Funcion de base radial

Tipo de función matemática

En matemáticas, una función de base radial ( RBF ) es una función de valor real cuyo valor depende sólo de la distancia entre la entrada y algún punto fijo, ya sea el origen , de modo que , o algún otro punto fijo , llamado centro , de modo que . Cualquier función que satisfaga la propiedad es una función radial . La distancia suele ser la distancia euclidiana , aunque en ocasiones se utilizan otras métricas . A menudo se utilizan como una colección que forma la base para algún espacio funcional de interés, de ahí el nombre. ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$ ${\textstyle \mathbf {c} }$ ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|)}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$ ${\displaystyle \{\varphi _{k}\}_{k}}$

Las sumas de funciones de base radial se utilizan normalmente para aproximar funciones dadas . Este proceso de aproximación también puede interpretarse como un tipo simple de red neuronal ; este fue el contexto en el que se aplicaron originalmente al aprendizaje automático, en el trabajo de David Broomhead y David Lowe en 1988, ^{[1] [2]} que surgió de la investigación fundamental de Michael JD Powell de 1977. ^{[3] [4] [5]} Los RBF también se utilizan como núcleo en la clasificación de vectores de soporte . ^[6] La técnica ha demostrado ser lo suficientemente efectiva y flexible como para que las funciones de base radial ahora se apliquen en una variedad de aplicaciones de ingeniería. ^{[7] [8]}

Definición

Una función radial es una función . Cuando se combina con una métrica en un espacio vectorial, se dice que una función es un núcleo radial centrado en . Se dice que una función radial y los núcleos radiales asociados son funciones de base radial si, para cualquier conjunto de nodos ${\textstyle \varphi :[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}$ ${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$ ${\textstyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}}$

• Los núcleos son linealmente independientes (por ejemplo, no es una función de base radial) ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}}$ ${\displaystyle \varphi (r)=r^{2}}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} }$
• Los núcleos forman la base de un espacio Haar , lo que significa que la matriz de interpolación ${\displaystyle \varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}}$es no singular. ^{[9] [10]}

Ejemplos

Los tipos de funciones de base radial comúnmente utilizados incluyen (escribir y usar para indicar un parámetro de forma que se puede usar para escalar la entrada del núcleo radial ^[11] ): ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$ ${\textstyle \varepsilon }$

• RBF infinitamente suaves

  Estas funciones de base radial son funciones definidas estrictamente positivas ^[12] que requieren ajustar un parámetro de forma. ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

  • Gaussiano :

    

    Función gaussiana para varias opciones de ${\displaystyle \varepsilon }$

    

    Gráfico de la función de relieve escalada con varias opciones de ${\displaystyle \varepsilon }$

  • Multicuadrico:
  • Cuadrática inversa:
  • Multicuadrico inverso:
• Spline poliarmónico :*Para splines poliarmónicos de grado par , para evitar problemas numéricos en donde , la implementación computacional a menudo se escribe como . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle (k=2,4,6,\dotsc )}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \ln(0)=-\infty }$ ${\displaystyle \varphi (r)=r^{k-1}\ln(r^{r})}$
• Spline de placa delgada (un spline poliarmónico especial):
• RBF con soporte compacto

  Estos RBF tienen soporte compacto y, por lo tanto, son distintos de cero solo dentro de un radio de y, por lo tanto, tienen matrices de diferenciación dispersas. ${\displaystyle 1/\varepsilon }$

  • Función de golpe :

Aproximación

Las funciones de base radial se utilizan normalmente para construir aproximaciones de funciones de la forma

donde la función de aproximación se representa como una suma de funciones de base radial, cada una asociada con un centro diferente y ponderada por un coeficiente apropiado . Los pesos se pueden estimar utilizando los métodos matriciales de mínimos cuadrados lineales , porque la función de aproximación es lineal en los pesos. . ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\textstyle w_{i}.}$ ${\textstyle w_{i}}$ ${\textstyle w_{i}}$

Los esquemas de aproximación de este tipo se han utilizado particularmente ^{[ cita necesaria ]} en la predicción y el control de series temporales de sistemas no lineales que exhiben un comportamiento caótico suficientemente simple y reconstrucción 3D en gráficos por computadora (por ejemplo, RBF jerárquico y Pose Space Deformation ).

Red RBF

Dos funciones de base radial gaussiana no normalizadas en una dimensión de entrada. Los centros de funciones básicas están ubicados en y . ${\textstyle x_{1}=0.75}$ ${\textstyle x_{2}=3.25}$

La suma

También se puede interpretar como un tipo bastante simple de red neuronal artificial de una sola capa llamada red de función de base radial , en la que las funciones de base radial asumen el papel de funciones de activación de la red. Se puede demostrar que cualquier función continua en un intervalo compacto puede, en principio, interpolarse con precisión arbitraria mediante una suma de esta forma, si se utiliza un número suficientemente grande de funciones de base radial. ${\textstyle N}$

La aproximante es diferenciable respecto de los pesos . Por tanto, los pesos podrían aprenderse utilizando cualquiera de los métodos iterativos estándar para redes neuronales. ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ${\textstyle w_{i}}$

El uso de funciones de base radial de esta manera produce un enfoque de interpolación razonable siempre que el conjunto de ajuste se haya elegido de manera que cubra todo el rango sistemáticamente (los puntos de datos equidistantes son ideales). Sin embargo, sin un término polinómico que sea ortogonal a las funciones de base radial, las estimaciones fuera del conjunto de ajuste tienden a tener un desempeño deficiente. ^{[ cita necesaria ]}

RBF para PDE

Las funciones de base radial se utilizan para aproximar funciones y, por lo tanto, se pueden utilizar para discretizar y resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Esto lo hizo por primera vez en 1990 EJ Kansa, quien desarrolló el primer método numérico basado en RBF. Se llama método de Kansa y se utilizaba para resolver la ecuación elíptica de Poisson y la ecuación lineal de advección-difusión . Los valores de las funciones en puntos del dominio se aproximan mediante la combinación lineal de RBF: ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Las derivadas se aproximan así:

donde están el número de puntos en el dominio discretizado, la dimensión del dominio y los coeficientes escalares que no cambian por el operador diferencial. ^[13] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \lambda }$

Posteriormente se desarrollaron diferentes métodos numéricos basados ​​en Funciones de Base Radial. Algunos métodos son el método RBF-FD, ^{[14] [15]} el método RBF-QR ^[16] y el método RBF-PUM. ^[17]

Ver también

• Función de covarianza materna
• Interpolación de función de base radial
• método de kansa

Referencias

1. Redes de funciones de base radial Archivado el 23 de abril de 2014 en la Wayback Machine.
2. Cabeza de escoba, David H.; Lowe, David (1988). "Interpolación funcional multivariable y redes adaptativas" (PDF) . Sistemas complejos . 2 : 321–355. Archivado desde el original (PDF) el 14 de julio de 2014.
3. Michael JD Powell (1977). "Procedimientos de reinicio para el método del gradiente conjugado". Programación Matemática . 12 (1): 241–254. doi :10.1007/bf01593790. S2CID  9500591.
4. Sahin, Ferat (1997). Un enfoque de función de base radial para un problema de clasificación de imágenes en color en una aplicación industrial en tiempo real (Maestría). Virginia Tech . pag. 26. hdl : 10919/36847. Powell introdujo por primera vez las funciones de base radial para resolver el problema real de interpolación multivariante.
5. Broomhead y Lowe 1988, pág. 347: "Nos gustaría agradecer al profesor MJD Powell del Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica de la Universidad de Cambridge por proporcionar el estímulo inicial para este trabajo".
6. VanderPlas, Jake (6 de mayo de 2015). "Introducción a las máquinas de vectores de soporte". [O'Reilly] . Consultado el 14 de mayo de 2015 .
7. Buhmann, Martín Dietrich (2003). Funciones de base radial: teoría e implementaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0511040207. OCLC  56352083.
8. Biancolini, Marco Evangelos (2018). Funciones de base radial rápidas para aplicaciones de ingeniería . Publicaciones internacionales Springer. ISBN 9783319750118. OCLC  1030746230.
9. Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. págs. 17-25. ISBN 9789812706331.
10. Wendland, Holger (2005). Aproximación de datos dispersos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 11, 18–23, 64–66. ISBN 0521843359.
11. Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. pág. 37.ISBN​ 9789812706331.
12. Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. págs. 37–45. ISBN 9789812706331.
13. Kansas, EJ (1 de enero de 1990). "Multicuadricos: un esquema de aproximación de datos dispersos con aplicaciones a la dinámica de fluidos computacional: soluciones II para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, hiperbólicas y elípticas". Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 19 (8): 147–161. doi : 10.1016/0898-1221(90)90271-K . ISSN  0898-1221.
14. Tolstykh, AI; Shirobokov, DA (1 de diciembre de 2003). "Sobre el uso de funciones de base radial en un" modo de diferencias finitas "con aplicaciones a problemas de elasticidad". Mecánica Computacional . 33 (1): 68–79. doi :10.1007/s00466-003-0501-9. ISSN  1432-0924. S2CID  121511032.
15. Shu, C; Ding, H; Yeo, KS (14 de febrero de 2003). "Método de cuadratura diferencial basado en funciones de base radial local y su aplicación para resolver ecuaciones bidimensionales incompresibles de Navier-Stokes". Métodos Informáticos en Mecánica e Ingeniería Aplicadas . 192 (7): 941–954. doi :10.1016/S0045-7825(02)00618-7. ISSN  0045-7825.
16. Fornberg, Bengt; Larsson, Elisabeth; Folleto, Natasha (1 de enero de 2011). "Cálculos estables con funciones de base radial gaussiana". Revista SIAM de Computación Científica . 33 (2): 869–892. doi :10.1137/09076756X. ISSN  1064-8275.
17. Safdari-Vaighani, Ali; Heryudono, Alfa; Larsson, Elisabeth (1 de agosto de 2015). "Una partición de función de base radial del método de colocación de unidades para ecuaciones de convección-difusión que surgen en aplicaciones financieras". Revista de Computación Científica . 64 (2): 341–367. doi :10.1007/s10915-014-9935-9. ISSN  1573-7691. S2CID  254691757.

Otras lecturas

• Hardy, RL (1971). "Ecuaciones multicuadráticas de topografía y otras superficies irregulares". Revista de investigaciones geofísicas . 76 (8): 1905-1915. Código bibliográfico : 1971JGR....76.1905H. doi :10.1029/jb076i008p01905.
• Hardy, RL (1990). "Teoría y aplicaciones del método multicuadrico-biarmónico, 20 años del Descubrimiento, 1968 1988". comp. Aplicación de Matemáticas . 19 (8/9): 163–208. doi : 10.1016/0898-1221(90)90272-l .
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.7.1. Interpolación de funciones de base radial", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Sirayanone, S., 1988, Estudios comparativos de kriging, multicuadric-biarmónico y otros métodos para resolver problemas de recursos minerales, PhD. Disertación, Departamento de Ciencias de la Tierra, Universidad Estatal de Iowa, Ames, Iowa.
• Sirayanona, S.; Hardy, RL (1995). "El método multicuadrico-biarmónico utilizado para recursos minerales, meteorología y otras aplicaciones". Revista de Ciencias Aplicadas y Computación . 1 : 437–475.