Radio equivalente de la antena

El radio equivalente de un conductor eléctrico de antena se define como: ^{[1] [2]}

${\displaystyle r_{e}=\exp \left\{{1 \over L^{2}}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy\right\}}$

donde denota la circunferencia del conductor , es la longitud de la circunferencia, y son vectores que ubican puntos a lo largo de la circunferencia, y y son segmentos diferenciales a lo largo de ella. El radio equivalente permite el uso de fórmulas analíticas o datos computacionales o experimentales derivados para antenas construidas a partir de conductores pequeños con secciones transversales uniformes y circulares para ser aplicados en el análisis de antenas construidas a partir de conductores pequeños con secciones transversales uniformes y no circulares . Aquí "pequeño" significa que la dimensión más grande de la sección transversal es mucho menor que la longitud de onda . ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$ ${\displaystyle \scriptstyle {L}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {dx}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {dy}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\lambda }}$

Fórmulas

La siguiente tabla muestra los radios equivalentes para varias secciones transversales de conductores, asumiendo que 1) todas las dimensiones son mucho menores que , 2) para las secciones transversales compuestas por múltiples conductores, las distancias entre los conductores son mucho mayores que cualquier dimensión de un solo conductor. Las fórmulas para las secciones transversales cuadradas y triangulares se derivan de la evaluación numérica de la integral doble. Todas las demás fórmulas son exactas. ${\displaystyle \scriptstyle {\lambda }}$

Derivación

El radio equivalente se obtiene igualando el potencial vectorial magnético promedio en la superficie de un conductor de sección transversal arbitraria con el potencial en la superficie de un cilindro.

Supongamos que las dimensiones de la sección transversal de un conductor son pequeñas en comparación con la longitud de onda, la corriente solo fluye axialmente a lo largo del conductor, la distribución de la corriente varía lentamente a lo largo de la longitud del conductor y la corriente se distribuye aproximadamente de manera uniforme a lo largo de su circunferencia (debido al efecto pelicular ). Además, solo la corriente en un vecindario alrededor de cualquier punto del conductor contribuye significativamente al potencial en ese punto. La dependencia del tiempo se ignora, ya que se puede incorporar multiplicando la distribución de la corriente por una sinusoide variable en el tiempo. Estas condiciones implican que existe una condición cuasiestática y que la geometría es, efectivamente, la de un conductor infinitamente largo con una densidad de corriente superficial constante (corriente por área), lo que reduce de ese modo un problema tridimensional a uno bidimensional. También se implica que el potencial vectorial magnético es paralelo al eje del conductor. ${\displaystyle \scriptstyle {Q}}$

En primer lugar, considere el potencial en un punto fijo en la circunferencia de la sección transversal arbitraria. Con la circunferencia dividida en segmentos diferenciales , la distribución de corriente se puede aproximar colocando una corriente de línea vertical dentro de cada segmento, cada uno con una densidad lineal de (corriente por longitud). Es bien sabido que el potencial de dicha corriente de línea es , donde es la constante de permeabilidad. El potencial en es la suma de los potenciales de todas las tiras, que es ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {dx}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {Q\,dx}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {-(\mu _{0}Qdx/2\pi )\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mu _{0}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {y}})=-{\mu _{0}Q \over 2\pi }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx.}$

El potencial medio es entonces

${\displaystyle {\bar {A}}={1 \over L}\oint _{\ell }A({\boldsymbol {y}})\;dy\,=-{\mu _{0}Q \over 2\pi L}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy.}$

Consideremos ahora el caso de un cilindro con la misma densidad de corriente lineal que el conductor de sección transversal arbitraria. También es bien sabido que el potencial en cualquier punto de su superficie, que también es igual a su potencial medio, es

${\displaystyle A_{c}=-{\mu _{0}QL \over 2\pi }\ln \left(r_{e}\right).}$

Igualación y rendimientos ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {A_{c}}}$

${\displaystyle \ln \left(r_{e}\right)={1 \over L^{2}}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy.}$

La exponenciación de ambos lados conduce a la fórmula para el radio equivalente.

La fórmula para el radio equivalente proporciona resultados consistentes. Si las dimensiones de la sección transversal del conductor se escalan por un factor , el radio equivalente se escala por . Además, el radio equivalente de un conductor cilíndrico es igual al radio del conductor. ${\displaystyle \scriptstyle {\alpha }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {|\alpha |}}$

Referencias

1. EA Wolff, Análisis de antena , Capítulo 3, John Wiley & Sons, Nueva York, NY, Segunda edición, 1966.
2. David M. Drumheller K3WQ, El radio equivalente de la antena: un modelo para conductores no circulares , QEX, American Radio Relay League, Newington CT, marzo/abril de 2017, págs. 10 y siguientes.