Entropía de densidad del período de recurrencia

La entropía de densidad de período de recurrencia ( RPDE ) es un método, en los campos de sistemas dinámicos , procesos estocásticos y análisis de series de tiempo , para determinar la periodicidad o repetitividad de una señal.

Descripción general

La entropía de densidad del período de recurrencia es útil para caracterizar el grado en el que una serie temporal repite la misma secuencia y, por lo tanto, es similar a la autocorrelación lineal y a la información mutua retardada en el tiempo , excepto que mide la repetitividad en el espacio de fase del sistema y, por lo tanto, es una medida más confiable basada en la dinámica del sistema subyacente que generó la señal. Tiene la ventaja de que no requiere los supuestos de linealidad , gaussianidad o determinismo dinámico. Se ha utilizado con éxito para detectar anomalías en contextos biomédicos como la señal de voz . ^{[1] [2]}

El valor RPDE es un escalar en el rango de cero a uno. Para señales puramente periódicas, , mientras que para señales puramente iid , ruido blanco uniforme , . ^[2] ${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }=0}$ ${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }\approx 1}$

Cómo RPDE clasifica las señales según su periodicidad en el espacio de fase. Los paneles pequeños son representaciones de la serie temporal y la escala grande en el medio es el valor RPDE. Se puede ver que las señales puramente periódicas, independientemente del contenido armónico en un sentido espectral, tienen un valor RPDE de cero. La oscilación periódica forzada aleatoriamente tiene un valor más alto, seguida de los sistemas caóticos, los resonadores lineales forzados aleatoriamente, los procesos aleatorios autocorrelacionados y, en el extremo, el ruido aleatorio uniforme tiene un valor RPDE de casi uno.

Descripción del método

El método RPDE requiere primero la incrustación de una serie temporal en el espacio de fases , lo que, según las extensiones estocásticas de los teoremas de incrustación de Taken, se puede llevar a cabo formando vectores retardados en el tiempo:

${\displaystyle \mathbf {X} _{n}=[x_{n},x_{n+\tau },x_{n+2\tau },\ldots ,x_{n+(M-1)\tau }]}$

para cada valor x _n en la serie temporal, donde M es la dimensión de incrustación y τ es el retardo de incrustación. Estos parámetros se obtienen mediante la búsqueda sistemática del conjunto óptimo (debido a la falta de técnicas prácticas de parámetros de incrustación para sistemas estocásticos) (Stark et al. 2003). A continuación, alrededor de cada punto en el espacio de fases, se forma una vecindad (una bola m -dimensional con este radio), y cada vez que la serie temporal regresa a esta bola, después de haberla abandonado, la diferencia de tiempo T entre retornos sucesivos se registra en un histograma . Este histograma se normaliza para que sume la unidad, para formar una estimación de la función de densidad del período de recurrencia P ( T ). La entropía normalizada de esta densidad: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {X} _{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle H_{\mathrm {norm} }=-(\ln {T_{\max })}^{-1}\sum _{t=1}^{T_{\max }}P(t)\ln {P(t)}}$

es el valor RPDE, donde es el valor de recurrencia más grande (normalmente del orden de 1000 muestras). ^[2] Nótese que RPDE está destinado a aplicarse tanto a señales deterministas como estocásticas, por lo tanto, estrictamente hablando, el teorema de incrustación original de Taken no se aplica y necesita algunas modificaciones. ^[3] ${\displaystyle \scriptstyle T_{\max }}$

Descripción gráfica de los cálculos necesarios para encontrar el valor RPDE. Primero, la serie temporal se inserta con retardo temporal en un espacio de fase reconstruido. Luego, alrededor de cada punto en el espacio de fase insertado, se crea un vecindario de recurrencia de radio. Se rastrean todas las recurrencias en este vecindario y el intervalo de tiempo T entre recurrencias se registra en un histograma. Este histograma se normaliza para crear una estimación de la función de densidad del período de recurrencia P ( T ). La entropía normalizada de esta densidad es el valor RPDE . ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }}$

RPDE en la práctica

La RPDE tiene la capacidad de detectar cambios sutiles en series temporales biológicas naturales, como la ruptura de la oscilación periódica regular en la función cardíaca anormal, que son difíciles de detectar utilizando herramientas de procesamiento de señales clásicas, como la transformada de Fourier o la predicción lineal . La densidad del período de recurrencia es una representación dispersa para señales no lineales, no gaussianas y no deterministas, mientras que la transformada de Fourier solo es dispersa para señales puramente periódicas.

Valores de RPDE para ECG en ritmo sinusal normal y para ECG de un paciente con apnea del sueño. Las series temporales (gráficos con trazos azules) y los espectros (gráficos con trazos negros) son relativamente difíciles de distinguir, no obstante, los valores de RPDE son suficientemente diferentes como para que la detección de la anomalía sea sencilla. ${\displaystyle H_{norm}}$

Véase también

• Gráfico de recurrencia , una potente herramienta de visualización de recurrencias en sistemas dinámicos (y otros). ^[4]
• Análisis de cuantificación de recurrencia , otro enfoque para cuantificar las propiedades de recurrencia.

Referencias

1. M. Little, P. McSharry, I. Moroz , S. Roberts (2006) Detección de patología del habla no lineal e informada biofísicamente en la Conferencia internacional IEEE de 2006 sobre acústica, habla y procesamiento de señales, 2006. Actas de ICASSP 2006: Toulouse, Francia. págs. II-1080-II-1083.
2. MA Little, PE McSharry, SJ Roberts, DAE Costello, IM Moroz ( 2007 ) Explotación de recurrencia no lineal y propiedades de escala fractal para la detección de trastornos de la voz, BioMedical Engineering OnLine, 6:23
3. J. Stark, DS Broomhead, ME Davies y J. Huke (2003) Incorporaciones de retardo para sistemas forzados. II. Forzamiento estocástico. Journal of Nonlinear Science, 13 (6):519-577
4. N. Marwan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). "Gráficos de recurrencia para el análisis de sistemas complejos". Physics Reports . 438 (5–6): 237. Bibcode :2007PhR...438..237M. doi :10.1016/j.physrep.2006.11.001.

Enlaces externos

• Código MATLAB rápido para calcular el valor RPDE.
• http://www.recurrence-plot.tk/