Posit diferencial

En matemáticas , un conjunto parcial diferencial es un conjunto parcialmente ordenado (o conjunto parcial para abreviar) que satisface ciertas propiedades locales. (La definición formal se da a continuación). Esta familia de conjuntos parciales fue introducida por Stanley (1988) como una generalización de la red de Young (el conjunto parcial de particiones enteras ordenadas por inclusión), muchas de cuyas propiedades combinatorias son compartidas por todos los conjuntos parciales diferenciales. Además de la red de Young, el otro ejemplo más significativo de un conjunto parcial diferencial es la red de Young-Fibonacci .

Definiciones

Se dice que un poset P es un poset diferencial , y en particular es r - diferencial (donde r es un entero positivo ), si satisface las siguientes condiciones:

• P es graduado y localmente finito con un elemento mínimo único;
• por cada dos elementos distintos x , y de P , el número de elementos que cubren tanto x como y es el mismo que el número de elementos cubiertos tanto por x como por  y ; y
• para cada elemento x de P , el número de elementos que cubre x es exactamente r mayor que el número de elementos cubiertos por  x .

Estas propiedades básicas pueden replantearse de diversas maneras. Por ejemplo, Stanley demuestra que el número de elementos que cubren dos elementos distintos x e y de un conjunto parcial diferencial es siempre 0 o 1, por lo que la segunda propiedad definitoria podría modificarse en consecuencia.

Las propiedades definitorias también pueden replantearse en la siguiente configuración algebraica lineal : tomando los elementos del conjunto poset P como vectores base formales de un espacio vectorial (de dimensión infinita) , sean D y U los operadores definidos de modo que D  x sea igual a la suma de los elementos cubiertos por x , y U  x sea igual a la suma de los elementos que cubren  x . (Los operadores D y U se denominan operador de subida y bajada , por razones obvias). Entonces, la segunda y tercera condiciones pueden reemplazarse por la afirmación de que DU  −  UD  =  r I (donde I es la identidad). 

Esta última reformulación convierte un poset diferencial en una realización combinatoria de un álgebra de Weyl , y en particular explica el nombre diferencial : los operadores " d / dx " y "multiplicación por x " en el espacio vectorial de polinomios obedecen a la misma relación de conmutación que U y D / r .

Ejemplos

El gráfico de Young-Fibonacci , el diagrama de Hasse de la red de Young-Fibonacci.

Los ejemplos canónicos de conjuntos parciales diferenciales son la red de Young , el conjunto parcial de particiones enteras ordenadas por inclusión y la red de Young-Fibonacci . El artículo inicial de Stanley estableció que la red de Young es la única red distributiva 1-diferencial , mientras que Byrnes (2012) demostró que estas son las únicas redes 1-diferenciales .

Existe una construcción canónica (llamada "reflexión") de un conjunto parcial diferencial dado un conjunto parcial finito que obedece a todos los axiomas definitorios por debajo de su rango superior. (La red de Young-Fibonacci es el conjunto parcial que surge al aplicar esta construcción comenzando con un único punto). Esto se puede utilizar para demostrar que hay infinitos conjuntos parciales diferenciales. Stanley (1988) incluye una observación de que "[David] Wagner describió un método muy general para construir conjuntos parciales diferenciales que hacen improbable que [puedan clasificarse]". Esto se precisa en Lewis (2007), donde se demuestra que hay incontables conjuntos parciales 1-diferenciales . Por otro lado, los ejemplos explícitos de conjuntos parciales diferenciales son raros; Lewis (2007) da una descripción enrevesada de un conjunto parcial diferencial distinto de las redes de Young y Young-Fibonacci.

La red de Young-Fibonacci tiene un análogo r -diferencial natural para cada entero positivo  r . Estos conjuntos parciales son retículos y pueden construirse mediante una variación de la construcción de reflexión. Además, el producto de un conjunto parcial r -diferencial y un conjunto parcial s -diferencial es siempre un conjunto parcial ( r  +  s )-diferencial. Esta construcción también conserva la propiedad de la red. No se sabe para ningún r > 1 si existen otros conjuntos parciales r -diferenciales además de los que surgen al tomar productos de las redes de Young-Fibonacci y la red de Young.

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen redes diferenciales que no sean productos de la red de Young y las redes de Young-Fibonacci?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Crecimiento de rango

Además de la cuestión de si existen otras redes diferenciales, hay varios problemas abiertos de larga data relacionados con el crecimiento de rango de los conjuntos parciales diferenciales. En Stanley (1988) se conjeturó que si P es un conjunto parcial diferencial con r _n vértices en el rango n , entonces

${\displaystyle p(n)\leq r_{n}\leq F_{n},}$

donde p ( n ) es el número de particiones enteras de n y F _n es el n º número de Fibonacci . En otras palabras, la conjetura establece que en cada rango, cada conjunto parcial diferencial tiene un número de vértices que se encuentra entre los números de la red de Young y la red de Young-Fibonacci. El límite superior se demostró en Byrnes (2012), mientras que el límite inferior permanece abierto. Stanley y Zanello (2012) demostraron una versión asintótica del límite inferior, mostrando que

${\displaystyle r_{n}\gg n^{a}\exp(2{\sqrt {n}})}$

para cada conjunto parcial diferencial y alguna constante a . En comparación, la función de partición tiene asintóticas

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right).}$

Todos los límites conocidos de los tamaños de rango de los conjuntos parciales diferenciales son funciones de rápido crecimiento. En el artículo original de Stanley, se demostró (usando valores propios del operador DU ) que los tamaños de rango aumentan débilmente. Sin embargo, pasaron 25 años antes de que Miller (2013) demostrara que los tamaños de rango de un conjunto parcial diferencial r aumentan estrictamente (excepto de manera trivial entre los rangos 0 y 1 cuando r  = 1).

Propiedades

Diagrama de Hasse de la red de Young

Todo conjunto poset diferencial P comparte una gran cantidad de propiedades combinatorias. Algunas de ellas son:

• El número de caminos de longitud 2 n en el diagrama de Hasse de P que comienzan y terminan en el elemento mínimo es (2 n − 1)!! , donde m !! es la función factorial doble . En un conjunto parcial r -diferencial , el número de tales caminos es (2 n − 1)!!  r ⁿ . ^[1]
• El número de caminos de longitud 2 n en el diagrama de Hasse de P que comienza con el elemento mínimo de modo que los primeros n pasos cubran relaciones desde un elemento más pequeño a uno más grande de P mientras que los últimos n pasos cubran relaciones desde un elemento más grande a uno más pequeño de P es n ! . En un conjunto parcial r -diferencial , el número es n !  r ⁿ . ^[2]
• El número de caminos ascendentes de longitud n en el diagrama de Hasse de P que comienzan con el elemento mínimo es igual al número de involuciones en el grupo simétrico de n letras. En un conjunto parcial diferencial r , la secuencia de estos números tiene una función generadora exponencial e ^{rx + x 2 /2} . ^[3]

Generalizaciones

En un conjunto parcial diferencial, se utiliza el mismo conjunto de aristas para calcular los operadores de subida y bajada U y D. Si se permiten diferentes conjuntos de aristas de subida y de bajada (que comparten los mismos conjuntos de vértices y satisfacen la misma relación), el concepto resultante es el grafo dual graduado , definido inicialmente por Fomin (1994). Se recuperan los conjuntos parciales diferenciales como el caso en el que los dos conjuntos de aristas coinciden.

Gran parte del interés en los posets diferenciales se inspira en sus conexiones con la teoría de la representación . Los elementos de la red de Young son particiones enteras, que codifican las representaciones de los grupos simétricos , y están conectados al anillo de funciones simétricas ; Okada (1994) definió álgebras cuya representación está codificada en cambio por la red de Young-Fibonacci, y permiten construcciones análogas como una versión de Fibonacci de funciones simétricas. No se sabe si existen álgebras similares para cada poset diferencial. ^{[ cita requerida ]} En otra dirección, Lam y Shimozono (2007) definieron grafos graduados duales correspondientes a cualquier álgebra de Kac-Moody .

Son posibles otras variaciones; Stanley (1990) definió versiones en las que el número r en la definición varía de un rango a otro, mientras que Lam (2008) definió un análogo firmado de posets diferenciales en el que a las relaciones de cobertura se les puede asignar un "peso" de −1.

Referencias

1. Stanley 2011, pág. 384, Teorema 3.21.7.
2. Stanley 2011, pág. 385, Teorema 3.21.8.
3. Stanley 2011, pág. 386, Teorema 3.21.10.

Fuentes

• Stanley, Richard (2011), Combinatoria enumerativa (PDF) , vol. 1 (2.ª ed.), archivado desde el original (PDF) el 2011-05-31 , consultado el 2015-09-21
• Byrnes, Patrick (2012), Aspectos estructurales de los conjuntos de ecuaciones diferenciales , ISBN 9781267855169
• Fomin, Sergey (1994), "Dualidad de grafos graduados", Journal of Algebraic Combinatorics , 3 (4): 357–404, doi : 10.1023/A:1022412010826
• Lam, Thomas F. (2008), "Posets diferenciales con signo y desequilibrio de signo", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 115 (3): 466–484, arXiv : math/0611296 , doi :10.1016/j.jcta.2007.07.003, S2CID  10802016
• Lam, Thomas F.; Shimozono, Mark (2007), "Gráficos graduados duales para álgebras de Kac-Moody", Algebra & Number Theory , 1 (4): 451–488, arXiv : math/0702090 , doi :10.2140/ant.2007.1.451, S2CID  18253442
• Lewis, Joel Brewster (2007), Sobre los posets diferenciales (PDF)( Tesis de pregrado de Harvard College )
• Miller, Alexander (2013), "Los posets diferenciales tienen un crecimiento de rango estricto: una conjetura de Stanley", Order , 30 (2): 657–662, arXiv : 1202.3006 , doi :10.1007/s11083-012-9268-y, S2CID  38737147
• Okada, Soichi (1994), "Álgebras asociadas a la red de Young-Fibonacci", Transactions of the American Mathematical Society , 346 (2), American Mathematical Society: 549–568, doi : 10.2307/2154860 , JSTOR  2154860
• Stanley, Richard P. (1988), "Posetes diferenciales", Journal of the American Mathematical Society , 1 (4), American Mathematical Society: 919–961, doi : 10.2307/1990995 , JSTOR  1990995
• Stanley, Richard P. (1990), "Variaciones sobre conjuntos parciales diferenciales", Invariant theory and tableaux (Minneapolis, MN), 1988 , IMA Vol. Math. Appl., vol. 19, Springer, págs. 145–165
• Stanley, Richard P. ; Zanello, Fabrizio (2012), "Sobre la función de rango de un conjunto poset diferencial", Electronic Journal of Combinatorics , 19 (2): P13, arXiv : 1111.4371 , doi : 10.37236/2258 , S2CID  7405057