=0,1,2,...}$ ${\displaystyle l=0,1,2,3,...}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle l\rightarrow l(E)=-n+g(E),\;\;g(E)=-1+i{\frac {\pi e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}h}}(2m'/E)^{1/2}.}$

Considerada como una función compleja de esta expresión, describe en el plano complejo una trayectoria que se denomina trayectoria de Regge . Por lo tanto, en esta consideración, el momento orbital puede asumir valores complejos. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle l}$

Se pueden obtener trayectorias de Regge para muchos otros potenciales, en particular también para el potencial de Yukawa . ^{[2] [3] [4]}

Las trayectorias de Regge aparecen como polos de la amplitud de dispersión o en la matriz relacionada. En el caso del potencial de Coulomb considerado anteriormente, esta matriz está dada por la siguiente expresión, que se puede comprobar consultando cualquier libro de texto sobre mecánica cuántica: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\frac {\Gamma (l-g(E))}{\Gamma (l+g(E))}}e^{-i\pi l},}$

donde es la función gamma , una generalización de factorial . Esta función gamma es una función meromórfica de su argumento con polos simples en . Por lo tanto, la expresión para (la función gamma en el numerador) posee polos precisamente en aquellos puntos que se dan en la expresión anterior para las trayectorias de Regge; de ​​ahí el nombre de polos de Regge. ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle (x-1)!}$ ${\displaystyle x=-n,n=0,1,2,...}$ ${\displaystyle S}$

Historia e implicaciones

El resultado principal de la teoría es que la amplitud de dispersión para la dispersión potencial crece en función del coseno del ángulo de dispersión como una potencia que cambia a medida que cambia la energía de dispersión: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle A(z)\propto z^{l(E^{2})}}$

donde es el valor no entero del momento angular de un posible estado ligado con energía . Se determina resolviendo la ecuación radial de Schrödinger e interpola suavemente la energía de las funciones de onda con diferente momento angular pero con el mismo número de excitación radial. La función de trayectoria es una función de para la generalización relativista. La expresión se conoce como la función de trayectoria de Regge, y cuando es un entero, las partículas forman un estado ligado real con este momento angular. La forma asintótica se aplica cuando es mucho mayor que uno, lo que no es un límite físico en la dispersión no relativista. ${\displaystyle l(E^{2})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s=E^{2}}$ ${\displaystyle l(s)}$ ${\displaystyle z}$

Poco después, Stanley Mandelstam observó que en relatividad el límite puramente formal de lo grande está cerca de un límite físico: el límite de lo grande . Grande significa que hay mucha energía en el canal cruzado, donde una de las partículas entrantes tiene un momento energético que la convierte en una antipartícula energética saliente. Esta observación convirtió la teoría de Regge de una curiosidad matemática en una teoría física: exige que la función que determina la tasa de caída de la amplitud de dispersión para la dispersión partícula-partícula a grandes energías sea la misma que la función que determina las energías de estado ligado para un sistema partícula-antipartícula como una función del momento angular. ^[5] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

El cambio requirió intercambiar la variable de Mandelstam , que es el cuadrado de la energía, por , que es la transferencia de momento al cuadrado, que para colisiones elásticas suaves de partículas idénticas es s por uno menos el coseno del ángulo de dispersión. La relación en el canal cruzado se convierte en ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle A(z)\propto s^{l(t)}}$

que dice que la amplitud tiene una caída de ley de potencia diferente como función de la energía en diferentes ángulos correspondientes, donde los ángulos correspondientes son aquellos con el mismo valor de . Predice que la función que determina la ley de potencia es la misma función que interpola las energías donde aparecen las resonancias. El rango de ángulos donde la dispersión puede ser descrita productivamente por la teoría de Regge se reduce a un cono estrecho alrededor de la línea de haz a grandes energías. ${\displaystyle t}$

En 1960, Geoffrey Chew y Steven Frautschi conjeturaron, a partir de datos limitados, que las partículas que interactuaban fuertemente tenían una dependencia muy simple de la masa al cuadrado del momento angular: las partículas se dividen en familias en las que las funciones de trayectoria de Regge eran líneas rectas: con la misma constante para todas las trayectorias. Más tarde se entendió que las trayectorias de Regge en línea recta surgían de puntos finales sin masa en cuerdas relativistas rotatorias. Dado que una descripción de Regge implicaba que las partículas eran estados ligados, Chew y Frautschi concluyeron que ninguna de las partículas que interactuaban fuertemente era elemental. ${\displaystyle l(s)=ks}$ ${\displaystyle k}$

Experimentalmente, el comportamiento de dispersión cerca del haz disminuyó con el ángulo como lo explica la teoría de Regge, lo que llevó a muchos a aceptar que las partículas en las interacciones fuertes eran compuestas. Gran parte de la dispersión fue difractiva , lo que significa que las partículas casi no se dispersan, permaneciendo cerca de la línea del haz después de la colisión. Vladimir Gribov señaló que el límite de Froissart combinado con el supuesto de máxima dispersión posible implicaba que había una trayectoria de Regge que conduciría a secciones transversales logarítmicamente crecientes, una trayectoria conocida actualmente como el pomeron . Continuó formulando una teoría de perturbación cuantitativa para la dispersión cerca de la línea del haz dominada por el intercambio de múltiples pomeron.

A partir de la observación fundamental de que los hadrones son compuestos, surgieron dos puntos de vista. Algunos defendían correctamente que existían partículas elementales, hoy llamadas quarks y gluones, que constituían una teoría cuántica de campos en la que los hadrones eran estados ligados. Otros también creían correctamente que era posible formular una teoría sin partículas elementales, en la que todas las partículas fueran estados ligados que se encontraran en trayectorias de Regge y se dispersaran de forma autoconsistente. Esto se denominó teoría de la matriz S.

El enfoque de matriz S más exitoso se centró en la aproximación de resonancia estrecha, la idea de que existe una expansión consistente a partir de partículas estables en trayectorias de Regge en línea recta. Después de muchos comienzos en falso, Richard Dolen, David Horn y Christoph Schmid entendieron una propiedad crucial que llevó a Gabriele Veneziano a formular una amplitud de dispersión autoconsistente, la primera teoría de cuerdas . Mandelstam notó que el límite donde las trayectorias de Regge son rectas es también el límite donde la vida útil de los estados es larga.

Como teoría fundamental de interacciones fuertes a altas energías, la teoría de Regge gozó de un período de interés en la década de 1960, pero fue reemplazada en gran medida por la cromodinámica cuántica . Como teoría fenomenológica, sigue siendo una herramienta indispensable para comprender la dispersión en las proximidades de las líneas de luz y la dispersión a energías muy altas. La investigación moderna se centra tanto en la conexión con la teoría de perturbaciones como con la teoría de cuerdas.

Véase también

Problema sin resolver en física :

¿Cómo surge la teoría de Regge a partir de la cromodinámica cuántica a largas distancias?

(más problemas sin resolver en física)

• Plasma de quarks y gluones
• Modo cuasiconnormal
• Modelo de resonancia dual
• Pomerón

Referencias

1. Regge, T. (1959). "Introducción a los momentos orbitales complejos". Il Nuovo Cimento . 14 (5). Springer Science and Business Media LLC: 951–976. Bibcode :1959NCim...14..951R. doi :10.1007/bf02728177. ISSN  0029-6341. S2CID  8151034.
2. Harald JW Müller-Kirsten: Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª ed., World Scientific (2012), págs. 395-414
3. Müller, Harald JW (1965). "Regge-Pole in der nichtrelativistischen Potentialstreuung". Annalen der Physik (en alemán). 470 (7–8). Wiley: 395–411. Código bibliográfico : 1965AnP...470..395M. doi : 10.1002/andp.19654700708. ISSN  0003-3804.
4. Müller, HJW; Schilcher, K. (1968). "Dispersión de alta energía para potenciales de Yukawa". Revista de física matemática . 9 (2). AIP Publishing: 255–259. doi :10.1063/1.1664576. ISSN  0022-2488.
5. Gribov, V. (2003). La teoría del momento angular complejo . Cambridge University Press. Bibcode :2003tcam.book.....G. ISBN 978-0-521-81834-6.

Lectura adicional

• Collins, PDB (1977). Introducción a la teoría de Regge y la física de altas energías . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-21245-8.
• Eden, RJ (1971). "Polos de Regge y partículas elementales". Rep. Prog. Phys . 34 (3): 995–1053. Bibcode :1971RPPh...34..995E. doi :10.1088/0034-4885/34/3/304. S2CID  54093447.
• Irving, AC; Worden, RP (1977). "Fenomenología de Regge". Phys. Rep . 34 (3): 117–231. Código Bibliográfico :1977PhR....34..117I. doi :10.1016/0370-1573(77)90010-2.
• Logan, Robert K. (1965). "Análisis de polos Regge individuales de dispersión π ⁻ p cex". Phys. Rev. Lett . 14 (11): 414–416. Código Bibliográfico :1965PhRvL..14..414L. doi :10.1103/physrevlett.14.414.

Enlaces externos

• Jenkovszky; Martínov; Paccanoni (1996). "Modelo de polo Regge para fotoproducción de mesones vectoriales en HERA". arXiv : hep-ph/9608384 .
• Kaidalov (2001). "Polos de Regge en QCD". En la frontera de la física de partículas . págs. 603–636. arXiv : hep-ph/0103011 . Bibcode :2001afpp.book..603K. doi :10.1142/9789812810458_0018. ISBN 978-981-02-4445-3.S2CID119488011  .​
• Martynov; Predazzi; Prokudin (2002). "Un modelo universal de polos de Regge para la fotoproducción exclusiva de mesones vectoriales por fotones reales y virtuales". The European Physical Journal C (manuscrito enviado). 26 (2): 271–284. arXiv : hep-ph/0112242 . Bibcode :2002EPJC...26..271M. doi :10.1140/epjc/s2002-01058-5. S2CID  15726077.
• Oleg Andreev; Warren Siegel (2004). "Tensión cuantificada: amplitudes de cuerdas con polos de Regge y comportamiento de partones". Physical Review D . 71 (8): 086001. arXiv : hep-th/0410131 . Bibcode :2005PhRvD..71h6001A. doi :10.1103/PhysRevD.71.086001. S2CID  13960304.
• Bigazzi; Cotrone; Martucci; Pando Zayas (2004). "Bucle de Wilson, trayectoria de Regge y masas de hadrones en una teoría de Yang-Mills a partir de cuerdas semiclásicas". Physical Review D . 71 (6): 066002. arXiv : hep-th/0409205 . Código Bibliográfico :2005PhRvD..71f6002B. doi :10.1103/PhysRevD.71.066002. S2CID  6142141.