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Red de Klumpenhouwer

Segmento de 7 notas del ciclo de intervalos C7

En música , una red de Klumpenhouwer es "cualquier red que utiliza operaciones T y/o I ( transposición o inversión ) para interpretar interrelaciones entre pcs" ( conjuntos de clases de tono ). [1] Según George Perle , "una red de Klumpenhouwer es un acorde analizado en términos de sus sumas y diferencias diádicas ", y "este tipo de análisis de combinaciones triádicas estaba implícito en" su "concepto de conjunto cíclico desde el principio", [2] siendo los conjuntos cíclicos aquellos " conjuntos cuyos elementos alternos despliegan ciclos complementarios de un solo intervalo ". [3] Recibe su nombre del teórico musical canadiense Henry Klumpenhouwer , un exalumno de doctorado de David Lewin .

Descripción general

Conjunto cíclico (suma 9) de la Suite Lírica de Berg

"La idea de Klumpenhouwer, a la vez simple y profunda en sus implicaciones, es permitir relaciones invertidas, así como transposicionales, en redes como las de la Figura 1", [1] mostrando una flecha hacia abajo de B a F ♯ etiquetada T 7 , hacia abajo de F ♯ a A etiquetada T 3 , y de regreso hacia arriba de A a B, etiquetada T 10 que permite ser representada por la Figura 2a, por ejemplo, etiquetada I 5 , I 3 y T 2 . [1] En la Figura 4 esto es (b) I 7 , I 5 , T 2 y (c) I 5 , I 3 , T 2 .

Acorde 1. Relaciones K-netas, inversionales y transposicionales, representadas mediante flechas, letras y números.
Acorde 2. Relaciones K-netas inversionales y transposicionales representadas mediante flechas, letras y números.
Acorde 3. Este acorde con el acorde 1 proporciona un ejemplo de la regla n.° 1 mediante un isomorfismo de red. [6]

Lewin afirma el " potencial recursivo del análisis de redes K" [4] ... "'en gran generalidad: cuando un sistema se modula mediante una operación A, la transformación f ' = A f A -inversa juega el papel estructural en el sistema modulado que f jugaba en el sistema original". [5]

Dada cualquier red de clases de tono y dada cualquier operación pc A, se puede derivar una segunda red de la primera y la relación derivada de esta, 'isomorfismo de red', "surge entre redes que usan configuraciones análogas de nodos y flechas para interpretar conjuntos pc que son de la misma clase de conjunto [6] - 'isomorfismo de grafos'. Dos grafos son isomorfos cuando comparten la misma estructura de nodos y flechas, y cuando también las operaciones que etiquetan las flechas correspondientes se corresponden bajo un tipo particular de mapeo f entre T/I". [7]

"Para generar grafos isomorfos, la función f debe ser lo que se llama un automorfismo del sistema T/I. Las redes que tienen grafos isomorfos se denominan isográficas ". [7]

Para ser isográficas , dos redes deben tener estas características:

  1. Deben tener la misma configuración de nodos y flechas.
  2. Debe haber algún isomorfismo F que mapee el sistema de transformación usado para etiquetar las flechas de una red, en el sistema de transformación usado para etiquetar las flechas de la otra.
  3. Si la transformación X etiqueta una flecha de una red, entonces la transformación F(X) etiqueta la flecha correspondiente de la otra.

"Dos redes son positivamente isográficas cuando comparten la misma configuración de nodos y flechas, cuando los números T de las flechas correspondientes son iguales y cuando los números I de las flechas correspondientes difieren en algún número fijo j mod 12." [7] "Llamamos a las redes que contienen gráficos idénticos 'fuertemente isográficas'". [8] "Llamemos a la familia de transposiciones e inversiones en clases de tono 'el grupo T/I'". [9]

"Cualquier red puede ser retrógrada invirtiendo todas las flechas y ajustando las transformaciones en consecuencia". [7]

Conjetura [verdadera] de Klumpenhouwer: "los nodos (a) y (b), que comparten la misma configuración de flechas, siempre serán isográficos si cada número T de la Red (b) es el mismo que el número T correspondiente de la Red (a), mientras que cada número I de la Red (b) es exactamente j mayor que el número I correspondiente de la Red (a), donde j es un número constante módulo 12" . [6]

Cinco reglas para la isografía de redes de Klumpenhouwer:

  1. Las redes de Klumpenhouwer (a) y (b), que comparten la misma configuración de nodos y flechas, serán isográficas bajo la circunstancia de que cada número T de la red (b) es el mismo que el número T correspondiente de la red (a), y cada número I de la red (b) es exactamente j mayor que el número I correspondiente de la red (a). El automorfismo pertinente del grupo T/I es F(1,j): F(1,j)(T n )=T n ; F(1,j)(I n ) = I n+J .
  2. Las redes de Klumpenhouwer (a) y (b), serán isográficas bajo la circunstancia de que cada número T de la red (b) es el complemento del número T correspondiente en la red (a), y cada número I de la red (b) es exactamente j mayor que el complemento del número I correspondiente en la red (a)...F(11,j): F(11,j)(T n )=T −n ; F(11,j)(I n )=I −n+j ."
  3. Las redes de Klumpenhouwer (a) y (b) serán isográficas bajo la circunstancia de que cada número T de la red (b) es 5 veces el número T correspondiente en la red (a), y cada número I de la red (b) es exactamente j más de 5 veces el número I correspondiente en la red (a)...F(5,j): F(5,j)(T n )=T 5n ; F(5,j)(I n )=I 5n+j . [7]
  4. Las redes de Klumpenhouwer (a) y (b) serán isográficas bajo la circunstancia de que cada número T de la red (b) es 7 veces el número T correspondiente en la red (a), y cada número I de la red (b) es exactamente j más de 7 veces el número I correspondiente en la red (a)...F(7,j): F(7,j)(T n )=T 7n ; F(7,j)(I n )=I 7n+j .
  5. "Las redes de Klumpenhouwer (a) y (b), incluso si comparten la misma configuración de nodos y flechas, no serán isográficas bajo ninguna otra circunstancia". [7]

"Cualquiera de las redes triádicas de Klupmenhouwer puede entenderse así como un segmento de un conjunto cíclico, y las interpretaciones de éstas y de las 'redes de redes'... pueden representarse de manera eficiente y económica de esta manera". [2]

Si los gráficos de las cuerdas son isomorfos mediante las operaciones F(u,j) apropiadas, entonces pueden graficarse como su propia red. [10]

Gráfica de gráficas de los seis acordes de Pierrot lunaire de Schoenberg , núm. 4, cc. 13-14. [10]

Otros términos incluyen Red Transformacional de Lewin [11] y fuertemente isomorfa . [12]

Véase también

Referencias

  1. ^ abc Lewin, David (1990). "Redes de Klumpenhouwer y algunas isografías que las involucran". Music Theory Spectrum . 12 (1 (primavera)): 83–120. doi :10.2307/746147.
  2. ^ ab Perle, George (1993). "Carta de George Perle", Music Theory Spectrum , vol. 15, núm. 2 (otoño), págs. 300–303.
  3. ^ Perle, George (1996). Tonalidad dodecafónica , pág. 21. ISBN 0-520-20142-6 . 
  4. ^ Lewin, David (1994). "Un tutorial sobre redes de Klumpenhouwer, utilizando el coral en el Opus 11, No. 2 de Schoenberg". Journal of Music Theory . 38 (1 (primavera)): 79–101. doi :10.2307/843828.
  5. ^ Lewin (1990), pág. 86, citando a GMIT , pág. 149. [ cita corta incompleta ]
  6. ^Ab Lewin (1990), pág. 87.
  7. ^ abcdef Lewin (1990), pág. 88.
  8. ^ Lewin (1990, 84); Klumpenhouwer (1991, 329). citado en Klumpenhouwer (1994), pág. 222.
  9. ^ Lewin (1990, 86).
  10. ^ por Lewin (1990, 92).
  11. ↑ Klumpenhouwer (1991), pág. 320. citando a David Lewin (1988), Intervalos musicales generalizados y transformaciones . (New Haven: Yale University Press), 154–244.
  12. ^ Klupenhouwer (1991), pág. 322.

Lectura adicional