Frecuencia de Rabi

Frecuencia en la física atómica

La frecuencia de Rabi es la frecuencia a la que fluctúan las amplitudes de probabilidad de dos niveles de energía atómica en un campo electromagnético oscilante. Es proporcional al momento dipolar de transición de los dos niveles y a la amplitud ( no intensidad ) del campo electromagnético . La transferencia de población entre los niveles de un sistema de 2 niveles iluminado con luz exactamente resonante con la diferencia de energía entre los dos niveles ocurrirá en la frecuencia de Rabi; cuando la luz incidente se desintoniza con respecto a esta diferencia de energía (se desintoniza con respecto a la resonancia), entonces la transferencia de población ocurre en la frecuencia de Rabi generalizada. La frecuencia de Rabi es un concepto semiclásico ya que trata al átomo como un objeto con niveles de energía cuantizados y al campo electromagnético como una onda continua.

En el contexto de un experimento de resonancia magnética nuclear , la frecuencia de Rabi es la frecuencia de nutación del vector de magnetización nuclear neta de una muestra en torno a un campo de radiofrecuencia. (Tenga en cuenta que esto es distinto de la frecuencia de Larmor , que caracteriza la precesión de una magnetización nuclear transversal en torno a un campo magnético estático).

Derivación

Consideremos dos estados propios de energía de un sistema cuántico con hamiltoniano (por ejemplo, este podría ser el hamiltoniano de una partícula en un potencial, como el átomo de hidrógeno o los átomos de álcali): ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(\mathbf {r} ,t)&=e^{-i\omega _{1}t}|1\rangle \\\psi _{2}(\mathbf {r} ,t)&=e^{-i\omega _{2}t}|2\rangle \end{aligned}}}$$

Queremos considerar el hamiltoniano dependiente del tiempo.

$${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}$$

donde es el potencial del campo electromagnético. Si consideramos el potencial como una perturbación , podemos esperar que los estados propios del hamiltoniano perturbado sean una mezcla de los estados propios del hamiltoniano original con coeficientes dependientes del tiempo: ${\displaystyle {\hat {V}}(t)=e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}\cos(\omega t)}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=c_{1}(t)e^{-i\omega _{1}t}|1\rangle +c_{2}(t)e^{-i\omega _{2}t}|2\rangle }$$

Conectando esto a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}={\hat {\mathcal {H}}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

Tomando el producto interno con cada uno de y , y utilizando la condición de ortogonalidad de los estados propios , llegamos a dos ecuaciones en los coeficientes y : ${\displaystyle e^{i\omega _{1}t}\langle 1|}$ ${\displaystyle e^{i\omega _{2}t}\langle 2|}$ ${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{i,j}}$ ${\displaystyle c_{1}(t)}$ ${\displaystyle c_{2}(t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle +{\frac {e^{i\omega _{0}t}c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle \\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle +{\frac {e^{-i\omega _{0}t}c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle \end{aligned}}}$$

donde . Los dos términos entre paréntesis son elementos de la matriz dipolar insertados en el vector de polarización del campo electromagnético. Al considerar las funciones propias espaciales esféricamente simétricas del potencial del átomo de hidrógeno , los elementos de la matriz diagonal tienden a cero, lo que nos deja con ${\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}-\omega _{2}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle e^{i\omega _{0}t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle e^{-i\omega _{0}t}\end{aligned}}}$$

o

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&=\Omega c_{2}(t)\cos(\omega t)e^{i\omega _{0}t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&=\Omega ^{*}c_{1}(t)\cos(\omega t)e^{-i\omega _{0}t}\end{aligned}}}$$

Aquí , ¿dónde está la frecuencia Rabi? ${\displaystyle \Omega :=\Omega _{1,2}}$ ${\displaystyle \Omega _{i,j}={\frac {\langle i|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|j\rangle }{\hbar }}}$

Intuición

En el numerador tenemos el momento dipolar de transición para la transición, cuya amplitud al cuadrado representa la fuerza de la interacción entre el campo electromagnético y el átomo, y es el vector amplitud del campo eléctrico , que incluye la polarización . El numerador tiene dimensiones de energía, por lo que al dividir por da una frecuencia angular . ${\displaystyle i\to j}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}}$ ${\displaystyle \hbar }$

Por analogía con un dipolo clásico , es claro que un átomo con un gran momento dipolar será más susceptible a la perturbación por un campo eléctrico . El producto escalar incluye un factor de , donde es el ángulo entre la polarización de la luz y el momento dipolar de transición. Cuando son paralelos la interacción es más fuerte, cuando son perpendiculares no hay interacción en absoluto. ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Si reescribimos las ecuaciones diferenciales encontradas arriba:

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)=\Omega c_{2}(t)\cos(\omega t)e^{i\omega _{0}t}&\to {\frac {\Omega c_{2}}{2}}(e^{i(\omega -\omega _{0})t}+e^{-i(\omega +\omega _{0})t})\\i{\dot {c}}_{2}(t)=\Omega ^{*}c_{1}(t)\cos(\omega t)e^{-i\omega _{0}t}&\to {\frac {\Omega ^{*}c_{1}}{2}}(e^{i(\omega +\omega _{0})t}+e^{-i(\omega -\omega _{0})t})\end{aligned}}}$$

y aplicamos la aproximación de onda rotatoria , que supone que , de modo que podemos descartar los términos oscilantes de alta frecuencia, tenemos ${\displaystyle \omega +\omega _{0}>>\omega -\omega _{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {\Omega c_{2}}{2}}e^{i\delta t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {\Omega ^{*}c_{1}}{2}}e^{-i\delta t}\end{aligned}}}$$

donde se denomina desafinación entre las frecuencias del láser y las atómicas. ${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{0}}$

Podemos resolver estas ecuaciones, suponiendo que en el momento el átomo está en (es decir ) para encontrar ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle c_{1}(0)=1}$

$${\displaystyle |c_{2}(t)|^{2}={\frac {\Omega ^{2}\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {{\sqrt {\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}t}{2}}{\bigg )}}{\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}}$$

Esta es la probabilidad en función de la desafinación y el tiempo de la población del estado . Un gráfico en función de la desafinación y el aumento gradual del tiempo desde 0 hasta da: ${\displaystyle |2\rangle }$ ${\displaystyle t={\frac {\pi }{\Omega }}}$

Vemos que la población oscilará entre los dos estados en la frecuencia de Rabi. ${\displaystyle \delta =0}$

Frecuencia generalizada de Rabi

La cantidad se conoce comúnmente como la "frecuencia de Rabi generalizada". Para los casos en los que , la oscilación de Rabi ocurre realmente en esta frecuencia, donde es la desafinación , una medida de qué tan lejos está la luz de la resonancia en relación con la transición. Por ejemplo, al examinar la animación anterior en una frecuencia de desplazamiento de ±1,73, se puede ver que durante el ciclo de Rabi 1/2 (en resonancia) que se muestra durante la animación, la oscilación en cambio experimenta un ciclo completo , por lo tanto al doble de la frecuencia de Rabi (normal) , tal como predice esta ecuación. Observe también que a medida que la frecuencia de la luz incidente se aleja más de la frecuencia de transición, la amplitud de la oscilación de Rabi disminuye, como lo ilustra la envolvente discontinua en el gráfico anterior. ${\displaystyle {\sqrt {\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}}$ ${\displaystyle \delta \neq 0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \Omega _{i,j}}$

Frecuencia Rabi de dos fotones

Las oscilaciones coherentes de Rabi también pueden ser impulsadas por transiciones de dos fotones . En este caso, consideramos un sistema con tres niveles de energía atómica, , , y , donde representa un denominado estado intermedio con una frecuencia correspondiente , y un campo electromagnético con dos componentes de frecuencia: ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle \omega _{i}}$

$${\displaystyle {\hat {V}}(t)=e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{L1}\cos(\omega _{L1}t)+e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{L2}\cos(\omega _{L2}t)}$$

Ahora bien, puede ser mucho mayor que ambos y , o , como se ilustra en la figura de la derecha. ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{2}>\omega _{i}>\omega _{1}}$

A la izquierda se muestra el esquema de excitación de dos fotones, mientras que a la derecha se muestra el eje vertical. El eje vertical es el eje de frecuencia (o energía). ${\displaystyle \omega _{i}>>\omega _{2}>\omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}>\omega _{i}>\omega _{1}}$

Una transición de dos fotones no es lo mismo que una excitación desde el estado fundamental al intermedio y luego desde el estado intermedio al excitado. En cambio, el átomo absorbe dos fotones simultáneamente y es promovido directamente entre los estados inicial y final. Hay dos condiciones necesarias para que este proceso de dos fotones (también conocido como proceso Raman) sea el modelo dominante de la interacción luz-materia:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{L2}+\omega _{L1}&=\omega _{1}-\omega _{2}\\\Delta =|\omega _{L1}-\omega _{1}|&>>0\end{aligned}}}$$

En palabras, la suma de las frecuencias de los dos fotones debe estar en resonancia con la transición entre los estados inicial y final, y las frecuencias individuales de los fotones deben estar desafinadas desde el estado intermedio a las transiciones de estado inicial y final. Si no se cumple esta última condición y , el proceso dominante será uno regido por ecuaciones de velocidad en las que el estado intermedio se llena y estimula y los eventos de emisión espontánea desde ese estado impiden la posibilidad de impulsar oscilaciones coherentes entre los estados inicial y final. ${\displaystyle \Delta \to 0}$

Podemos derivar la frecuencia de Rabi de dos fotones volviendo a las ecuaciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {\Omega _{1i}c_{2}}{2}}e^{i\Delta t}\\i{\dot {c}}_{i}(t)&={\frac {\Omega _{1i}^{*}c_{1}}{2}}e^{-i\Delta t}\end{aligned}}}$$

que ahora describen la excitación entre el estado fundamental y el intermedio. Sabemos que tenemos la solución

$${\displaystyle c_{i}(t)={\frac {\Omega _{1i}\sin {\bigg (}{\frac {{\tilde {\Omega }}_{1i}t}{2}}{\bigg )}}{{\tilde {\Omega }}_{1i}}}}$$

donde es la frecuencia de Rabi generalizada para la transición del estado inicial al intermedio. De manera similar, para la transición del estado intermedio al final tenemos las ecuaciones ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{1i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\dot {c}}_{i}(t)&={\frac {\Omega _{i2}c_{2}}{2}}e^{i\Delta t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {\Omega _{i2}^{*}c_{i}}{2}}e^{-i\Delta t}\end{aligned}}}$$

Ahora introducimos en la ecuación anterior ${\displaystyle c_{i}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {c}}_{2}(t)}$

$${\displaystyle i{\dot {c}}_{2}(t)={\frac {\Omega _{i2}^{*}\Omega _{1i}\sin {\bigg (}{\frac {{\tilde {\Omega }}_{1i}t}{2}}{\bigg )}}{2{\tilde {\Omega }}_{1i}}}e^{-i\Delta t}}$$

De tal manera que al resolver esta ecuación encontramos que el coeficiente es proporcional a:

$${\displaystyle c_{2}(t)\propto {\frac {\Omega _{i2}\Omega _{1i}}{2\Delta }}}$$

Esta es la frecuencia Rabi efectiva o de dos fotones. ^[1] Es el producto de las frecuencias Rabi individuales para las transiciones y , dividido por la desafinación del estado intermedio . ${\displaystyle |1\rangle \to |i\rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle \to |2\rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

Véase también

• Ciclo de Rabi
• Oscilación de vacío de Rabi
• Método de resonancia de Rabi

Referencias

1. Foot, Christopher (2005). Física atómica . Nueva York: Oxford University Press. pág. 123. ISBN 0198506961.