La red de Young es una red (y por tanto también un conjunto parcialmente ordenado ) Y formada por todas las particiones enteras ordenadas mediante la inclusión de sus diagramas de Young (o diagramas de Ferrers ).
Significado
La aplicación tradicional de la red de Young es la descripción de las representaciones irreducibles de grupos simétricos S n para todo n , junto con sus propiedades de ramificación, en característica cero. Las clases de equivalencia de representaciones irreducibles pueden parametrizarse mediante particiones o diagramas de Young, la restricción de S n +1 a S n está libre de multiplicidad y la representación de S n con partición p está contenida en la representación de S n +1 con partición q si y solo si q cubre p en la red de Young. Al iterar este procedimiento, se llega a la base semicanónica de Young en la representación irreducible de S n con partición p , que está indexada por los cuadros estándar de Young de forma p .
Propiedades
El poset Y está graduado : el elemento mínimo es ∅, la partición única es cero y las particiones de n tienen rango n . Esto significa que dadas dos particiones que son comparables en la red, sus rangos están ordenados en el mismo sentido que las particiones, y hay al menos una partición intermedia de cada rango intermedio.
El poset Y es una red. El encuentro y la unión de dos particiones están dados por la intersección y la unión de los diagramas de Young correspondientes. Debido a que es una red en la que las operaciones de encuentro y unión están representadas por intersecciones y uniones, es una red distributiva .
Si una partición p cubre k elementos de la red de Young para algún k, entonces está cubierta por k + 1 elementos. Todas las particiones cubiertas por p se pueden encontrar eliminando una de las "esquinas" de su diagrama de Young (cuadros al final tanto de su fila como de su columna). Todas las particiones que cubren p se pueden encontrar agregando una de las "esquinas duales" a su diagrama de Young (cuadros fuera del diagrama que son los primeros cuadros tanto en su fila como en su columna). Siempre hay una esquina doble en la primera fila, y para cada otra esquina doble hay una esquina en la fila anterior, de ahí la propiedad indicada.
Si las distintas particiones p y q cubren k elementos de Y, entonces k es 0 o 1, y p y q están cubiertos por k elementos. En lenguaje sencillo: dos particiones pueden tener como máximo una (tercera) partición cubierta por ambas (sus respectivos diagramas entonces cada una tiene una casilla que no pertenece a la otra), en cuyo caso también hay una (cuarta) partición que las cubre a ambas (cuyo diagrama es la unión de sus diagramas).
Las cadenas saturadas entre ∅ y p están en una biyección natural con los cuadros estándar de Young de forma p : los diagramas en la cadena agregan los cuadros del diagrama del cuadro estándar de Young en el orden de su numeración. De manera más general, las cadenas saturadas entre q y p están en una biyección natural con los cuadros estándar sesgados de forma sesgada p / q .
La función de Möbius de la red de Young toma valores 0, ±1. Está dada por la fórmula
Simetría diédrica
La porción de la red de Young que se encuentra debajo de 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2, 3 + 3 y 4.
Convencionalmente, la red de Young se representa en un diagrama de Hasse con todos los elementos del mismo rango mostrados a la misma altura sobre la parte inferior. Suter (2002) ha demostrado que una forma diferente de representar algunos subconjuntos de la red de Young muestra algunas simetrías inesperadas.
la partición
del enésimo número triangular tiene un diagrama de Ferrers que parece una escalera. Los elementos de mayor tamaño cuyos diagramas de Ferrers son rectangulares que se encuentran bajo la escalera son estos:
Las particiones de esta forma son las únicas que tienen un solo elemento inmediatamente debajo de ellas en la red de Young. Suter demostró que el conjunto de todos los elementos menores o iguales a estas particiones particulares no sólo tiene la simetría bilateral que se espera de la red de Young, sino también simetría rotacional: el grupo de rotación de orden n + 1 actúa sobre este poset. Dado que este conjunto tiene simetría bilateral y simetría rotacional, debe tener simetría diédrica: el ( n + 1)er grupo diédrico actúa fielmente en este conjunto. El tamaño de este conjunto es 2 n .
Por ejemplo, cuando n = 4, entonces el elemento máximo debajo de la "escalera" que tiene diagramas de Ferrers rectangulares es
1+1+1+1
2 + 2 + 2
3 + 3
4
El subconjunto de la red de Young que se encuentra debajo de estas particiones tiene simetría bilateral y simetría rotacional de 5 veces. Por tanto, el grupo diédrico D 5 actúa fielmente sobre este subconjunto de la red de Young.
![{\displaystyle \mu (q,p)={\begin{cases}(-1)^{|p|-|q|}&{\text{si el diagrama sesgado }}p/q{\text{ es una unión desconectada de cuadrados}}\\&{\text{(sin aristas comunes);}}\\[10pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c009fee0b6223ebe446ef9f741e275dca9ac58)
